1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （第三课时）（第三课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式 () C 的意义，发展学生逻辑推 理素养 2掌握公式 2 S ， 2 C 及其变形形式，2 T ，发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式 () C 的意义 教学难点：教学难点：把握角度关系；二倍角余弦公式的应用 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 （一）整体感知（一）整体感知 引导语：引导语：以公式 C(-)为基础
2、，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式 为基础来推导倍角公式 （二（二）新知探究）新知探究 问题问题 1：你能利用 ()()() S,C,T 推导出sin2 ,cos2 ,tan2的公式吗？你能用 不同的方法推出这些公式吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立进行推导，教师巡视并收集学生的不同证法，或请学生将不 同的证法列举在黑板上 预设答案：预设答案：这里不同的证法主要体现在两个方面：一是推导的依据具有多样性，例如可 以将 () S 中替换为推得 2 S ， 也可以由 () S 中的替换为， 而推导公式 2 T 时， 可以从 () T 出发，也可以由 22 S ,C
3、合作推出；二是推导的顺序具有多样性，学生可以自 行设计三个二倍角公式的证明顺序， 由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公 式，因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异 22 2 2tan sin22sincos ,cos2cossin,tan2 1tan 三个公式分别简记为 2 S ， 2 C ，2 T 设计意图：设计意图：给学生一定的自由度，由学生自己制定计划，并完成二倍角公式的证明 追问：追问：如果要求二倍角的余弦公式( 2 C )中仅含的正弦或仅含余弦，那么你能得到怎 样的结论？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立进行推导 预设答案：预设答案： 2 cos212sin ，
4、 2 cos22cos1 设计意图：设计意图：引导学生发现公式 2 C 的两种变形形式，为下一课时半角公式做好铺垫 说明说明：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式倍角公式倍角公式给出了任意角的三 角函数与2的三角函数之间的关系 这里的“倍角”专指“二倍角”， 遇到“三倍角”等名词时， “三”字等不可省去 问题问题 2：从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式之间存在紧 密的逻辑联系，你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生进行归纳整理，作出结构图，然后小组交流，最后教师挑选一到 两组学生面向全班交流展示 预设的答案：预设的答案：
5、以上关系仅供参考，其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一，也不必完全画出，但 所有公式中，起点一定是 () C ，其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头 设计意图：设计意图： 培养学生总结反思的学习习惯， 促使学生对 3 个课时推导出的所有公式进行 简单回顾梳理，并感悟公式 () C 作为所有公式推导的起源具有特殊意义 例例 1 （1）已知 sin 2= 5 13， 4 2，求 sin 4，cos 4，tan 4 的值 （2）已知锐角满足 1 sin 63 ，求 sin2 3 的值 （3）在ABC 中，cos A=4 5，tan B=2，求 tan(2A+2B)的值 追问追问 1：在（1）中
6、，已知条件给出了2的正弦值我们应该把2看作一个整体还是 将它看作的二倍？待求的是4的三角函数值，二者之间有什么关系？ 预设答案：预设答案：把2看作一个整体待求角是已知角的二倍 设计意图：设计意图：向学生渗透分析问题的常规方法，即分析化简已知条件，明确待求目标，寻 找办法拉近二者之间的距离 顺带指出， “倍”是描述两个数量之间关系的， 2是的二倍， 4是2的二倍， 2是 4的二倍，这里蕴含着换元思想 追问追问 2：在（2）中，注意题目中的已知角与待求角，你能制定多少种不同的方案解出 此问题？哪一种方法最便捷？ 预设答案：预设答案： 方案一， 直接把 sin 6 展开， 结合同角三角关系解出的正弦
7、余弦值， 再用倍角公式与差角公式计算 sin2 3 ；方案二，视 6 为一个整体，借助同角 关系解出 cos 6 ，再由关系 33 算出的正弦、余弦值，下同方案一； 方案三，注意到 2 =2 36 ，视 6 为一个整体，借助同角关系解出 cos 6 ，再用二倍角公式直接求解 设计意图：设计意图：引导学生分析题目的一般方法，先确认条件及目标，再制定解题方案，最后 经过可行性分析， 选择最优方案实施 同时再次突显出分析角差异及换元思想在三角恒等变 形中的重要性 追问追问 3：在（3）中，2A+2B 与 A，B 之间能构成怎样的关系？你能想到几种不同的求解 顺序？ 预设答案：预设答案：22AB可以看
8、作,A B的二倍角的和，也可以看作,A B的和的二倍角有 两种求解顺序，即先计算二倍角再计算和角，或先计算和角，再计算二倍角 设计意图：设计意图： （3）题具有一定的综合性，也是和角公式与倍角公式的综合应用问题由于 对 2A+2B 与 A，B 的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路不过，它们都是对倍角、 和角关系的联合运用，本质上没有区别此外，在三角形的背景下研究问题，常常伴随着一 些隐含条件，如 0A，A+B+C= 等凭借本题目，教师可抓住机会醒学生对此类信息多 加关注 预设答案：预设答案： 解： （1）由 4 2，得 22 又 sin 2= 5 13，所以 cos 2=1 ( 5 13)
9、 2=12 13 于是 sin 4=sin2 (2)=2sin 2cos 2=25 13 ( 12 13)= 120 169； cos 4=cos2 (2)=12sin22=12 ( 5 13) 2=119 169； tan 4=sin 4 cos 4 = 120 169 169 119= 120 119 （2）由 0, 2 ，可知 , 63 6 ， 故 2 2 2 cos1 sin 663 ， 于是 4 2 sin2=sin22sincos 36669 （3） 解法 1： 在ABC 中， 由 cos A=4 5， 0A， 得 sin A=1 cos 2=1 (4 5) 2=3 5 所以 ta
10、n A=sin cos = 3 5 5 4= 3 4，tan 2A= 2tan 1;tan2 = 23 4 1;(3 4) 2= 24 7 又 tan B=2，所以 tan 2B= 2tan 1;tan2 = 22 1;22= 4 3 于是 tan(2A+2B)= tan 2:tan 2 1;tan 2tan 2 = 24 7 ;4 3 1;24 7 (;4 3) = 44 117 解法 2：在ABC 中，由 cos A=4 5，0A，得 sin A=1 cos 2=1 (4 5) 2=3 5 所以 tan A=sin cos = 3 5 5 4= 3 4 又 tan B=2，所以 tan(A
11、+B)= tan :tan 1;tan tan = 3 4:2 1;3 42 = 11 2 所以 tan(2A+2B)=tan2(A+B)= 2tan(:) 1;tan2(:)= 2(;11 2 ) 1;(;11 2 ) 2= 44 117 例例 2 证明： （1） 1sin 2cos 2 1sin 2cos 2tan （2）3cos 44cos 28sin4； （3） tan tan 2 tan 2;tan 3(sin2cos2)2sin(2 3) 追问：追问： 以上各个等式的左右两侧差异很明显， 而且都是左侧相对复杂， 右侧相对简单 因 此我们需要借助三角恒等变换的公式对每个等式的左侧进行
12、化简变形， 最终变为等号右侧的 形式 你能发现每个等式等号两侧最明显的差异是什么吗？你打算如何利用你发现的差异指 导我们后续恒等变换？ 预设答案：预设答案： （1）的两侧有以下差异：第一，角不同，左边是二倍角，右边是单倍角，第 二， 结构不同， 左边是比的形式， 右侧不是， 因此打算借助二倍角公式把左边的2化为， 由于右侧的比值只有一项，因此需要想办法把左边的分子与分母的项数尽可能变少； （2）的 两侧最明显的差异是，角不同，左侧包括42 ，而右侧仅含有，因此打算利用二倍角 公式将左侧的4变为2，再将2变为； （3）两侧差异有三处：第一，角不同，左侧 第二项所含角为，其它项包括等号右侧均为2，
13、第二，函数名称不同，左侧第一项为正 切，其它各项均为正弦、余弦，第三，结构不同，左侧为两项之和，右侧仅有一项，因此打 算逆用二倍角公式将第二项变为含有2的形式， 将第一项的正切利用同角三角关系转化为 正弦、余弦，最后逆用和角公式或差角公式将两项合并成一项，从等号右侧形式推断，最可 能的情形就是提取2之后，剩下的部分组成2与 3 两角差的正弦形式 设计意图：设计意图： 引导学生分析三角恒等证明问题的证明思路， 一般需从对比等式两侧的差异 入手， 在发现它们的差异不同之后， 再选择相关公式， 将复杂的一侧向简单的一侧化简变形， 最终证明等式成立，若两侧均比较复杂，则考虑两侧同时化简 证明： （1）
14、左侧 2 2 1+2sincos(12sin)2sin (sincos ) =tan 12sincos2cos12cos (sincos ) 右 侧； （2）左侧 222 =32cos 21 4cos22(cos 22cos21)2(cos21)a 224 2( 2sin)8sin=右侧 （3）左侧= sinsin2 . sinsin2 coscos2 3cos23cos2 sin2sin sin2 coscos2 sin cos2cos sinsin213 3cos2sin23cos22 sin2cos2 sin(2)22 =2 sin2 coscos2 sin2sin 2 333 右侧 问
15、题问题 3：在例 6（1）中，我们对等号左侧化简变形时，分子和分母中均含有cos2， 但是却采用了不同的形式进行了变形，分子中利用了公式 2 cos212sin ，而分母中 则利用了 2 cos22cos1你能结合这个题目谈一谈二倍角的余弦公式的三种不同形 式的特点与适用场合吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生回顾反思，教师对学生们的回答进行梳理总结 预设答案：预设答案： 22 cos2cossin特征是齐次，在需要分解因式的场合有可能采用 此形式； 2 cos22cos1的特征是含有cos不含sin，还包括1，在我们需要仅 含cos的场合或需要抵消1的时候可以采用此形式；类似地， 2
16、cos212sin 的特征 是含有sin但不包含cos，且含有1，在我们需要仅含sin的场合或需要抵消1时， 可采用此形式 设计意图：设计意图： 引导学生归纳反思， 为使用二倍角余弦公式的不同形式时作出最佳选择打好 基础 问题问题 4：结合例 5 与例 6 的求解过程，请你思考，利用三角恒等变形公式解决求值、化 简及证明问题时，已知条件与待求式子之间，或待证等式的左右两边，通常会有各种各样的 差异，我们应该重点关注其中哪些方面的差异？ 师生活动：师生活动：学生独立思考之后小组交流，教师进行梳理总结 预设答案：预设答案：角的差异，三角函数名称的差异，结构差异等 设计意图：设计意图：向学生渗透三角
17、恒等变换的特点，引导学生从角度差异、三角函数名称差异 及结构差异等方面着手分析问题， 把握变形方向， 为学生接下来要大量面对的三角恒等变换 问题提供分析策略和指导方向 （三（三）归纳归纳小结小结 问题问题 5：回顾本节课的内容，你能正确写出二倍角公式吗？你在认识和使用这些公式时 有哪些心得体会？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答 预设预设答案答案：公式中的二倍角和单倍角分别用2与表示，但是使用公式时，它们也可 以是4与2， 2 3 与 6 等，形式非常灵活；余弦二倍角公式有三种形式： 2222 cos2cossin2cos11 2sin ，在使用它们的时候，需要结合题目
18、 特征进行选择，例如，有时候因为只想出现sin而选择最后一种形式，有时候为了和1正 负抵消而选择第二种形式等等；我们在解决三角恒等变换问题的时候，往往要从角度差异、 函数名称差异、 代数式结构差异等方面对已知条件和待求结论寻找差异， 然后再根据这些差 异选择适当的公式进行变形求解 设计意图：设计意图：回顾反思，使学生在头脑中形成思维网络 （四）作业布置（四）作业布置 教科书习题 5.5 第 7，8 题 （五（五）目标检测设计）目标检测设计 1已知 cos 8= 4 5，812，求 sin 4，cos 4，tan 4的值 2求下列各式的值： （1）sin 15 cos 15 ； （2）cos2
19、8sin 2 8； （3） tan 22.5 1;tan222.5； （4）2cos 2 22.5 1 3证明： （1）cos 44cos 238cos4； （2） 1sin 2 2cos2sin 2 1 2tan 1 2； 预设答案：预设答案：1sin 4 24 25，cos 4 7 25，tan 4 24 7 2 （1）1 4； （2） 2 2 ； （3）原式1 2 2tan 22.5 1;tan222.5 1 2tan45 1 2； （4）原式 cos 45 2 2 设计意图：通过若干题目，促使学生巩固二倍角公式，并能正用或者逆用公式解决简单 的求值或证明问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养通过计算、证明等不同类型的题目 设置，对学生分析和解决三角恒等变换问题有很好的促进作用
