1、湘教版高中数学必修第一册-3.2.2函数的奇偶性-学案讲义最新课程标准学科核心素养结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义1.了解函数奇偶性的概念(数学抽象)2会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性(逻辑推理)3会利用奇、偶函数的图象(直观想象)4能利用函数的奇偶性解决简单问题(逻辑推理)教材要点要点1偶函数的概念如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)_成立，则称F(x)为偶函数2奇函数的概念如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)_成立，则称F(x)为奇函数3奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于_成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标
2、原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图象关于_对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)已知f(x)是定义在R上的函数若f(1)f(1)，则f(x)一定是偶函数()(2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数()(3)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)0.()(4)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数()2下列函数为奇函数的是()Ay|x| By3xCy1x3 Dyx2143若函数yf(x)，
3、x2，a是偶函数，则a的值为()A2 B2C0 D不能确定4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)题型1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2+x21；(2)f(x)2x2+xx+1；(3)f(x)x21x；(4)f(x)x1x，x0x1+x，x0.方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f
4、(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称跟踪训练1(1)(多选)下列函数中，是偶函数的是()Ay1+x2 Byx1xCyx21x2 Dyxx2(2)函数f(x)12x2+1，x0，12x21，x0是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数题型2函数奇偶性的图象特征例2已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已知画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图象(2)根据图象写出函数yf(x)的递增区间(3)
5、根据图象写出使yf(x)0的x的取值范围方法归纳1巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图象(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图象2奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察跟踪训练2设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_题型3函数奇偶性的应用角度1利用函数的奇偶性求参数例3(1)已知函数f(x)x2(2m)x3为偶函数，则
6、m的值是()A1 B2C3 D4(2)函数f(x)x+2a+3x2+8为奇函数，则实数a()A1 B1C32 D32方法归纳已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程(2)一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去角度2利用函数的奇偶性求函数值例4(1)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x
7、3x22，则f(1)g(1)()A2 B1C1 D2(2)已知函数f(x)ax3bx3，且f(2)10，则函数f(2)的值是_方法归纳利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值角度3利用函数的奇偶性求函数解析式例5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)x(x1)，求f(x)方法归纳利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后
8、利用函数的奇偶性求解即可具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将x代入已知区间上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出对应区间上的f(x)角度4奇偶性与单调性的简单应用例6(1)若对于任意实数x总有f(x)f(x)，且f(x)在区间(，1上是增函数，则()Af32f(1)f(2)Bf(2)f32f(1)Cf(2)f(1)f32Df(1)f32f(2)(2)定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围方法归纳利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性
9、，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练3(1)设函数f(x)x+1x+ax为奇函数，则a_(2)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2，2a，则a_，b_(3)已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)_(4)已知偶函数f(x)，且当x0，)时，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，令af(5)，bf12，cf(2)，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)易错辨析忽
10、视函数的定义域致误例7关于函数f(x)x24+4x2与h(x)x4+4x的奇偶性，下列说法正确的是()A两函数均为偶函数B两函数都既是奇函数又是偶函数C函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数D函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数解析：函数f(x)x24+4x2的定义域满足x240，4x20，即x24，因此函数f(x)的定义域为2，2，关于原点对称，此时f(x)0，满足f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，而函数h(x)x4+4x的定义域为4，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视了
11、函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C.根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(x)f(x)，f(x)f(x)判断函数的奇偶性若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数课堂十分钟1(多选)下列函数是奇函数的有()Ayx33x By1x(x0)Cyx31 Dyx2+1x2函数y4xx2+1的图象大致为()3设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式fxfxx0的解集为()A(1，0)1，+ B.，10，1C(，1)1，+ D.1，00，14已知函数f(x)x2+
12、x，x0，ax2+x，x0是奇函数，则a_5已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)，求函数f(x)的解析式抽象函数没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数题型1抽象函数的定义域(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围(2)函数f(x)的定义域是指x的取值范围，而不是(x)的取值范围(3)f(t)，f(x)，f(h(x)三个函数中的t，(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同例1已知函数f(x)的定义域为0，1，求函数g(x)f(xm)f(x m)(m0)的定义域思路分析：由f(x)的定义域为0，1可知对应关系f作用的范围为0，1，而f(xm)f(x m)的定义域是指
13、当x在什么范围内取值时，才能使xm，x m都在0，1这个区间内，从而使f(xm)f(x m)有意义解析：由题意得0x+m1，0x m1mx1 m，mx1+m.mm，1m1m，而m与1 m的大小不确定，对m与1m的大小讨论若m1m，即m12，则xm12；若m1m，即m12，则mx1m；若m1m，即m12，则x.综上所述，当0m12时，函数g(x)的定义域为x|mx1m，当m12时，函数g(x)的定义域为.题型2抽象函数的奇偶性对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(x)的式子再利用奇偶性的定义加以判断其解题策略为(1
14、)要善于对所给的关系式进行赋值(2)变形要有目的性，要以“f(x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形例2函数f(x)，xR，若对任意实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数证明：令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又令ax，bx，代入f(ab)f(a)f(b)，得f(xx)f(x)f(x)即f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)为奇函数题型3抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系常见思路：先在所证区间上任取两数x1，x2(x1x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函
15、数单调性的定义解决问题例3已知函数f(x)的定义域是x|x0，xR，对定义域内任意的x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f52与f74的大小思路分析：(1)利用赋值法证明f(x) f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)(1)f(1)f(1)，即f(
16、1)2f(1)，即2f(1)0，f(1)0.令x11，x2x，f(x)f(1)xf(1)f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)fx1x2x1f(x1)f(x1)fx2x1f(x1)fx2x1，x2x10，x2x11，又当x1时，f(x)0，fx2x10，即f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f52f52.由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，且5274，则f52f74，f52f74.参考答案与解析新知初探课前预习要点1F(x)2.F(x)3.原点y轴基
17、础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数故选C.答案：C3解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以a2.故选B.答案：B4解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数答案：(2)(4)(1)(3)题型探究课堂解透例1解析：(1)函数f(x)1x2+x21的定义域为1，1，关于原点对称，此时f(x)0，所以函数f(x)1x2+x21既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域是(，1)1，+，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(3)函数f(x)x21x的定义域为(，0)
18、0，+，关于原点对称又因为f(x)x21xx21xf(x)，所以函数f(x)x21x是偶函数(4)方法一：函数f(x)的定义域是(，0)0，+，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)当x0时，x0，f(x)x(1x)f(x)函数f(x)为奇函数方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数跟踪训练1解析：(1)由偶函数的定义可知AC是偶函数故选AC.(2)函数的定义域为(，0)0，+，关于原点对称当x0时，x0，f(x)12(x)21(12x21)f(x)；当x0时，x0，f(x)12(x)2112x21(12x21)f(x)综上可知，函数f
19、(x)12x2+1，x0，12x21，x0是奇函数故选A.答案：(1)AC(2)A例2解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(1，0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值范围为(2，0)0，2跟踪训练2解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5，5上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5答案：x|2x0或20时，x0时，f(x)f(x)x(x1)所以f(x)xx+1，x0xx1，x0.例6解析：(1)对任意实数x总有f(x)f(x)，f(x)为偶函数，f(2)f(2)又f(x)在区间(，1上是增函数，2321
20、，f(2)f32m，解得1m12.实数m的取值范围是1，12.答案：(1)B(2)见解析跟踪训练3解析：(1)方法一(定义法)由已知f(x)f(x)，即x+1x+axx+1x+ax.显然x0得，x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.(经检验满足题意)方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即1+11+a11+11+a1，整理得a1.(2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a23.又因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即b2a0，解得b0.(3)令g(x)x5ax3bx，则g(x)是定义在R上的奇函数从而g(2)g(2)又f(x
21、)g(x)8，f(2)g(2)810.g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.解析：(4)当x0，)时都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，f(x)在x0，)上单调递增又f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图由图可知，当自变量与y轴距离越近，则函数值越小，即12|2|5|，则f12f(2)cb.答案：(1)1(2)230(3)26(4)acb课堂十分钟1解析：A中函数的定义域为R，f(x)x33x，f(x)(x33x)f(x)，则函数f(x)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，f(0)011
22、0，则函数f(x)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(，0)0，+，fxx2+1xx2+1xf(x)，则函数f(x)是奇函数故选AD.答案：AD2解析：函数的定义域为R.由函数的解析式可得：f(x)4xx2+1f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当x1时，y41+120，选项B错误故选A.答案：A3解析：由f(x)为奇函数可知，fxfxx2fxx0时，f(x)0f(1)；当x0f(1)又f(x)在(0，)上为增函数，奇函数f(x)在(，0)上为增函数所以0x1，或1x0.故选D.答案：D4解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即(a1)(11)0，故a1.答案：15解析：当x0，则f(x)(x)(x1)x(x1)又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(x)x(x1)，又f(0)0.综上，函数f(x)的解析式为f(x)xx1，x0，0，x=0，xx+1，x0.
