1、湘教版高中数学必修第一册-3.1.1对函数概念的再认识-学案讲义最新课程标准学科核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念2体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用3了解构成函数的要素4能求简单函数的定义域1.了解函数的有关概念(数学抽象)2会求函数的定义域和简单的值域(数学运算)3会判断函数是否是同一个函数(数学运算)教材要点要点一函数的概念概念一般地，设A，B是两个非空的_，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有_的数y和它对应，那么称这样的对应f：AB为定义于A取值于B的函数三要素对应关系
2、yf(x)，(xA，yB)定义域_的取值范围值域与xA对应的函数值组成的集合f(x)|xA状元随笔对函数概念的4点说明：(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系要点二两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个xU都有f(x)g(x)时，叫作相等状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系即要检验给
3、定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应要点三常见函数的定义域和值域1一次函数f(x)axb(a0)的定义域为_，值域是_2二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域是_，当a0时，值域为_，当a0时，值域为_基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合()(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合()(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数()2下列可作为函
4、数yf(x)的图象的是()3函数y1x1的定义域是()Ax|x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x14若f(x)xx+1，则f(3)_题型1函数关系的判断例1(1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()AA1，0，1，B0，1，f：A中的数平方BA0，1，B1，0，1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DA平行四边形，BR，f：求A中平行四边形的面积(2)设Ax|0x2，Bx|1x2，能表示从集合A到集合B的函数关系的是()方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能没有数y对应
5、数x，也不能有多于一个的数y对应x.(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤任取一条垂直于x轴的直线l；在定义域内平行移动直线l；若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练1(1)(多选)已知集合M1，1，2，4，N1，2，4，给出下列四个对应关系：yx2，yx1，yx1，y|x|.其中不能构成从M到N的函数的是()A BC D(2)图中所给图象是函数图象的个数为()A1 B2C3 D4题型2求函数的定义域例2(1)函数f(x)1x+1x+3的定义域为()Ax|3x0Bx|3x1Cx|x3或3x0Dx|x3或3x1(2)函数f(x)
6、x120x+2的定义域为()Axx2且x12Bx|x2Cxx2且x12Dx|x2方法归纳求给出解析式的函数的定义域的基本步骤常见函数的定义域(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；(4)函数yx0中的x不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集跟踪训练2(1)函数f(x)x2x23x2的定义域为()Ax|x0Bxx12Cxx0且x12Dx12
7、x0(2)函数yx+3x2的定义域为_题型3两个函数是相等函数的判断例3(多选)下列各组函数是相等函数的是()Af(x)2x3与g(x)x2xBf(x)x与g(x)x2Cf(x)x0与g(x)1x0Df(x)x2x1与g(t)t2t1方法归纳判断相等函数的三个步骤和两个注意点(1)判断相等函数的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练3下列函数中与函数yx2是相等函数的是()Auv2 Byx|x|Cyx3x Dy(x)4题型4函数值与函数的值域例4(1)设f(x)2x22，g(x)1x+2，求：f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)；g(f
8、(2)，f(g(2)(2)求下列函数的值域y34x，x(1，3；y2xx+1；yx12x.方法归纳1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axbcx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形
9、式，便于求值域跟踪训练4(1)下列函数中，值域为(0，)的是()Ayx By1xCy1x Dyx21(2)已知函数f(x)x+1x+2.求f(2)；f(f(1)易错辨析忽略参数取值范围致误例5若函数f(x)xmx2mx+2的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析：函数f(x)xmx2mx+2的定义域为R，即mx2mx20恒成立当m0时，易知成立，当m0时，需满足m0，=m28m0，0m8，综上所述，0m8.答案：0m8易错警示易错原因纠错心得漏掉了m0的情况致误，错误答案：0m8.由函数的定义域求参数时，若二项系数含有参数，一定要分情况讨论，否则容易发生错误课堂十分钟1下列各图中，一定不是函数
10、图象的是()2函数f(x)13xx的定义域为()Axx13 Bxx13Cx0x13 Dxx13且x03下列各组函数中，表示相等函数的是()Af(x)x2，g(x)(x)2Bf(x)x2，g(x)|x|Cf(x)1，g(x)x0Df(x)x+1x21，g(x)1x14已知函数f(x)11+x，又知f(t)6，则t_5已知函数f(x)1x+1+x+2.(1)求f(x)的定义域；(2)若a0，求f(a1)的值参考答案与解析新知初探课前预习要点一实数集唯一确定x要点三1RR2R4acb24a，+，4acb24a基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由函数的定义可知D正确答案：D3解析：要使函
11、数y1x1有意义，则必须x10，x10.x1，故选C.答案：C4解析：f(3)33+1321.答案：1题型探究课堂解透例1解析：(1)对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义综上，选A.(2)A中，函数的值域为y|0y2，不满足条件；B中，函数的值域为y|0y2，不满足条件；C中，在0x2内，一个x有两个y与之对应，不满足条件；D中，每个x都有唯一确定的y与之对应，是函数关系故选D.答案：(1)A(2)D跟踪训练1解析：(1)中，当x4时，y4216
12、N，故不能构成函数中，当x1时，y110N，故不能构成函数；中，当x1时，y112N，故不能构成函数；中，当x1时，y|x|1N，当x2时，y|x|2N，当x4时，y|x|4N，故构成函数故选ABC.(2)根据函数的概念可知是函数的图象故选B.答案：(1)ABC(2)B例2解析：(1)要使函数f(x)有意义，则1x0，x+30，解得x1且x3，所以函数f(x)的定义域为x|x1且x3，即x|x3或3x1故选D.(2)要使函数f(x)有意义，则x12，x+20，解得x2且x12，故选A.答案：(1)D(2)A跟踪训练2解析：(1)要使函数f(x)有意义，则x0，2x23x20，解得x0且x12，
13、故选C.(2)函数解析式为yx+3x2，x30且x2，x3且x2.答案：(1)C(2)x|x3且x2例3解析：A中，定义域都是(，0，但解析式不相同；B中，g(x)x2|x|与f(x)x解析式不同；C、D是相等函数答案：CD跟踪训练3解析：函数yx2的定义域为R，对于A项，uv2的定义域为R，对应法则与yx2一致，则A正确；对于B项，yx|x|的对应法则与yx2不一致，则B错误；对于C项，yx3x的定义域为x|x0，则C错误；对于D项，y(x)4的定义域为x|x0，则D错误；故选A.答案：A例4解析：(1)f(2)222210；f(a3)2(a3)222a212a20；g(a)g(0)1a+2
14、+12；g(f(2)g(10)110+2112；f(g(2)f1421422178.(2)因为x(1，3，所以124x4，所以934x0得tx0，由y1t(t0)的图象知其值域为(0，)，B符合；C中，由y1x(x0)的图象知，y1x的值域为(，0)0，+，C不符合；D中，yx211，值域为1，)，不符合(2)f(2)2+12+234；f(1)1+11+223；f(f(1)f2323+123+258.答案：(1)B(2)见解析课堂十分钟1解析：对于A选项，由图象可知，存在x同时对应两个函数值y，A选项中的图象不是函数图象；对于B选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，B选项中的图象是
15、函数图象；对于C选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，C选项中的图象是函数图象；对于D选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，D选项中的图象是函数图象故选A.答案：A2解析：要使f(x)有意义，只需满足13x0，x0，即x13且x0.故选D.答案：D3解析：对于选项A：f(x)x2的定义域为R，g(x)(x)2的定义域为0，)，定义域不同不是相等函数，故A不正确；对于选项B：f(x)x2|x|，g(x)|x|是相等函数，故B正确；对于选项C：f(x)1定义域为R，g(x)x01，定义域为x|x0，定义域不同不是相等函数，故C不正确；对于选项D：f(x)x+1x21的定义域为x|x1，g(x)1x1的定义域为x|x1，定义域不同不是相等函数，故D不正确；故选B.答案：B4解析：由f(t)6，得11+t6，即t56.答案：565解析：(1)由x+10x+20，解得x2且x1，故f(x)的定义域为xx2且x1；(2)若a0，f(a1)1a1+1+a1+21a+a+1.
