1、 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 1 - 数列的综合应用 考查内容：考查内容：主要考查数列的综合应用主要考查数列的综合应用 一选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知“整数对”按如下规律排列： 1,11,2 2,11,32,2， 3,11,42,3，3,2， 4,1 ，则第68个“整数对”为（ ） A1,12 B3,10 C 2,11 D3,9 2若数列 n a满足 1 12 0 nn aa ，则称 n a为“梦想数列”，已知正项数列 1 n b 为“梦 想数列”，且 123 1bbb，则 678 bbb（ ） A4 B16 C32 D64 3我国古代数
2、学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每 人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉 花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个 孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ） A75 斤 B70 斤 C65 斤 D60 斤 4在进行1 2 3100 L的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原 理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为 高斯算法.已知数列 24034 n n a m ，则 122016 . m aaa （ ） A504 2 m B504
3、4 m C504m D2504m 5 某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费， 于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元， 为还清这笔贷款，该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划 恰好在贷款的 m 年后还清，若银行按年利率为 p 的复利计息（复利：即将一年后的贷 款利息也纳入本金计算新的利息） ，则该学生家长每年的偿还金额是 （ ） A a m B 1 1 (1) (1)1 m m app p C 1 (1) 1 m m app p D (1) (1)1 m m app p 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 2 - 6已知数列 n a中
4、51 n an（ * nN） ，将数列 n a中的整数项按原来的顺序组 成数列 n b，则 2018 b的值为（ ） A5035 B5039 C5043 D5047 7已知数列 n a满足 1 1a ， 221 1 n nn aa ， 212 3n nn aa （ * Nn） ，则数 列 n a的前 2017 项的和为（ ） A 1003 32005 B 2016 32017 C 1008 32017 D 1009 32018 8 已知数列 n a的通项公式为 1 (1)1 n a nnn n * ()nN， 其前n项和为 n S， 则在数列 122014 SS、S 、中，有理数项的项数为（
5、） A42 B43 C44 D45 9用x表示不超过 x 的最大整数，如1.31,1.32，数列 n a满足 1 3 2 a , 1 1(1) nnn aa a ( *nN),若 12 111 n n S aaa ，则 n S的所有可能取值构 成的集合为（ ） A 0 B0,1 C0,1,2 D0,1,2,3 10数列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，其相邻的两个 1 被 2 隔开，第n对 1 之 间有n个 2，则数列的前 209 项的和为（ ） A279 B289 C399 D409 11 已知数列 n a满足 11 1 1,| 3 nn n aaa （,2)
6、nN n， 且 21 n a 是递减数列， 2 n a是递增数列，则 10 12a A 10 1 6 3 B 9 1 6 3 C 10 1 11 3 D 9 1 11 3 12设 * 1111 ( ) 1233 f nnN nnnn ，则(1)( )f nf n（ ） A 1 31n B 1 32n C 112 313233nnn D 11 3132nn 二填空题 13将正整数排成如表，则在表中第45行第83个数是_ 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 3 - 1 234 56789 1011 1213 141516 14中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分
7、八子作盘 缠，次第每人多十七，要将第八数来言”意思是把 996斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按 照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵的斤数为_ 15 设 n S为数列 n a的前n项和， 1 0a ， 若 1 1 ( 1 )( 2 ) nn nn aa （*nN） ， 则 100 S_ 16已知数列 n a的前n项和 n S，对任意 * nN， 1 ( 1)3 2 n nn n San 且 1 ()()0 nn ap ap 恒成立，则实数p的取值范围是_. 三解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17首届世界低碳经济大会
8、11 月 17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿 色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资 810万元生产并经营共享单车，第一年 维护费为 10万元，以后每年增加 20 万元，每年收入租金 300万元. （1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： 纯利润总和最大时，以 100万元转让经营权； 年平均利润最大时以 460 万元转让经营权，问哪种方案更优？ 18已知数列 n a满足 1 a= 1 2 且 1n a = n a- 2 n a（n * N）. （1）证明：1 1 2 n n a a （n * N） ； （
9、2）设数列 2 n a 的前项和为 n S，证明 11 2(2)2(1) n S nnn （n * N）. 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 4 - 19已知数列 n a的前n项和 2* 24 n n SnN ，函数 f x对任意的x R都有 11f xfx，数列 n b满足 121 01 n n bfffff nnn . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 nnn cab， n T是数列 n c的前n项和，是否存在正实数k，使 不等式 2 9264 nn k nnTnc对于一切的 * nN恒成立？若存在请求出k的取值 范围；若不存在请说明理由 20
10、已知正项数列 n a满足： 1 1 2 a ， 2 11 2 nnnn aaaan . n S为数列 n a的前n 项和. （1）求证：对任意正整数n，有 2 n Sn n ； （2）设数列 2 1 n a 的前n项和为 n T，求证：对任意0,6M ，总存在正整数N，使得 nN时， n TM. 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 5 - 21已知数列 n a中 1 1 2 a ，函数 2 ( ) 1 x f x x （1）若正项数列 n a满足 1 () nn af a ，试求出 2 a， 3 a， 4 a，由此归纳出通项 n a， 并加以证明； （2）若正项数列 n a满足 1 ()
11、 nn af a （nN*） ，数列 n b的前项和为 Tn，且 21 n n n a b ，求证： 1 2 n T 22已知数列 n a满足对任意的*nN都有0 n a ，且 3332 1212 () nn aaaaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n S， 不等式 1 log (1) 3 na Sa对任意的正整数n恒 成立，求实数a的取值范围 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 6 - 数列的综合运用解析 1. 【解析】 设“整数对”为*mnmnN， 由已知可知点列的排列规律是mn的 和从 2 开始，依次是 3，4，其中 m
12、依次增大 当2mn时只有 1 个11 ，； 当3mn时有 2 个 1221，； 当4mn时有 3个 132 231，； ； 当12m n时有11个 111210111， ， ， ， ，； 其上面共有 11 (1 11) 1231166 2 个数对 所以第67个“整数对”为112，第68个“整数对”为211， 故选：C 2.【解析】依题意有 1 1 2 nn aa 为等比数列，故 1 n b 为公比为 1 2 的等比数列，所以 n b是 公比为2的等比数列，由此 5 678123 32bbbbbbq. 3.【解析】设第一个孩子分配到 1 a斤棉花， 则由题意得： 81 8 7 817996 2
13、Sa ，解得 1 a65，故选：C. 4.【解析】依题意，记122016 . m Saaa ， 则 1220152016 . 24034240342403424034 mm S mmmm ，又 2016201521 . 24034240342403424034 mm S mmmm ，两式相加可得 20172017201720172016 2. 240342403424034240342 mmmmm S mmmm ， 则 2016 504 44 mm S ，故选：B. 5.【解析】设每年偿还的金额为x， 则 21 1111 mm apxxpxpxp ， 所以 11 1 11 m m p apx
14、p ，解得 1 11 m m app x p ，故选 D. 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 7 - 6.【解析】由题意得，此数列为： 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64,.， n a的整数项 为：4, 9,49, 64, 144, 169,.，即整数为：2,3,7,8,12,13,.其规律就是各 项之间是1, 4, 1, 4, 1, 4 这样递增的, 212 2 5153,3 5152 nn bnnbnn ,由22018n,解得1009n , 2018 5 100925043b ,故选 C. 7. 【解析】 由题设归纳可得
15、： 1111 212 1331 ( 1)31,3( 1)1 2222 nnnn nn aa ， 前2017项中奇数项和为 1009 0110081008 1 133 33 ( 1)( 1)( 1)1 33 10091009 224 S ， 偶数项和为 1008 0110071007 2 1313 33 ( 1)( 1)( 1)1 33 10081008 2224 S 故该数列前2017项和为 10091008 1009 12 3 333 331 201732018 442 SS ， 应选答案 D。 8.【解析】 1(1)1 (1)1(1)1)(1)1) n nnn n a nnn nnnn n
16、nnn n 1 1 nn nn ， 3815 ,S S S为有理项， 2 12014n 且2n，有理数项的项数为 43 项. 9.【解析】对 1 11 nnn aaa 两边取到数，整理得 1 111 11 nnn aaa ； 所以 1212231111 111111111111 22 111111111 n nnnnn S aaaaaaaaaaaa ； 由 2 1n a10 nn aa （）得 1nn aa ，即数列 n a为增函数， 因为 1 3 2 a ，所以 23 737 416 aa，； 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 8 - 因此 1 1 12 3 S a ，其整数部分为
17、0； 2 3 126 2 121 S a ，其整数部分为 1； 故 n S的所有可能取值构成的集合为0,1. 10.【解析】根据题意，先把数列分组， 第一组为 1，2，有 2 个数， 第二组为 1，2，2，有 3个数， 第三组为 1，2，2，2，有 4 个数， 第 n组中，第一个数为 1，其他均为 2，有 n+1 个数，即每组中，第一个数为 1，其他 均为 2，则前 n 组共有 3 2 n n 个数， 当 n=19时，恰好前 19行有 209 个数， 前 19 行有 19 个 1，有 209-19=190个 2，则这些数的和为：19+190 2399. 故答案为 C 11.【解析】由 n nn
18、 aa 3 1 1 可得： n nn aa 2 122 3 1 ，又 12 n a是递减数列， 2 n a 是递增数列，所以0 1212 nn aa，0 222 nn aa即0 222 nn aa，由不等式的性 质可得： 1222122 nnnn aaaa， 又因为 222 3 1 3 1 nn ， 即 1222122 nnnn aaaa， 所以0 122 nn aa， 即 n nn aa 2 122 3 1 ， 同理可得： 12 212 3 1 n nn aa； 当数列 n a 的项数为偶数时，令 Nkkn,2，可得： k kk k kk aaaaaaaa 2 122 12 2212 3 2
19、3 2 12 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 ，将这12 k 个式子相加得： 1253242 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 kk k aa， 所以 1 21 2 1111 11 221199279 11 244 3 11 99 kk k m aa ， 则 910 10 3 1 11 3 1 4 1 24 22 1212 a，所以选 D 12.【解析】依题意可得 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 9 - 111111 (1)( )() 23331323(1) f nf n nnnnnn 1111 () 1233nnnn 1111112 31323(1)
20、1313233nnnnnnn ，故选 C 13.【解析】因为每行的最后一个数分别是14916 ， ， ， ， 可归纳出第n行的最后一个数是 2 n， 因为 2 441936，所以第45行第83个数为1936+83=2019故得解. 14.【解析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第 8 个儿子分到的绵的斤数 为首项，公差为 d=-17的等差数列，其中 n=8，S8=996, 所以 1 88 1 817996 2 a （），解得 a1=184，故答案为：184 15. 【解析】 当n为奇数时， 1 2 n n a ， 则 1 2 2a ， 3 4 2a ， 99 100 2a ， 当n为偶
21、数时， 1 2222 n n nnn aaa ， 则 2 32 220aa， 4 54 220aa， ， 98 9998 220aa，又 1 0a ， 101 10024100 22 3 Saaa 16.【解析】由 1 ( 1)3 2 n nn n San ，得；当时， ，若为偶数，则，（为 正奇数） ；若为奇数，则， （为正偶数） 函数（为正奇数）为减函数，最大值为 ，函数（为正偶数）为增函数，最小值为若 1 (- )(a - )0 nn app 恒成立，则，即故答案为 3 11 (,) 4 4 17.【解析】（1）设第n年获取利润为 y万元，n年共收入租金300n万元，付出维护 2021
22、届高三一轮复习题型专题训练 - 10 - 费构成一个以 10为首项，20 为公差的等差数列，共 2 (1) 102010 2 n n nn 因此利润 2 300(810 10)ynn 令0y ，解得：327n，所以从第 4年开始获取纯利润 （2）方案：纯利润 22 300(810 10)10(15)1440ynnn 所以 15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案：年平均利润 2 300(810 10)810 300(10 ) nn Wn nn 810 300210120n n 当且仅当 810 10n n ，即 n=9 时取等号 所以 9 年后共获利润：120 9+460=1
23、540（万元） 综上：两种方案获利一样多，而方案时间比较短，所以选择方案 18.【解析】（1）由题意得， 2 1 0 nnn aaa ，即 1nn aa ， 1 2 n a ， 由 11 (1) nnn aaa ， 得 1211 (1)(1)(1)0 nnn aaaa a ， 由 1 0 2 n a得， 2 1 1 1,2 1 nn nnnn aa aaaa ，即 1 12 n n a a ； （2）由题意得 2 1nnn aaa ， 11nn Saa ， 由 11 11 = n nnn a aaa 和 1 12 n n a a ，得 1 11 12 nn aa ， 11 11 2 n nn
24、aa ，因此 * 1 11 () 2(1)2 n anN nn ， 由得 11 2(2)2(1) n S nnn . 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 11 - 19.【解析】（1） 1 2 11 1,244naS 211 1 2,24242 nnn nnn naSS 1n 时满足上式，故 1* 2n n anN 1f xfx=1 11 1 n ff nn 12 0 n bfff nn 1 1 n ff n 12 1 n nn bfff nn 10ff +，得 1 21 2 nn n bnb . （2） nnn cab，1 2n n cn 123 2 23 24 21 2n n Tn
25、， 2341 22 23 24 221 2 nn n Tnn ， 得 231 42221 2 nn n Tn 即 1 2n n Tn ， 要使得不等式 2 9264 nn k nnTnc 恒成立， 2 9260 n nnT 恒成立 2 4 926 n n nc k nnT 对于一切的 * nN恒成立， 即 2 21 926 n k nn ，令 * 2 21 926 n g nnN nn ，则 2 21 22 2 36 36111136 111 2111 1 1 n g n nn n n n n 当且仅当5n时等号成立，故 max2g n 所以2k 为所求. 20.【解析】（1）证法一：因为 1
26、 1 1 1 1 n nn n a aa a ， 2n时， 112nnnnn aaaaa 211 11 1 22 aaann ， 1 11 23 22 n Sa 2 1 22 n n ，即 2 n Sn n ， 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 12 - 当1n 时， 1 1 12 S ，综上， 2 n Sn n . 证法二：考虑到数列 1 2 n 的前n项和为 2 2 n ，猜想 1 2 n an， 当1n 时，结论显然成立.假设nk时， 1 2 k ak成立， 则当1nk时，由 2 11 0 kkkk aa aa ，得 2 1 4 2 kkk k aaa a 2 111 4 222
27、 2 kkk 2 13 4 22 2 kk 13 1 22 1 22 kk k ，结论成立. 综上：对任意 * nN，有 1 2 n an， 以下同解法一. （2）由（）可知 1 0 nn aa 2 2 12 2 1 ,1 12 a aa a .因为 1 x f x x 在区间0,上单调递增， 所以 12 1 12 1 112 n nn n aa aa aa ， 从而 112nnnnn aaaaa 211 11 1 222 n aaan， 当2n时， 22 1 1111 n nnnn a aaaa ， 2 1 111 nnn aaa ， 所以 222 12 111 n n T aaa 2 11
28、 1112 6 n aaan ， 令 22 6, 6 M n nM 设 0 N为不小于 2 6M 的最小整数，取 0 1NN(即 2 1 6 N M )， 当nN时， n TM. 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 13 - 21.【解析】（1）依题意， 2 3 2 2 2 24 3 2 15 1 3 a a a ， 3 4 3 4 2 28 5 4 19 1 5 a a a ，由此归纳得出： 1 1 2 1 2 n n n a ； 证明如下： 1 2 1 n n n a a a ， 1 11111 222 n nnn a aaa ， 1 111 1(1) 2 nn aa ， 数列 1
29、1 n a 是以 1 为首项、 1 2 为公比的等比数列， 1 11 1 2n n a ， 1 1 1 12 1 12 1 2 n n n n a ； （2） 1 2 () 1 n nn n a af a a （nN*） ， 1 111 1(1) 2 nn aa ， 1 1 1 1 1 2 1 n n a a ， 累乘得： 1 1 1 1 1 1 2 1 n n a a ， 1 11 1 2n n a ，即 1 1 1 1 2 n n a ， 1 1 2 1 2 n n n a ， 1 1 1 11 2 211 12 1212(12 )(12)1212 n n n n n nnnnnn a b ， 01121 111111 121212121212 n nn T 11 212n 1 2 22.【解析】（1）解：当时，有， 由于，所以 当时，有， 将代入上式，由于，所以 （2）解：由于， 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 14 - 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得所以 由于，即当时都有， 所以数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列故 （3）解：由（2）知，则，所以 ，数列单调递增 . 要使不等式对任意正整数 n 恒成立，只要 . ，即. 所以，实数 a 的取值范围是
