1、 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）正弦函数、余弦函数的性质（第二课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质 教学难点：教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法 课前准备课前准备 PPT 课件 资源引用： 【知识点解析】与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 【知识点解析】正弦函数、余弦函数的单调性和最值 教学过程教学过程 （一）新知探究（一）新知探究 问题问题 1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的
2、图 象，完成下面的表格 正弦函数 余弦函数 定义域 值域 图象 周期 奇偶性 对称轴 对称中心 单调递增区间 单调递减区间 最大值点 最小值点 预设的师生活动：预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表 格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流注意，在此环节，只是利用图象 得出结论，下一环节才从代数的角度分析 在完成表格时， 因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性， 学生在猜想并写出单调 区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑对此，在学生 展示交流过程中， 教师可以通过如下追问促进学生的思考， 帮助他们理解， 并借助信息
3、技术， 引导学生进行直观想象 追问追问 1：如何理解点（，0）也是正弦函数 ysin x 的对称中心？如何理解直线 x 2是 正弦函数 ysin x 的对称轴？ 追问追问 2：逐一列举正弦函数 ysin x 的单调递增区间，它们与区间 2 ， 2之间有怎样 的关系？ 预设答案：预设答案： 正弦函数 余弦函数 定义域 R R 值域 -1，1 -1，1 图象 周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 对称轴 ， ， 对称中心 ( ， )， ( ， )， 单调递增区间 ， ， ， ， 单调递减区间 ， ， ， ， 最大值点 ， ， 最小值点 ， ， 设计意图：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的
4、方法和程序培养学生运用类比、对 比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力 问题问题 2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？ 预设的师生活动：预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题 预设答案：预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为 2 ， 3 2 、 ， ，这两个区间距离原 点最近，我们相对更熟悉一点 设计意图：设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知 函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性 例例 1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的
5、集合，并说出最大值、最小值分别是什么 （1）ycos x+1，xR； （2）y3sin 2x，xR 追问：追问：如何转化为你熟悉的函数求解？ 师生活动：师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确 换元法及其重要作用 预设答案：预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值 （1）使函数 ycos x+1，xR 取得最大值的 x 的集合 ，就是使函数 ycos x，xR 取得最大值的 x 的集合xx2k，kZ ； 使函数 ycos x+1，xR 取得最小值的 x 的集合 ，就是使函数 ycos x，xR 取得最 小值的 x 的集合xx2k+，kZ ； 函数
6、 ycos x+1，xR 的最大值是 112；最小值是110 （2）令 z2x，使函数 y3sin 2x，xR 取得最大值的 x 的集合，就是使 ysin z，z R 取得最小值的 z 的集合zz 2 2k，kZ 由 2xz 2 2k，得 x 4 k所以，y3sin 2x，xR 取得最大值的 x 的 集合是xx 4 k，kZ 同理，使函数 y3sin 2x，xR 取得最小值的 x 的集合是xx 4 k，kZ 函数 y3sin 2x，xR 的最大值是 3，最小值是3 设计意图：设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用 例例 2 不通过求值，比较下列各数的大小： （
7、1）sin（ 18 ）与 sin（ 10 ） ； （2）cos（ 5 23 ）与 cos（ 4 17 ） 追问：追问：比较大小的依据是什么？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导本例中，对于（1） ，可直接应用函数 的单调性求解；对于（2） ，首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为 第（1）题之后求解 预设答案：预设答案：解： （1）因为 2 18 10 0， 正弦函数 ysin x 在区间 2 ，0上单调递增，所以 sin（ 18 ）sin（ 10 ） （2）cos（ 5 23 ）=cos 5 23 =cos 5 3 ，cos（ 4 17 ）=cos
8、4 17 =cos 4 ， 且余弦函数在区间0，上单调递减， 所以 cos 4 cos 5 3 ，即 cos（ 4 17 ）cos（ 5 23 ） 你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试 设计意图：设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题 例例 3 求函数 ysin 3 2 1 x，x2，2的单调递增区间 追问：追问：如何转化为熟悉的函数求解？ 师生活动师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解 预设答案：预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解 令 z 3 2 1 x，x2，2，则 z 3 4 3 2 ， 因为 ysin z，z 3 4 3 2 ，的
9、单调递增区间是 z 2 2 ， 且由 2 3 2 1 x 2 得 3 5 x 3 ， 所以，函数 ysin 3 2 1 x，x2，2的单调递增区间是 3 3 5 ， 变式：求函数 ysin x 2 1 3 ，x2，2的单调递增区间 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立完成对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学 生将正确和错误解答进行对比分析 预设答案：预设答案：令 zsinx 2 1 3 ，x2，2，则 z 3 4 3 2 ， 因为 ysin z，z 3 4 3 2 ，的单调递减区间是 z 2 3 2 ，或 3 4 2 ， 且由 3 2 x 2 1 3 2 或 2 x 2 1 3
10、3 4 得 3 5 x2 或2x 3 ， 所以， 函数 ysin x 2 1 3 ， x2， 2的单调递增区间是 2 3 5 ， 3 2 ， 设计意图：设计意图：类比例 3 求解，进一步熟练换元转化的思想方法通过变换自变量系数的符 号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 （二）归纳小结（二）归纳小结 问题问题 3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题： （1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的 函数谈一谈 （2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦 函数呢？ （3）通过本节课的学习，你对正弦函
11、数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究 一个函数又有了哪些新的体会？ 设计意图：设计意图： 通过小结， 复习巩固本单元所学的知识， 加深对正弦函数、 余弦函数的理解 通 过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函 数的一般思路和方法 （三）拓展研究（三）拓展研究 问题问题 4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、 余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来 设计意图：设计意图： 让学生换一个角度认识正弦函数、 余弦函数的性质， 提升其理解的深刻性 同 时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力 （四）布置作业（四）布置作业 教科书习题 5.4 第 4，5，6，10，11，12，16，19 题 （五）目标检测设计（五）目标检测设计 教科书第 207 页练习第 2，3 题 设计意图：考查学生对函数最值、单调性的理解
