1、函数与基本初等函数(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax|log4x1，Bx|ex21，则AB()A.(，2) B.(，2C.(0，2) D.(0，22.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x2)，且当x时，f(x)2x21，则f(2 021)()A.7 B.1 C.0 D.13.2021山西太原期末函数f(x)x3ln的图象大致为()4.若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x
2、2R，且x1x2，都有0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(x).以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A.0 B.1 C.2 D.35.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为NN0ekt(N0为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要_小时()A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.
3、26.已知函数f(x)若x1，x2R(x1x2)，都有f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围是()A.(1，3 B.(0，1) C.3，4 D.(1，47.已知函数f(x)满足f(x)1，当x0，1时，f(x)x，若在区间(1，1上方程f(x)mxm0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.8.2022河南名校联考已知实数a，b满足log2alog3b，给出五个关系式：abba；aabb；abba；abaa；bbba.其中不可能成立的关系式的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
4、题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)则有()A.存在x00，使得f(x0)x0B.存在x00，使得f(x0)xC.函数f(x)与f(x)的单调区间和单调性相同D.若f(x1)f(x2)，且x1x2，则x1x2010.已知函数f(x)对任意xR，满足f(x)f(6x)，f(x1)f(x1).若f(a)f(2 020)，a5，9，且f(x)在5，9上单调，则下列结论正确的是()A.f(3)0B.a8C.f(x)是周期为4的周期函数D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称11.已知函数f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)，则下列选项正确的是()A
5、.当a2时，f(x)的值域为RB.存在a，使得f(x)为奇函数或偶函数C.当a2时，f(x)的定义域不可能为RD.存在a，使得f(x)在区间(，2)上单调递减12.2021广东汕头一模已知定义在R上的奇函数，满足f(2x)f(x)0，当x(0，1时，f(x)log2x，若函数F(x)f(x)tan x，在区间1，m上有10个零点，则m的取值可以是()A.3.8 B.3.9 C.4 D.4.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数f(x)则ff(log23)_.14.已知函数f(x)满足定义域为(，0)(0，)；值域为R；f(x)f(x).写出一个满足上述条件的函数f(x)
6、_.15.2022江西南昌二模若函数f(x)在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为_.16.2021浙江模拟定义：mina，b已知函数f(x)min3|2x1|，ax2b，其中a0，bR.若f(0)b，则实数b的取值范围为_；若f(x)的最大值为2，则ab_.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元(包括3万元和6万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加；补助款不低于原纳税额x(万元)的50%.经测算
7、政府决定采用函数模型f(x)4(其中b为参数)作为补助款发放方案.(1)判断使用参数b12是否满足条件，并说明理由；(2)求同时满足条件，的参数b的取值范围.18.(10分)定义在D上的函数f(x)，若满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.(1)设f(x)，判断f(x)在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出f(x)所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.(2)若函数g(x)12xa4x在x0，2上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.参考答案1.C由题得x2x20，解得2x1，所以M(2，1).又N1，1
8、，故MN1，1)，故选C.2.A因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，而f(1)ln(1)1ln 2，所以f(1)ln 2，故选A.3.Calog0.30，b0.3(0，1)，c30.3b，所以cba，故选C.4.A由题意可知35kb35k3b144，35k.当x15时，y315kb315k3b(35k)33b28828836，故设置储存温度15 的保鲜时间近似是36小时.故选A.5.Dyfln，由0，得x1，所以函数的定义域为(，1)，排除选项A和B；设u，yln u，因为函数u在x(，1)上是增函数，函数yln u在u(0，)上是增函数，所以函数yln在(，1)上是增函数，排除选项C
9、，故选D.6.D由题意，知a0且a1.若0a1，则当x(0，1)时，ax20，且yax2单调递增，当x1，2)时，logax0，且ylogax单调递减，所以f(x)不可能有两个不同的解.若a1，则当x(0，1)时，ax20，且yax2单调递增，当x1，2)时，logax0，且ylogax单调递增，所以若f(x)有两个不同的解，则显然成立，因为a越大，loga2的值越小，的值却越大，所以方程loga2有唯一解a2，所以1a2.综上，a(1，2)，故选D.7.B根据题意，经过n小时后，该人血液中的酒精含量为1000.8n，则1000.8n20，所以n7.2，nN*，所以n的最小值为8，故选B.8.
10、B由题意知函数f(x)的定义域为R，f(x)，f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数，且f(x)在(0，)上单调递增.又f(x)，当x时，f(x)；由f(x)为奇函数可知，当x时，f(x)，所以f(x)，则yf(x)的值域为1，0，故选B.9.BC对于选项A：令x211，可得x0，所以函数f(x21)的定义域为x|x0，故选项A不正确；对于选项B：因为f(x)的值域为R，x211，所以f(x21)的值域为R，可得函数f(x21)1的值域为R，故选项B正确；对于选项C：令1，因为ex0在xR时恒成立，所以函数f的定义域为R.因为1，所以函数f的值域为R，故选项C正确；对于选项D：若函数f(f(
11、x)的值域是R，则f(x)1，此时无法判断其定义域是不是R，故选项D不正确.故选BC.10.BCD当x0时，f(x)2x3x5单调递增，此时函数f(x)的取值范围为3，)；当x0时，f(x)3x22x，由f(x)0，得x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，则f(x)maxf.作出f(x)的图象，如图所示.因为030211，且函数yf(x)恰有3个零点，所以由图象得1，即27a31，故整数a可能为28，29，30.故选BCD.11.ABD对A，令t|x1|，t0，所以当x(，1)时，t|x1|单调递减；当x(1，)时，t|x1|单调递增.又因为ylogt在定义域上为减函数，所以f(x)lo
12、g|x1|在(，1)上单调递增，故A正确；对B，因为y|x1|的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，故B正确；对C，因为f(x)log|x1|，所以|x1|0，解得x1，所以函数f(x)log|x1|的定义域为x|x1，故C错误；对D，令t|x1|，t0，则ylogt，所以函数f(x)log|x1|的值域为R，故D正确.12.ABD对于A，若yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)，f(f(x)f(f(x)f(f(x)，也是奇函数，正确；对于B，若yf(x)是周期函数，设周期为T，则f(xT)f(x)，f(f(xT)f(f(x)，也是周期函数，正确；对于C，若yf(x)
13、是减函数，则yf(f(x)是增函数，不正确；对于D，若函数yf(x)存在反函数yf1(x)，且函数yf(x)f1(x)有零点，即yf(x)与yf1(x)的图象有交点，由函数yf(x)与yf1(x)的图象关于直线yx对称，得交点必在直线yx上，即x0R，有f(x0)x0，则函数yf(x)x有零点，故D正确.故选ABD.13.由题意知f(t)f(1)2，当t0时，f(x)2t2无解，当t0时，则log2t2，t.14.1f(x)是定义域为R的奇函数，当x1，1时，f(x)，f(0)0，a1，当x1，1时，f(x)是奇函数.当x1，3时，2x1，1，f(x)f(2x).15.5，0由题意知，当x时，
14、f(x)1，1，g(x)1a，4a，若存在x1，x2，使得f(x1)g(x2)，则1，11a，4a，即a11且a41，解得5a0，所以实数a的取值范围是5，0.16.由f(x)f(x)0知f(x)是奇函数，因为当x0时，f(1x)f(x)，所以f(x)在(，0)上是周期为1的周期函数.易知x1不是F(x)的零点，当x1时，由F(x)0，得f(x)，作出函数yf(x)和y的大致图象如图所示，数形结合可知当这两个函数图象有8个交点时，正确.17.解(1)函数g(x)ax22ax1b(a0，bR)，则对称轴x1，故函数g(x)在2，4上为单调增函数，所以当x2时，g(x)min1，当x4时，g(x)
15、max9，解得故a的值为1，b的值为0.(2)由(1)得g(x)x22x1，f(x)x2，因为不等式f(3x)k3x0在x1，1上有解，所以3x2k3x0在x1，1上有解，设t，t，所以t22t1k在上有解，即(t22t1)maxk，设h(t)t22t1，t，对称轴t1，则当t3时，h(t)maxh(3)9614，所以实数k的取值范围是(，4.18.解(1)对于函数f(x)log3(2xm)，x，由题意可知(1，1)，则1，解得m2.因为f(x)log3(2xm)是(1，1)上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程f(x)f(x)在(1，1)上有解，即log3(2xm)log3(2xm)0，
16、化简得：m24x21，x(1，1)，所以m214x21，5)，又m2，所以m2，).故实数m的取值范围是2，).(2)因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)kf(x)0恒有解，即x24xtkx24kxtk0恒有解，化简得：(k1)x2(4k4)xtkt0，当k1时，解得x0，所以k1满足题意；当k1时，0，即16(k1)24t(k1)20对任意的实数t(，4恒成立，即t(k1)24(k1)20对任意的实数t(，4成立，令g(t)t(k1)24(k1)2，g(t)是关于t的一次函数且为(，4上的增函数，则g(t)maxg(4)0，即16k0，解得k0且k1，综上所述，整数k的最大值为0.
