1、1 合肥市2021届高三调研性检测 合肥市2021届高三调研性检测 数学试题(文科) 数学试题(文科) (考试时间：120分钟 满分：150分) (考试时间：120分钟 满分：150分) 第卷 第卷 (60分)(60分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知i是虚数单位， 复数1 2i i A.2i B.2i C.2i D.2i 2.设Z为整数集，集合23AxZx，40Bx x，则AB的所有元
2、素之和为 A.10 B.9 C.8 D.7 3.设变量xy，满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ， ， ， 则目标函数3zxy的最小值等于 A.1 B.1 C.4 D.7 4.为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销 售的A，B两种型号的口罩进行了抽样检查，每家药店抽取10包口罩(每包10只)，15家药店中抽样检查 的A，B型号口罩不合格数(、)的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是 A.估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率 B.组数据的众数大于组数据的众数 C.组数据的中位数大于组数据的中位数 D.组数据的方差大于组数据的方差
3、5.设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 12a， 9 72S，则 10 S A.73 B.81 C.83 D.85 6.已知向量 a b ，满足4ab ，2ab ，且2a ，则a 与ab 的夹角余弦值为 A. 2 4 B. 1 4 C. 2 4 D. 5 2 4 7.已知函数 2sinf xx ( 0 ， 2 )的部分图象如图所 示，则函数 f x 的单调减区间为 A. 3 2 2 88 kkkZ ， B. 3 88 kkkZ ， C. 37 2 2 88 kkkZ ， D. 37 88 kkkZ ， 8.设椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的左右焦点分别是 1 F
4、， 2 F，P是椭圆C上一点，且 1 PF与x轴 垂直，直线 2 PF与椭圆C的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为 3 4 ，则椭圆C的离心率为 A. 2 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 9.函数 cos xx xx f x ee 在 ，上的图象大致是 2 10.表面积为324的球， 其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14， 则这个正四棱柱的表面 积等于 A.567 B.576 C.240 D.49 11.已知函数 32 1 4 3 f xxbxbx， 若存在31x ，使得 0fx成立， 则实数b的最值情 况是 A.有最大值1 B.有最大值3 C.有最小值1 D.有最小
5、值3 12.设A(2，0)，B(0，4).若对于直线:0l xym上的任意一点P，都有 22 18PAPB，则 实数m的取值范围为 A. 12 2 ， B. 12 2 12 2， C. 12 2， D. 12 212 2 ， 第卷 第卷 (90分)(90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置. 13.命题p：若M是双曲线 22 1xy上一点，则M到此双曲线的两焦点距离差的绝对值为2；则命 题p是 命题.(填“真”或 “假”) 14.周六晚上，小红随着爸爸、妈妈
6、和弟弟去看电影，订购的 4 张电影票恰好在一排且连在一起，若 他们随机地坐到座位上，则这两个孩子坐在父母中间的概率为 . 15.已知函数 cosf xxxxR，是钝角三角形 的两个锐角，则cosf sinf(填写： “大于” 或 “小于”或“等于”). 16.如图，已知：在ABC中，3CACB，3AB，点 F是BC边上异于点BC，的一个动点，EFAB于点E.现沿 EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAC，则四棱锥 PACFE的体积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小
7、题满分10分) 已知数列 n a的前n项和为 n S， 12 1 2 aa，数列 n a n 是等比数列. (1)求 n a； (2)求 n S. 3 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 为了检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级 1500 名学生进行了传染病防控 知识测试， 并从中随机抽取了300份答卷， 按得分区间40 50， 50 60，80 90，90 100，分别统计，绘制成频率分 布直方图如下. (1)若从高一年级1500名学生中随机抽取1人，估计其得 分不低于75 分的概率； (2)估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数.(结 果精确到个
8、位) 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) 已知：在ABC中，内角ABC， ，的对边分别为abc， ，且 2 coscos 3 aBbAc . (1)求角A； (2)设3a ，求ABC周长的取值范围. 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形.过点P作PE平面ABCD交棱AD于点 E.1AE，4PE，4ADAE，2 2EBEC. (1)证明：平面PEC平面PEB； (2)求点E到平面PAB的距离. 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 已知抛物线:C 2 2yx的焦点为F，直线l与C交于AB
9、，两点，与C的准线交于点M. (1)若直线l经过点F，且4AB ，求直线l的方程； (2)设直线OAOB，的斜率分别为 12 kk，且 12 2kk . 证明：直线l经过定点，并求出定点的坐标； 求MA MB 的最小值. 22.(本小题满分12分) 22.(本小题满分12分) 已知函数 2 ln1fxaxxxaR. (1)当2a 时，讨论函数 fx的零点个数； (2)若当1x 时，都有( )0f x ，求实数a的取值范围. 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 3 页 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(文科) 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(文科) 参考答案
10、及评分标准 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.假 14. 1 6 15. 16. 2 4 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 解:(1) 12 1 2 aa， 1 1 12 a ， 2 1 24 a ，数列 n a n 是公比为 1 2 的等比数列， 1 2 n n a n ， 2 n n n a ； 5分 (2) 12 12 222 n n n
11、 S ， 231 112 2222 n n n S ，两式相减得： 231111 11 1 22 1111112 11 1 2222222222 1 2 n n n nnnnn nnnn S ， 2 2 2 n n n S . 10分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)由频率分布直方图得，0.050.10.22 100.250.11a，解得0.028a ， 从高一年级1500名同学中随机抽取1人， 估计其得分不低于75 分的概率为0.140.250.10.49.6分 (2)设中位数估计值为x，则根据频率分布直方图得 0.2870 0.050.10.220.5 1
12、0 x ， 解得 9 7475 14 x ， 高一年级传染病防控知识测试得分的中位数的估计值为75. 12分 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) (1)由正弦定理得 2 sincossincossin 3 ABBAC ， 即 2 sincossincossinsincossincos 3 ABBAABABBA ， 2 coscos 3 AA ，tan3A . 0A， 3 A .6分 (2)3a ， 3 A ， sinsinsin abc ABC ， 2 3sinbB，2 3sincC， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D D A
13、 D B A B A D 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 3 页 2 3 BCA ， 32 3 sinsin33os3 3sin36sin 6 abcBCBBB . 又 2 0 3 B ， 5 666 B ， 1 sin 1 62 B ， 6 9abc ，. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) (1)四边形ABCD是平行四边形，1AE ，4ADAE，4BCAD. 在BCE中，2 2EBEC，4BC ，ECBE. PE平面ABCD，EC 平面ABCD，PEEC. 又BEPEE，EC平面PBE. EC 平面PEC，平面PEC平面PBE. 6分
14、 (2)由(1)知，2 2EBEC，ECBE，45EBAECB ， 45AEBEBA . 由余弦定理得 22 2cos5ABAEBEAE BEAEB. PEAE，1AE ，4PE ，17PA . PE平面ABCD，BE 平面ABCD，PEBE， 22 2 6PBPEBE. 在ABP中，由余弦定理得 222 30 cos 210 PBABPA PBA PB AB ， 70 sin 10 PBA. 1170 sin2 6521 2210 PAB SPB ABPBA . 设点E到平面PAB的距离为d. 114 1 4 333 P ABEABE VSPE ， 1 3 P ABEE PABPAB VVS
15、d ， 4 4 21 3 11 21 21 33 P ABE PAB V d S .12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 设直线l与C的交点A( 11 xy，)，B( 22 xy，).点F为( 1 0 2， ). (1)因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为 1 2 xmy， 2 1212 12224ABxxm yym ，解得1m . 直线l的方程为 1 2 xy ，即 1 2 yx，或 1 2 yx .5分 (2)设直线l的方程为xmyn，代入抛物线方程化简得 2 220ymyn， 12 12 2 2 . yym y yn ， 1 1 1 y k x ， 2 2
16、2 y k x ， 1212 12 22 121212 42 2 4 y yy y kk x xy yny y ，解得1n ， 直线l经过定点，且定点为(1，0). 由知，直线l的方程为1xmy. 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 3 页 共 3 页 解 1 2 1 x xmy ， 得M 13 22b ，. 又 12 12 2 2. yym y y ， 2 12 12 22 1. xxm x x ， 11 13 22 MAxy m ， 22 13 22 MBxy m ， 1212 2 12121212 1133 2222 1133 2422 MA MBxxyy mm x xxxy
17、 yyy mm 22 22 91391325 2 44444 mm mm ， 当且仅当 2 2 9 4 m m ，即 6 2 m 时，取等号， 当 6 2 m 时，MA MB 的最小值为 25 4 . 12分 22.(本小题满分12分) 22.(本小题满分12分) 解: (1)2a ， fx的定义域为0 +， 2ln22fxxx. 令 g xfx， 2 12 20 2 x gx x ，解得1x ， g x在(0，1)上单调递增，在1 ，上单调递减， 10g xg，即 0fx， f x在0 ，上单调递减， 又 10f， f x有唯一零点1x ； 6分 (2)当1x 时， 2 ln10axxx 恒成立， 即 1 ln0axx x 在1 x，上恒成立. 设 1 lnh xaxx x ，1 x，. 则 2 22 11 1 axax h x xxx . 当0 2 a ，或 2 40a ，即2a 时，0 x ， 0h x， h x在1 x，上单调递减， 10h xh成立； 当2a 时，0 . 设 0h x的两个实数根为 1 x， 2 x( 12 xx). 120ha， 1 01x， 2 1x . 当 2 1xx时， 0h x；当 2 xx时， 0h x， h x在( 2 1x，)上单调递增，在( 2 x ，)上单调递减， 2 10h xh，不合题意. 综上所述，2a ，. 12分
