1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.22.2 直线的方程直线的方程 2.2.32.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线的一般式方程(重点) 2.理解关于 x，y 的二元一次方程 Ax ByC0(A，B 不同时为 0)都表示直 线(重点、难点) 3.会进行直线方程的五种形式之间的 转化(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的 方程相互转化，提升逻辑 推理、直观想象和数学运 算的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 初中我们学习过二元一次方程， 它的具体形式是 AxByC0， 前面我们又学习了直线方程的点斜式：yy0k(
2、xx0)，斜截式：y kxb，两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1和截距式： x a y b1.它们都可以化成 为二元一次方程的这种形式， 同时在一定条件下， 这种形式也可以转 化为斜截式和截距式，我们把 AxByC0(A、B 不同时为零)叫做 直线的一般式，下面进入今天的学习 直线的一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程_(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式 (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式 表示 AxByC0 (3)系数的几何意义： 当 B0 时，则A Bk(斜率)， C Bb(y 轴上的截距)； 当 B0，A0 时，
3、则C Aa(x 轴上的截距)，此时不存在斜 率 思考：当 A0 或 B0 或 C0 时，方程 AxByC0 分别表 示什么样的直线？ 提示 (1)若 A0，则 yC B，表示与 y 轴垂直的一条直线 (2)若 B0，则 xC A，表示与 x 轴垂直的一条直线 (3)若 C0，则 AxBy0，表示过原点的一条直线 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线 ( ) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式 ( ) (3)关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为 0) 一定表示直线 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2若方程
4、AxByC0 表示直线，则 A，B 应满足的条件为 ( ) A A0 B B0 C A B0 D A2B20 D 方程 AxByC0 表示直线的条件为 A， B 不能同时为 0， 即 A2B20. 故选 D. 3已知直线 2xayb0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为1，2， 则 a，b 的值分别为( ) A1,2 B2,2 C2，2 D2，2 A y0 时，xb 21，解得 b2，当 x0 时，y b a 2 a2，解得 a1. 4直线 3x 3y10 的倾斜角为_ 60 把 3x 3y10 化成斜截式得 y 3x 3 3 ， k 3，倾斜角为 60 . 5直线x 2 y 31 的一般式方程
5、是_ 3x2y60 由x 2 y 31 得 3x2y60. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 直线的一般式方程与其他形式的互化 【例 1】 (1)已知直线 l 的一般式方程为 2x3y60，请把一 般式方程写成为斜截式和截距式方程， 并指出斜率和它在坐标轴上的 截距 (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式 斜率是1 2，经过点 A(8，2)； 经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3 2，3； 经过两点 P1(3，2)，P2(5，4) 解 (1)由 l 的一般式方程 2x3y60 得斜截式方程为： y2 3 x2. 截距式方程为： x 3
6、 y 21. 由此可知，直线的斜率为2 3，在 x 轴、y 轴上的截距分别为3,2. (2)由点斜式得 y(2)1 2(x8)，即 x2y40. 由斜截式得 y2，即 y20. 由截距式得x 3 2 y 31，即 2xy30. 由两点式得 y2 42 x3 53，即 xy10. 1求直线一般式方程的方法 2由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其 运用的前提条件 跟进训练 1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 (1)斜率是 3且经过点 A(5,3)； (2)经过 A(1,5)，B(2，1)两点； (3)在 x，y 轴上的截距分别是3，1. 解 (1)由点斜式方程可知，
7、所求直线方程为 y3 3(x5)， 化为一般式方程为 3xy35 30. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为 y5 15 x1 21，化为 一般式方程为 2xy30. (3)由截距式方程可得，所求直线方程 x 3 y 11，化为一般式 方程为 x3y30. 直线的平行与垂直 【例 2】 (1)已知直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx 3y20 平行，求 m 的值； (2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2)x(1a)y10 与直线 l2： (a1)x(2a3)y20 互相垂直 思路探究 利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存 在与否 解 法一：(1)由 l1：2x(m
8、1)y40， l2：mx3y20 知： 当 m0 时，显然 l1与 l2不平行 当 m0 时，要使 l1l2，需 2 m m1 3 4 2. 解得 m2 或 m3，m 的值为 2 或3. (2)由题意知，直线 l1l2. 若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y2 0 显然垂直 若 2a30，即 a3 2时，直线 l1：x5y20 与直线 l2： 5x40 不垂直 若 1a0 且 2a30，则直线 l1，l2的斜率 k1，k2都存在， k1a2 1a，k2 a1 2a3. 当 l1l2时，k1 k21， 即 a2 1a a1 2a3 1， a1. 综上可知，当 a1
9、或 a1 时，直线 l1l2. 法二：(1)令 23m(m1)， 解得 m3 或 m2. 当 m3 时，l1：xy20，l2：3x3y20， 显然 l1与 l2不重合，l1l2. 同理当 m2 时，l1：2x3y40，l2：2x3y20， 显然 l1与 l2不重合，l1l2，m 的值为 2 或3. (2)由题意知直线 l1l2， (a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a 1， 将 a 1 代入方程，均满足题意 故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2. 1直线 l1：A1xB1yC10，直线 l2：A2xB2yC20， (1)若 l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10(或 A
10、1C2 A2C10) (2)若 l1l2A1A2B1B20. 2与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym 0(mC)，与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为 BxAym 0. 跟进训练 2已知直线 l1：xmy60，直线 l2：(m2)x3y2m0. 求 m 的值，使得 l1和 l2： (1)l1l2；(2)l1l2. 解 (1)由 13m(m2)0 得，m1 或 m3. 当 m1 时，l1：xy60，l2：3x3y20. 两直线显然不重合，即 l1l2. 当 m3 时，l1：x3y60，l2：x3y60. 两直线重合故 l1l2时，m 的值为1. (2)由 1(m2)m30
11、 得 m1 2，故 l1l2 时 m 的值为1 2. 含参数的直线一般式方程问题 探究问题 1直线 kxy13k0 是否过定点？ 若过定点，求出定点坐 标 提示 kxy13k0 可化为 y1k(x3)，由点斜式方程 可知该直线过定点(3,1) 2若直线 ykxb(k0)不经过第四象限，k，b 应满足什么条 件？ 提示 若直线 ykxb(k0)不经过第四象限，则应满足 k0 且 b0. 【例 3】 已知直线 l：5ax5ya30. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线 l 不经过第二象限，求 a 的取值范围 思路探究 (1)当直线恒过第一象限内的一定点时， 必
12、然可得该 直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于 0 且与 y 轴 的截距不大于 0. 解 (1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y3 5a x1 5 ， 直线 l 的斜率为 a，且过定点 A 1 5， 3 5 ，而点 A 1 5， 3 5 在第一象 限内，故不论 a 为何值，l 恒过第一象限 法二：直线 l 的方程可化为(5x1)a(5y3)0. 上式对任意的 a 总成立， 必有 5x10， 5y30， 即 x1 5， y3 5. 即 l 过定点 A 1 5， 3 5 . 以下同法一 (2)直线 OA 的斜率为 k 3 50 1 50 3. 如图所示，要使 l 不经过第二
13、象限， 需斜率 akOA3，a3. 1本例中若直线在 y 轴的截距为 2，求字母 a 的值，这时直线 的一般式方程是什么？ 解 把方程 5ax5ya30 化成斜截式方程为 yax 3a 5 . 由条件可知3a 5 2 解得 a7， 这时直线方程的一般式为：7xy20. 2本例中，a 为何值时，已知直线与 2xy30 平行？垂直？ 解 若两直线平行时，则5a 2 5 1 a3 3 解得 a2， 若两直线垂直时，则 5a2(5)(1)0， 解得 a1 2， 故 a2 时，两直线平行；a1 2时两直线垂直 3本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过 第二象限，则 a 的取值范围又是什么？
14、 解 (1)当 a10，即 a1 时，直线为 x3，该直线不经过 第二象限，满足要求 (2)当 a10，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y 1 a1x a2 a1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在 y 轴的截距小于等于零，即 1 a10， a2 a10， 解得 a1 a2或a1 ，所以 a1. 综上可知 a1. 直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形， 把 x, y 看作参数的系数， 因为此式子对于任意的 参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x, y 的值，即为直线 过的定点 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养
15、1直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 AxByC0 (A， B 不同时为 0) yA Bx C B (B0) x C A y C B 1(A、 B、 C0) 2.两个重要结论 结论 1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于 x、y 的 二元一次方程 AxByC0(A、B 不同时为零)来表示 结论 2：任何关于 x、y 的二元一次方程 AxByC0(A、B 不 同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线 3根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法 一般地，设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20. (1)l1l2 A1B2A2B10
16、A1C2A2C10或B1C2B2C10 (2)l1l2A1A2B1B20. 1如果 axbyc0 表示的直线是 y 轴，则系数 a，b，c 满足 条件( ) Abc0 Ba0 Cbc0 且 a0 Da0 且 bc0 D y 轴方程表示为 x0，所以 a，b，c 满足条件为 bc0，a0. 2直线 xy10 与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A1 4 B2 C1 D 1 2 D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，1)，故三角形面 积为1 2. 3斜率为 2，且经过点 P(1,3)的直线的一般式方程为_ 2xy10 由点斜式的 y32(x1)，整理得 2xy1 0 4 直线 x3y4
17、0 与直线 mx4y10 互相垂直， 则实数 m 的值为_ 12 因为两条直线垂直，1m340，解得 m12. 5 已知直线 l 的方程为 3x4y120， 求直线 l的一般式方程， l满足 (1)过点(1,3)，且与 l 平行； (2)过点(1,3)，且与 l 垂直 解 法一：(1)由题设 l 的方程可化为 y3 4x3， l 的斜率为3 4. 由 l与 l 平行，l的斜率为3 4. 又l过(1,3)，由点斜式知方程为 y33 4(x1)，即 3x4y 90. (2)由 l与 l 垂直，l的斜率为4 3， 又l过(1,3)，由点斜式可得方程为 y34 3(x1)， 即 4x3y130. 法二：(1)由 l与 l 平行，可设 l方程为 3x4ym0. 将点(1,3)代入上式得 m9. 所求直线方程为 3x4y90. (2)由 l与 l 垂直，可设其方程为 4x3yn0. 将(1,3)代入上式得 n13. 所求直线方程为 4x3y130. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
