1、2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型四 第21题与圆有关的证明与计算 类型一角度问题典例精讲例 1已知AB是O的直径，PA与O相切于点A，OP交O于点C，连接BC.()如图，若P20，求B的度数；()如图，过点A作弦ADOP于点E，连接DC，若OECD，求P的度数例1题图【思维教练】()要求B的度数，可根据圆周角与圆心角的关系求AOP的度数，要求AOP的度数，由切线的性质结合P已知即可求解；()要求P的度数，可根据切线的性质求POA的度数，要求POA的度数，需连接DB，OD，由垂径定理和三角形中位线的性质即可得到CDDB，进而得到，即可求解【自主解答】针对演练1. 已知AB是O直径，
2、CD是O的弦，ADC26.()如图，求CAB的度数；()如图，过点C作O的切线，与BA的延长线相交于点E，求E的大小第1题图2. 已知AD是RtABC斜边BC上的中线，以AD为直径作O，分别交AB于点M，交BC于另一点E.()如图，连接AE，若AEAM，求EAD的度数；第2题图()如图，过点M作O的切线交BC于点N，过点D作O的切线交MN于点G，若C50，求DGN的度数第2题图3. 已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作O的切线与BA的延长线交于点P，P38.()如图，若点D为的中点，求EDO的大小；()如图，若DOAC，求EDO的大小第3题图4. 已知在O中，直径AB与弦CD相
3、交于点E，ABC58.()如图，若AEC 85，求BAD和CDB的大小；() 如图，若CDAB，过点D作O的切线DF，与AB的延长线相交于点F.求F的大小第4题图5. 已知AB为O的直径，DA为O的切线，切点为A，过O上的点C作CDAB交AD于点D，连接BC，AC.()如图，若DC为O的切线，切点为C，求ACD和DAC的大小；第5题图 ()如图，当CD为O的割线且与O交于点E时，连接AE.若EAD30，求ACD和DAC的大小第5题图6. 在O中，AB是直径，点C、D是AB上方的圆弧上的点，ADC20.()如图，若CDAB，求CAB和ACD的大小；()如图，若AD平分CAB，过点C作O的切线，与
4、BD的延长线交于点E，求E的大小第6题图类型二线段问题典例精讲例 2已知AB为O的直径，点C，D为O上的两点，AD的延长线与BC的延长线交于点P，连接CD，CAB30.()如图，若2，AB4，求AD的长；()如图，过点C作O的切线交AP于点M，若CDAD6，求CM的长例2题图【思维教练】()要求AD的长，需先构造直角三角形，连接DB，由2知CAD与CAB之间的关系，进而求得DAB的大小，再在RtADB中解直角三角形即可求解；()要求CM的长，需先构造直角三角形，连接OC，由直径所对的圆周角为90可知ACB是直角三角形，由四点共圆可知ADC，已知ADCD，可解得DAC和DCA，进而解得OCD，A
5、DOC，由切线的性质和ADOC得出DMC90，再在RtCDM中解直角三角形即可求解【自主解答】针对演练1. 如图，AB是O的弦，OEAB，垂足为P，交于点E，且OP3PE，AB4.()求O的半径；()如图，过点E作O的切线CD，连接OB并延长与该切线交于点D，延长OA交CD于C，求OC的长第1题图2. 已知点A、C在半径为2的O上，直线AB与O相切，OAC30，连接AC与OB相交于点D.()如图，若ABBD，求CD的长；()如图，OB与O交于点E，连接CE，若CEOA，求BE的长第2题图参考答案类型一角度问题典例精讲例 1解：()PA与O相切于点A，PAB90，PAOP90.P20，AOP90
6、P70，BAOP35；()如解图，连接DB，OD，ADOP于点E，AEED，.OAOB，OEDB.OECD，CDDB，AOCCODBOD60.PA为O的切线，PAO90，P90AOC30.例1题解图针对演练1. 解：()如解图，连接BC，AB是O的直径，ACB90.ABCADC26，CAB90ABC64；第1题解图()如解图，连接OC，EC与O相切于点C，OC为O的半径，OCEC，OCE90.AOC2ADC52，E90AOC38.第1题解图2. 解：()如解图，连接MD.AD是O的直径，AEDAMD90.AEAM，ADAD，RtAEDRtAMD，EADMAD.AD是RtABC斜边上的中线，DA
7、DB，BDABEAD.AED90，BDABEAD90，EAD30；第2题解图()如解图，连接OM，在RtABC中，C50，B40.AD是RtABC斜边BC上的中线，ADDB，DABB40.OAOM，OMADAB40，MODOMADAB80.MN，DG分别是O的切线，ODGOMG90，由四边形的内角和知MODODGDGMOMG360，MODDGM180.DGMDGN180，DGNMOD80.第2题解图3. 解：()如解图，连接OC，PC是O的切线，OCPC，即PCO90.P38，POC90P52.点D为的中点，AB为O的直径，AOD90，CODAODPOC142.OCOD，EDOECO，EDO(
8、180COD)19；第3题解图()如解图，连接OC，由()知POC52，EDOECO，OAOC，OACOCA，ACO(180AOC)64.DOAC，ACDEDO，ACDECOEDO，EDOACO32.第3题解图4. 解：()AEC是BEC的一个外角，ABC58，AEC85，CAECABC27.在O中，BADC，BAD27.AB为O的直径，ADB90.在O中，ADCABC58，CDBADBADC32； ()如解图，连接OD，CDAB，CEB90，ECB90EBC32，DOB2DCB64.DF是O的切线，ODF90，F90DOB906426.第4题解图5. 解：()DA，DC均为O的切线，DADC
9、，DAAB，即DAB90，ACDDAC，CDAB，DABADC180.ADC90.ACDDAC45；()由()知，DAB90.CDAB，DABADC180，DEAEAB.ADC90.EAD30，DEAEAB60.BCE120.AB是O的直径，BCA90.ACDBCEBCA30.DAC90ACD60.6. 解：()如解图，连接OC，由圆周角定理得AOC2ADC40，OAOC，CAB(180AOC)70.CDAB，ACD180CAB110；第6题解图() 如解图，连接OC，由()可知AOC40，CAB70，AD平分CAB，DABCAB35.AB为O的直径，ADB90，B90DAB55.CE为O的切
10、线，OC为O的半径，OCE90.BOC180AOC140，在四边形OCEB中，E360OCEBOCB75.第6题解图类型二线段问题典例精讲例 2解：()如解图，连接DB，2，CADCAB15，DABCADCAB45.AB为O的直径，ADB90.AB4，ADBD2；例2题解图()如解图，连接OC，AB为O的直径，ACB90.CAB30，B60.ADCB180，ADC120.ADCD，DACDCA30.OCOA，CAB30，OCACAB30，OCDOCADCA60，ADOC.CM是O的切线， OCCM，OCM90，CMAD，DCMOCMOCD30，DMC90，在RtCDM中，cos30，CM63.
11、例2题解图针对演练1. 解：()OEAB，APAB2，设PEx，则OP3x，OAOE4x，在RtOAP中，OA2OP2AP2，即16x29x228，解得x2(负值已舍)，4x8，O的半径为8；()CD为O的切线，OECD.又OEAB，ABCD，OAPOCE，OC.2. 解：()OAOC，OCAOAC30.AB与O相切，OAB90，BAD903060.ABBD，ABD为等边三角形，CDOADB60，COD180306090，在RtCOD中，cosC，cos30，即CD；()由(1)可得OCAOAC30.CEOA，ACEOAC30，OCEOCAACE60.OCOE，OCE是等边三角形，CEO60.CEOA，AOBCEO60.AB与O相切，OAB90，在RtOAB中，cosAOB，cos60，OB4，BEOBOE422.
