1、 高一数学 1 函数的单调性与奇偶性 姓名：姓名： 学校：学校： 年级：年级： 【学习目标学习目标】1、掌握证明函数单调性和奇偶性的步骤 2、理解并掌握函数单调性与奇偶性的性质 3、能够熟练解决函数单调性和奇偶性的综合题 【知识要点】【知识要点】 1函数单调性的判定方法. （1）定义法：第一步：取值，即设 21,x x是该区间内的任意两个值，是 21 xx 第二步：作差变形，即作差)()( 21 xfxf，并向利于判断符号的方向变形 第三步：定号，即确定)()( 21 xfxf的符号，当符号不定时，再分类讨论. 第四步：判断，即根据定义做出结论 常用结论：函数)(xfy与函数)(xfy 的单调
2、性相反； 当)(xf恒为正或恒为负时，函数)( )( 1 xf xf y与的单调性相反； 在公共区间内：增函数+增函数=增函数，增-减=增等. （2）图像法.即根据函数的图像判断函数在某区间的单调性. 一、奇偶函数的定义： 1. 设函数( )yf x的定义域为 D。如果对 D 内的任意一个 x，都有xD ，且 ()( )fxf x ，则这个 函数叫做奇函数。 设函数( )yg x的定义域为 D。如果对 D 内的任意一个 x，都有xD ，且 ()( )gxg x，则这个 函数叫做偶函数。 2. 由定义知研究函数奇偶性时， 函数定义域必须关于原点对称。 奇函数中若0 x，则(0)0f 3.用定义判
3、断函数奇偶性的一般步骤： (1)考查函数的定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点不对称，则函数是非奇非偶函数 (2)若定义域关于原点对称，则判断()( )fxf x ，还是()( )fxf x。 若()( )fxf x ，则( )f xf(x)为奇函数。 若()( )fxf x，则( )f x为偶函数。 若()( )fxf x 且()( )fxf x ，则 f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即 ( )0f x ，xD。 4奇偶函数图像特点： 123-1-2-3 -1 1 2 3 4 5 12-1-2 -1 -2 -3 1 2 3 高一数学 2 奇函数的图像关于原点成中
4、心对称图形，偶函数的图像关于 y 轴成轴对称图形。反之也成立。奇函数在对称 区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反。 【典型例题】【典型例题】 例 1、证明函数在 2 1 ( )f x x 在, 0是减函数 例 2、判断下列函数的奇偶性 1、 2 ( )1f xx 2、( )2f xx 3、 2 ( )f xx, 1,3x 4、 22 11)(xxxf 5、 )0( )0( )( 2 2 xxx xxx xf 例 3、已知( )f x是 R 的奇函数，且当0,x时，( )21f xx，求,0 x 时，( )f x的解析式。 例 4、设)(xf为定义在 R 上的任意函数,证明)()()(
5、xfxfxg是奇函数 例 5、已知)(xf是定义域为 R 的偶函数；且在), 0( 上是减函数，比较) 4 3 (f与) 1( 2 aaf的大小关 系 高一数学 3 例 6、定义在 11，上的函数)(xfy 是减函数，且是奇函数，若0)54() 1(afaf，求实数a的范围。 【经典练习经典练习】 1、奇函数)()(Rxxfy的图象必定经过点（ ） （A）)(,(afa （B）)(,(afa （C）)(,(afa （D）) 1 (,( a fa 2、已知 53 ( )8f xxaxbx，且( 2)10f ，那么(2)f等于（ ） （A）26 （B）18 （C）10 （D）10 3、如果偶函数)
6、(xf在区间7 , 3上是增函数且最小值为 5，那么)(xf在区间3, 7 上是（ ） （A）增函数且最小值为5 （B）增函数且最大值为5 （C）减函数且最小值为5 （C）减函数且最大值为5 4、定义在 R R 上的奇函数( )f x在（0，+）上是增函数，又f（3）=0，则不等式 0)(xf的解集为 A、 （3，0）（0，3） B、 （，3）（3，+） C、 （3，0）（3，+） D、 （，3）（0，3） 5、已知等式)()()(yfxfyxf对于全体实数yx,都成立，则)(xf是（ ） （A）奇函数 （B）偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 6、已知 f(x)为偶函数，
7、当 x0 时，f(x)=2x-3，那么当 x0 时，f(x)的表达式为_ _ 7、若函数 f(x)=x 3+bx2+cx 是奇函数，函数 g(x)=x2+(c2) x+5 是偶函数，则 b=_，c=_ 8、函数 f(x)是偶函数，且在(-，0)上表达式是 f(x)=x 2+2x+5，求 )(xf在(0，)上表达式. 【课后练习课后练习】 高一数学 4 1、函数 f (x) = x 4-x2在区间a，b(a-b)上 A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既不是奇函数又不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2、若奇函数 f(x)在a，b上，(ab0)上有最大值-5，且为增函数，则 f(x
8、)在区间-b，-a上是（ ） A增函数且有最大值-5 B增函数且有最小值 5 C减函数且有最小值 5 D减函数且有最大值-5 3、对于定义域是 R 的任何奇函数 f(x)，都有 （ ） Af(x)-f(-x)0，(xR) Bf(x)-f(-x)0(xR) Cf(x)f(-x)0，(xR ) Df(x)f(-x)0(xR) 4、 已知函数 f(x)定义域为a，b，其中 b-a0，那么，函数 f(x) + f(-x)的定义域是 （ ） Aa，b Ba，-a C-b，-a D-b，b 5、偶函数)(xf当0 x时的表达式为)1 ( 3 xx，则当0 x时，)(xf的表达式为（ ） （A）)1 ()(
9、 3 xxxf （B）)1 ()( 3 xxxf （C）)1 ()( 3 xxxf （D）)1 ()( 3 xxxf 6、若函数)0()( 2 acbxaxxf是偶函数，则cxbxaxxg 23 )(是 （ ） A奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D。既是奇函数又是偶函数 7、函数 2 ( )23f xxax在区间1，2上是单调函数的条件是 （ ） A. (,1 a B.2 ,)a C.1,2a D.( , 1 2 , )a 8、已知,13)5(,18)( 357 fdxcxbxaxxf则._)5(f 9、已知函数)(xf是定义在,上的偶函数. 当0 ,x时, 4 )(xxxf ,则当, 0 x 时,)(xf . 10、已知函数)(xfy 在 R 是奇函数，且当0 x时，xxxf2)( 2 ，则0 x时，求)(xf的解析式 高一数学 5 11、已知函数 cbx ax xf 1 )( 2 (a，b，cZ Z)是奇函数，又 f(1)=2，f(2)3，求 a，b，c 的值.
