1、 5.3 诱导公式(第二课时)诱导公式(第二课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式( 2 的正弦、余弦、正切) ;通 过经历诱导公式的探究过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经 验,发展直观想象素养 2初步应用诱导公式解决问题,积累解题经验,发展数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:利用圆的对称性探究诱导公式,运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、 化简与恒等式的证明 教学难点:教学难点:诱导公式的有效识记和应用 课前准备课前准备 PPT 课件 资源引用: 【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析
2、】5.3 诱导公式知识导图 教学过程教学过程 (一)新知探究(一)新知探究 引导语:引导语:通过上一节课的研究,我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式,这 些都是三角函数的对称性本节课沿着上一节课的思路继续进行 问题问题 1:通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称,我们得到了诱导公式二、三、四,你还能 找到一些特殊的直线对称,或者两次对称,类比前面的方法,写出相应的问题,并解决吗? 试一试 图 2 图 1 预设的师生活动预设的师生活动:教师根据学生完成情况,挑选如下内 容进行展示其他拓展内容视情况而定,可以展示,也可以 由学生课下交流 预设答案:预设答案: (1)提出问题:如图 1,点 P1
3、关于直线 yx 的对称点 P5, 以 OP5为终边的角 与角 有什么关系?角 与角 的 三角函数值之间有什么关系? 解:如图 1,以 OP5为终边的角 都是与角 2 终边相同的角,即 =2k( 2 ) (kZ) 因此,只要探求角 2 与 的三角函数值之间的关系即可 设 P5(x5,y5) ,由于 P5是点 P1关于直线 yx 的对称点,可以证明:x5y1,y5x1 根据三角函数的定义,得 sin( 2 )y5,cos( 2 )x5 从而得 公式五公式五 (2)提出问题:如图 2,点 P1关于直线 yx 的对称点 P5,再作 P5关于 y 轴的对称点 P6, 又能得到什么结论?以OP6为终边的角
4、与角有什么关系? 角 与角 的三角函数值之间有什么关系? 解:接上一题如图 2,以 OP6为终边的角 都是与角 2 终边相同的角,即 =2k( 2 )(kZ) 因此,只要探求 角 2 与 的三角函数值之间的关系即可 sin( 2 )cos , cos( 2 )sin 图 3 图 4 设 P6(x6,y6) ,由于 P6是点 P5关于 y 轴的对称点,因此有:x6x5,y6y5 根据三角函数的定义,得 sin( 2 )y6,cos( 2 )x6 从而得 公式六公式六 (3) 提出问题: 如图 3, 点 P1关于 x 轴的对称点是 P7, 再作 P7关于直线 yx 的对称点 P6,又能得到什么结论
5、?以 OP6为终边的角 与角 有什么关系?角 与角 的三角函 数值之间有什么关系? 解:略 追问追问: 除了上面的两次对称关系, 角 2 的终边与角 的终边还具有怎样的对称性? 据此你将如何证明公式六? 预设的师生活动预设的师生活动:如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动,如果学生没有想到, 则由教师提出这个追问,促进学生思考 预设答案预设答案:角 的终边旋转 2 角,就得到角 2 的终边 如图 4,由两个三角形全等易得点 P8与 P1坐标间 关系,进一步可得公式六 设计意图:设计意图:通过设置问题 1,一方面,使学生更加 深入地了解圆具有丰富的对称性,另一方面,让他们通 过类比,不断地利用
6、数形结合的思想方法,提高自己提 sin( 2 )cos, cos( 2 )sin 出问题、分析问题、解决问题的能力,发展逻辑推理、几何直观等核心素养 问题问题 2:回顾利用公式一公式四,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,并且建 立了流程图的求解程序, 那么公式五或公式六的作用是什么?可能在哪个环节用到这两组公 式? 预设的师生活动预设的师生活动:在学生思考展示的基础上互相交流,并完善 预设答案预设答案:利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化如图 5 所示可以在变成锐角的过程中发生作用公式一六都叫做诱导公式(induction formula) 设计意图设计意图:基于前述的
7、求解程序,进行理性思考,完善求解程序,帮助学生提升运算素 养 例例 3 证明: (1)sin 2 3 cos ; (2)cos 2 3 sin 例例 4 化简: 2 9 sinsin3sincos 2 11 cos 2 coscos2sin 追问:追问:观察题目中的角,对比诱导公式,根据图 4,应该怎样化简转化为公式的形式? 预设的师生活动:预设的师生活动: 学生更具问题的引导, 独立思考, 并求解 学生展示时紧扣图 4 进行 预设答案:预设答案: 例例 3 证明: (1)sin 2 3 sin 2 sin 2 cos ; 任意角的 三角函数 任意正角的 三角函数 用 公 式 三或一 02 的
8、角的 三角函数 锐角的三 角函数 用公式一 用公式二或 四、五、六 图 5 (2)cos 2 3 cos 2 cos 2 sin 例例 4 解:原式 2 4sinsinsincos 2 5cossincossin 2 sinsinsincos 2 coscossin 2 sin cos tan 设计意图设计意图:引导学生理性思考,有序解题,完善求解程序,提升数学运算素养 例例 5 已知 sin(53)1 5,且27090,求 sin(37)的值 追问:追问:观察题目中的角,它们有怎样的关系?和哪个诱导公式接近?能不能通过换元, 使得已知角与所求角之间关系更加明了?由此你确定的求解思路是怎样的?
9、 预设的师生活动:预设的师生活动:让学生通过观察,自己思考并回答 预设答案:预设答案: 分析分析: 注意到 (53 ) + (37 ) =90 , 如果设 53 , = 37 , 那么 +=90 , 由此可利用诱导公式和已知条件解决问题 解解:设 53 ,37 ,那么 90 ,从而 90 于是 sin sin(90)cos 因为27090,所以 143323 由 sin 5 1 0,得 143180 所以 cos 1sin2 2 5 1 1 5 62 所以 sin(37)sin 5 62 设计意图设计意图: 引导学生学会观察分析, 进行理性思考, 学会有序求解, 提升数学运算素养 (二)归纳(
10、二)归纳小结小结 问题问题 3:教师引导学生回顾本单元学习内容,并回答下面问题: (1)你学到了哪些基本知识,它们的作用是什么?能解决什么问题?求解的程序是什 么? (2)我们已经知道诱导公式是三角函数的性质,是圆的对称性的代数化,据此,你觉 得怎样记忆到目前为止学过的这 6 组诱导公式?此外,仅仅观察 6 组诱导公式的形式特征, 你还能怎样记忆这些公式? (3)能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容? 预设的师生活动预设的师生活动: 以学生的独立思考, 展示交流, 互相补充为主 教师予以及时的点拨 预设答案预设答案: (1)本单元学习了三角函数的基本性质诱导公式;这些诱导公式体现了
11、三角函数的对称性,在求三角函数值时,它们还具有转化作用,另外,还可以实现正弦与余 弦的相互转化;求解程序略基本的思想是:负角变正角,大角变小角 (2)只要了解了诱 导公式是通过哪个对称变化得到的, 这种变化中点的坐标的关系是怎样的, 就可以记住公式, 而且还可以进一步推广公式 (3)通过观察发现,如果是一个角加 2 的奇数倍,那么变换 后会改变三角函数的名字;如果是一个角加 2 的偶数倍,那么变换后会不改变三角函数的 名字 关于原点的对称性 旋转 2 的对称性 关于 x 轴的对称性 圆 的 对 称 性 关于 y 轴的对称性 关于直线 y=x 的对称性 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 设
12、计意图设计意图:梳理小结,一方面帮助学生进一步明确求解的程序另一方面,通过帮助学 生梳理借助于单位圆记忆公式的过程,进一步认识诱导公式的本质第三,通过观察形式, 分析特点,总结记忆方法,从另一个角度认知诱导公式,进行抽象概括 (三)布置作业(三)布置作业 教科书习题 5.3 (四)目标检测设计(四)目标检测设计 计算或化简: (1)cos 6 65 ; (2)sin 4 31 ; (3)tan 3 26 ; (4)cos 2 5 ; (5)sin 2 11 cos 预设答案:预设答案: (1) 2 3 ; (2) 2 2 ; (3)3; (4)sin ; (5)cos 设计意图:检测学生对基本知识和技能的掌握情况