1、抛物线(二)1已知抛物线C：y24x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：ykx1.(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，求OAB的面积2已知点A(m，4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围3设A，B为曲线C：yx24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程参考答案1解
2、：(1)依题意由y=kx+1，y2=4x，消去x得ky24y40，当k0时，显然方程只有一个解，满足条件；当k0时，(4)244k0，解得k1；综上，当k1或k0时，直线l与抛物线C只有一个交点(2)抛物线C：y24x，所以焦点F(1，0)，所以直线方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=x1，y2=4x，消去x得y24y40，所以y1y24，y1y24，所以|y1y2|y1+y224y1y2424442，所以SOAB12|OF|y1y2|1214222.2解：(1)证明：点A(m，4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABk
3、ACy14x14+y24x24x1+44+x2+44x1+x2+840，x1x28.kBCy2y1x2x1x22x124x2x1x1+x242，直线BC的斜率为定值2.(2)设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQy4y3x4x3x3+x44x0212，x01.M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b14，即b94.由y=2x+b，x2=4y，得x28x4b0，x1x28，x1x24b.|BC|1+4|x1x2|5x1+x224x1x2564+16b.又b94，|BC|105.|BC|的取值范围为(105，)3解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1x124，y2x224，x1x24，于是直线AB的斜率ky1y2x1x2x1+x241.(2)由yx24，得yx2.设M(x3，y3)，由题设知x321，解得x32，于是M(2，1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2，2m)，|MN|m1|.将yxm代入yx24得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1，222m+1.从而|AB|2|x1x2|42m+1.由题设知|AB|2|MN|，即42m+12(m1)，解得m7(m1舍去)所以直线AB的方程为yx7
