1、 1 第四章第四章 指数函数指数函数与对数函数与对数函数 4.1 指数指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 教学设计教学设计 一、教学目标一、教学目标 1.理解n次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求. 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求. 3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求. 二、教学重难点二、教学重难点 1.教学重点 根式、分数指数幂概念的理解; 掌握并运用分数指数幂的运算性质. 2.教学难点 有理数指数幂运算性质的应用. 三、教学过程三、教学过程 （一）新课导入（一）新课导入 让我们回顾一下
2、初中学过的知识， 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个? 立方根呢? 教师引导学生回答并归纳：若x2=a，则x叫作a的平方根.同理，若x3=a，则x叫作a的立方 根. （二）探索新知（二）探索新知 探究一探究一: n次方根的概念次方根的概念 我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n次方根的概念： 一般的，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且n*N. 教师提问，n的取值会影响n次方根的值吗? 学生讨论，自行归纳出结果： 当n为偶数时，正数a的n次方根中，正的n次方根用 n a表示，负的n次方根用- n a表示； 当n为奇数时，a的n次方根用符号 n a表示. 教师讲解：
3、式子 n a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 2 探究二探究二：正数的分数指数幂的意义正数的分数指数幂的意义 大家观察以下式子，能否总结出一些规律? 10 5102 525 5 =aaaa（ ）（a0）, 8 84 2422 2 =aaaa（ ）（a0）, 12 123 4344 4 =aaaa（ ）（a0）. 学生讨论. 教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分 数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根 指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式? 例： 2 32 3 =aa（a0）, 1 2 =b
4、 b（b0）, 5 54 4 =ca（c0） 由此得出结论:= m nm n aa（a0， * ,m nNn1）. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定： 11 = m n m nm n a a a （a0， * ,m nNn1）. 注意：0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 探究三探究三：正数的分数指数幂的运算正数的分数指数幂的运算 类比平方根，立方根，猜想：当 n 为偶数时，一个数的 n 次方根有多少个? 当 n 为奇数 时呢? 学生类比初中学过的知识讨论总结: a 为正数时， ; . n n nana nana 为奇数时， 的 次方根有一个，为
5、为偶数时， 的 次方根有两个，为 a 为负数时， ; . n nana nan 为奇数时， 的 次方根有一个，为 为偶数时， 的 次方根不存在 3 0 的 n 次方根为 0，记为00 n . 例：16 的四次方根为2，-27 的五次方根为-3，-27 的四次方根不存在. 教师总结： 一个数到底有没有 n 次方根， 有几个 n 次方根， 首先要考虑被开方数的正负， ， 还要分清 n 为奇数还是偶数两种情况 根据 n 次方根的意义可得 n n aa，一定成立. 那么同学们思考： nn a表示 n a的 n 次方根，等式 nn aa一定成立吗?如果不一定成 立，那么 nn a等于什么呢? 例： 33
6、 3 ( 3)273 ， 4 4 ( 8)88 . 教师引导学生讨论并总结: n 为奇数时， nn aa； n 为偶数时， ,0; , 0, ,); 2 ()( 0, ,); 3 ()( 0, 0,). rsr s rsrs rrr a aaar sQ aaar sQ aba b abrQ （） （ ） （ ） （三）课堂练习（三）课堂练习 1.求下列各式的值： (1) 33 8（- ） (2) 2 10（- ） (3) 4 4 （3- ） (4) 2 （a-b） 4 2.求值 （1） 2 3 8 (2) 3 4 16 () 81 3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0）. （1） 322 aa （2） 3 a a （四四）小结作业）小结作业 小结： 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.掌握 n 次方根的概念； 2.掌握两个公式； 3.根式与指数幂的形式互化； 4.有理指数幂的运算性质. 四、四、板书设计板书设计 1. n 次方根与根式的概念； 2.掌握两个公式； 3.根式与指数幂的形式互化； 4.有理指数幂的运算性质.
