1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.52.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.22.5.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解圆与圆的位置关系的种类(重点、 易错点) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法 与几何判断方法，能够利用上述方法判断 两圆的位置关系. (重点、难点) 通过圆与圆的位置 关系的推导，提升 逻辑推理、直观想 象、数学运算的数 学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 如图为在某地 12 月 24 日拍到的日环食全过程 可以用两个圆来表示变化过程 根据上图， 结合平面几何， 圆与圆
2、的位置关系有几种？能否通过 一些数量关系表示这些圆的位置关系？ 1圆与圆的位置关系 两圆相交 有_公共点 两圆相切 _和_ _公共点 两圆相离 _和_ _公共点 两个 外切 内切 只有一个 外离 内含 没有 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则 两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1，r2 的关系 _ _ _ _ _ _ _ dr1r2 dr1r2 |r1r2| dr1r2 d|r1r2| 0d |r1r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断 圆C1方程 圆C
3、2方程 消元 一元二次方程 0_， 0_， 0_. 相交 内切或外切 外离或内含 思考：将两个相交的非同心圆的方程 x2y2DixEiyFi0(i 1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性 呢？ 提示 两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过相 交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交 ( ) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离 ( ) (3)若两圆外切， 则两圆有且只有一个公共点， 反之也成立 ( ) (4)若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2. ( ) 提示 (1) (
4、2) (3) (4) 2 圆 O1： x2y22x0 和圆 O2： x2y24y0 的位置关系为( ) A相离 B相交 C外切 D内切 B 圆 O1的圆心坐标为(1,0)，半径长 r11；圆 O2的圆心坐标 为(0,2)， 半径长 r22； 1r2r1|O1O2| 5r1r23， 即两圆相交 3已知圆 C1：(x1)2(y2)24，圆 C2：(x2)2(y2)29， 则两圆的公切线条数是_ 3 C1(1,2)，r12；C2(2，2)，r23，|C1C2|5，r1r25， 因此两圆外切所以公切线有 3 条 4已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)210 相交于 A，B 两 点，则直线 AB
5、 的方程是_ x3y50 由两圆方程消去二次项得 102x16y9 10， 即 x3y50. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 圆与圆的位置关系的判断 【例 1】 当实数 k 为何值时， 两圆 C1： x2y24x6y120， C2：x2y22x14yk0 相交、相切、外离？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x2)2(y3)21， C2：(x1)2(y7)250k. 圆 C1的圆心为 C1(2,3)，半径长 r11； 圆 C2的圆心为 C2(1,7)，半径长 r2 50k(k50)， 从而|C1C2| 2123725. 当 1 50k5，即 k34 时，两圆外切 当| 50
6、k1|5，即 50k6，即 k14 时，两圆内切当 | 50k1|51 50k， 即 14k34 时，两圆相交 当 50k+15， 即 34k50 时，两圆外离 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围 有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参 数的范围，必要时可借助于图形，数形结合 跟进训练 1已知圆 C1：x2y22ax2ya2150，圆 C2：x2y24ax 2y4a20(a0)试求 a 为何值时，两圆 C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；
7、(3)外离；(4)内含 解 圆 C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(xa)2(y1)216， C2：(x2a)2(y1)21， 圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)，半径 r14， r21. |C1C2| a2a2112a. (1)当|C1C2|r1r25，即 a5 时，两圆外切； 当|C1C2|r1r23，即 a3 时，两圆内切 (2)当 3|C1C2|5，即 3a5 时，两圆相交 (3)当|C1C2|5，即 a5 时，两圆外离 (4)当|C1C2|3，即 a3 时，两圆内含. 两圆相切问题 【例 2】 (1)圆 C1：(xm)2(y2)29 与圆 C2：(x1)2(y m)24 相外
8、切，则 m 的值是_ (2)求半径为 4，与圆(x2)2(y1)29 相切，且和直线 y0 相切的圆的方程 思路探究 (1)利用|C1C2|r1r2建立方程来求出 m 的值 (2)分外切与内切两种情况，与其他条件建立方程组，求出标准 方程的三个参数值即可 (1)2 或5 C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，由题意知 |C1C2|5，(m1)2(m2)225，解得 m2 或 m5. (2)解 设所求圆的方程为(xa)2(yb)216， 由圆与直线 y0 相切、半径为 4， 则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a，4) 已知圆(x2)2(y1)29 的圆心 A 的坐标为(2,
9、1)，半径为 3. 由两圆相切，则|CA|437 或|CA|431. 当圆心为 C1(a,4)时， (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)， 故可得 a2 2 10，故所求圆的方程为(x22 10)2(y4)2 16 或(x22 10)2(y4)216. 当圆心为 C2(a，4)时， (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，解得 a 2 2 6. 故所求圆的方程为(x22 6)2(y4)216 或(x22 6)2 (y4)216. 综上所述，所求圆的方程为(x22 10)2(y4)216 或(x2 2 10)2(y4)216 或(x22 6)2(y4)2
10、16 或(x22 6)2 (y4)216. 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切， 则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两 圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 跟进训练 2 求与圆x2y22x0外切且与直线x 3y0相切于点M(3， 3)的圆的方程 解 已知圆的方程可化为(x1)2y21， 则圆心为 C(1,0)，半径为 1. 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0) 由题意，可得 a12b2r1， b 3 a3 3 3 1， |a 3b| 2 r， 解得 a4，
11、 b0， r2 或 a0， b4 3， r6， 即所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236. 两圆相交问题 探究问题 1两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？ 提示 将两个方程化成一般式，然后作差即可求得 2两圆公共弦长如何求得？ 提示 将公共弦与其中一个圆方程联立，利用勾股定理|AB| 2 r2d2求得 【例 3】 已知圆 C1：x2y26x40 和圆 C2：x2y26y 280. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程 思路探究 (1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程 (2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线
12、xy40 上求出 圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解 解 (1)设两圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标 是方程组 x2y26x40 x2y26y280 的解 ，得 xy40. A，B 两点坐标都满足此方程， xy40 即为两圆公共弦所在直线的方程 (2)法一：解方程组 x2y26x40， x2y26y280， 得两圆的交点 A( 1,3)，B(6，2) 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 xy40 上，故 b a4. 则 a12a432 a62a422， 解得 a1 2，故圆心为 1 2， 7 2 ，半径为 89 2 . 故圆的方程为 x1 2 2 y7
13、 2 2 89 2 ， 即 x2y2x7y320. 法二：设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28) 0(1)， 其圆心为 3 1， 3 1 ， 代入 xy40， 解得 7.故所 求圆的方程为 x2y2x7y320. 1在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的 方程 解 由例题解析知道 xy40 是公共弦所在的直线的方程 因圆 C1的圆心(3,0)，r 13. C1到直线 AB 的距离 d|34| 2 2 2 . |AB|2 r2d22131 25 2. 即两圆的公共弦长为 5 2. 弦 AB 的中垂线也就是 C1C2所在的直线 C1(3,0)，C2(0，3) AB 的中
14、垂线方程为 x 3 y 31，即 xy30. 2本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程 解 根据条件可知，所求的圆就是以 AB 为直径的圆 AB 所在直线方程为 xy40， C1C2所在直线方程为 xy30. 由 xy40 xy30 得圆心 7 2， 1 2 ， 又|AB|5 2，半径 r5 2 2 ， 故所求圆的方程为 x7 2 2 y1 2 2 25 2 . 1求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程， 再利用半径长、 弦心距 和弦长的一半构成的直角三角形求解 2过两圆的交点的圆的方程 已知圆 C1：x2y2D1x
15、E1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2y F20 相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 x2y2D1xE1y F1(x2y2D2xE2yF2)0(1) 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计 算量比较大，一般不用 (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小 关系 相交|Rr|dRr. 相切 外切dRr， 内切d|Rr|. 相离 外离dRr， 内含0d|Rr|. (特别地 d0 时，两圆为同心圆) 2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2和 y2就得到两圆的 公共弦所在的直线方程 即若
16、圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2y F20 相交， 则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)y F1F20. 1圆 C1：x2y22x8y80 与圆 C2：x2y24x4y10 的位置关系是( ) A外离 B外切 C相交 D内含 C 将圆的一般方程化为标准方程得 C1：(x1)2(y4)225， C2：(x2)2(y2)29，C1(1，4)，C2(2,2)，r15，r23. 从而|C1C2| 32623 5，r1r2|C1C2|r1r2. 因此两圆的位置关系为相交故选 C. 2圆 x2y24x6y0 和圆 x2y26x0 交于 A，B 两点，
17、则 AB 的垂直平分线的方程是( ) Axy30 B2xy50 C3xy90 D4x3y70 C AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即 可排除 A，B，D.故选 C. 3已知点 P 在圆 O：x2y21 上运动，点 Q 在圆 C：(x3)2 y21 上运动，则|PQ|的最小值为_ 1 O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为 1， |OC| 32023，|PQ|的最小值为 3111. 4已知圆 C1：(x1)2(y2)24，圆 C2：x2y21，则过圆 C1与圆 C2的两个交点且过原点 O 的圆的方程为_ x2y2x2y0 设所求圆的方程为 x2y22x4y1(x2 y21)0(1)，把原点代入可得 10， 所以 1， 即可得过圆 C1与圆 C2的两个交点且过原点 O 的圆的方程为： x2 y2x2y0. 5已知以 C(4，3)为圆心的圆与圆 O：x2y21 相切，求圆 C 的方程 解 设圆 C 的半径为 r， 圆心距为 d 4023025， 当圆 C 与圆 O 外切时，r15，r4， 当圆 C 与圆 O 内切时，r15，r6， 圆的方程为(x4)2(y3)216 或(x4)2(y3)236. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
