1、湘教版高中数学必修第一册-4.2.2.1指数函数的图象与性质(1)-学案讲义教材要点要点指数函数的图象与性质表达式yax(a1)yax(0a1)图象定义域R值域_性质函数的图象过点_，即a01是R上的_是R上的_状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”当a 1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)指数函数的图象都在y轴上方()(2)因为a01(a0且a1)，所以函数yax恒过(0，1)点()(3)若指数函数ymx是减函数，则0m1.()(4)函数y3x的图象在函数y2x图象的上方()2
2、函数y2x的图象是()3函数f(x)2x1的定义域是()A0，) B1，)C(，0 D(，14函数yax2(a0且a1)的图象恒过定点，则定点坐标为_题型1指数型函数的定义域和值域例1求下列函数的定义域和值域(1)y21x4；(2)y3x22x；(3)y2xx1.方法归纳与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a0且a1)：(1)函数yaf(x)的定义域与f(x)的定义域相同；(2)求函数yaf(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数yax的单调性确定函数yaf(x)的值域；(3)求函数yf(ax)的定义域，需先确定yf(u)的定义域，即u的取值范围，亦即uax的值域，由此构
3、造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得yf(ax)的定义域；(4)求函数yf(ax)的值域，需先利用函数uax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数yf(u)的值域，即为yf(ax)的值域跟踪训练1(1)函数f(x)12x+1x+3的定义域为()A(3，0 B(3，1C(，3)3，0 D.，33，1(2)函数f(x)12x+1的值域是_题型2指数函数的图象角度1图象过定点例2已知函数f(x)a2x12(a为常数，且a0，a1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(0，1)B(1，2) C(1，3)D12，3方法归纳解决指数型函数图象过定点问题的思路指
4、数函数yax(a0且a1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如ykaxcb(k0，a0，a1)的函数图象过定点的问题，即令指数xc0，即xc，得ykb，函数图象过定点(c，kb)角度2指数函数的底与其图象的关系例3如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A.ab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc方法归纳设ab1cd0，则yax，ybx，ycx，ydx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限
5、内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴角度3有关指数函数图象的识别例4二次函数yax2bx与指数函数ybax的图象可以是()方法归纳识别与指数函数图象有关问题应把握三点：(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a1或0a1；(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数跟踪训练2(1)已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与g(x)ax的图象可能是()(3)设函数f(x
6、)3ax11(a0且a1)恒过定点(m，n)，则mn_题型3指数函数图象的综合应用例5若直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围方法归纳数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，对于不易求解的方程解的个数问题，常构造函数，转化为函数图象的交点问题来解决跟踪训练3若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_易错辨析换元法求函数的值域时，忽略新元的取值范围致误例6求函数f(x)14x12x1的值域解析：令12xt0，则原函数可化为f(t)t2t1t+12234，因为f(t)t+12234在(0，)上是增函数，所以f(x)1，即函数f(
7、x)的值域是(1，)易错警示易错原因纠错心得换元时，t12x0，而不是tR，若误认为tR，则有f(x)34，+.求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设axt，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，最后转化为f(t)的值域课堂十分钟1已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A(1，5) B(1，4)C(0，4) D(4，0)2已知函数g(x)3xt的图象不经过第二象限，则t的取值范围为()At1 Bt1Ct3 Dt33函数yax1a(a0，a1)的图象可能是()4函数y10x0.1的定义域为_5已知函数f(x)ax1(x0)的图象经过点2，12，其中a0且a1.(
8、1)求a的值；(2)求函数yf(x)1(x0)的值域参考答案与解析新知初探课前预习要点(0，)(0，1)增函数减函数基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：y2x12x是(，)上的单调递减函数答案：B3解析：由2x10，得2x20，x0.答案：A4解析：令x20，即x2时，y1，函数yax2的图象恒过定点(2，1)答案：(2，1)题型探究课堂解透例1解析：(1)要使函数有意义，则x40，解得x4，所以函数y21x4的定义域为x|x4因为1x40，所以21x41，即函数y21x4的值域为y|y0且y1(2)要使函数有意义，则x22x0，x0或x2，函数的定义域为x|x0或x2，由于x22
9、x0，3x22x301，即y1，函数的值域为1，)(3)要使函数有意义，则x10，x1，函数的定义域为x|x1，由于xx1x1+1x111x11，2xx12且2xx10，即y0且y2.函数的值域为(0，2)2，+跟踪训练1解析：(1)由题意知12x0，x+30，解得3x0，故函数f(x)的定义域为(3，0.故选A.(2)令t|x1|，则t0，00且a1)的图象恒过点(0，1)，所以2x10，即x12，此时y3.所以函数f(x)a2x12恒过定点12，3.答案：D例3解析：由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.过点(1，0)作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为
10、各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1d0，b2a0，故二次函数yax2bx图象的对称轴直线xb2a位于y轴的左侧，排除A，C选项，对于选项B，由二次函数图象可得a0，且函数图象与x轴交点的横坐标ba1，则指数函数应该单调递增，故B不正确故选D.答案：D跟踪训练2解析：(1)由于0mn1时，f(x)ax过原点且斜率大于1，g(x)ax是递增的；当0a1时，f(x)ax过原点且斜率小于1，g(x)ax是减函数，显然B正确故选B.(3)令x10，即x1时，此时f(1)2.m1，n2，mn121.答案：(1)C(2)B(3)1例5解析：作出y2a和y|ax1
11、|的图象当0a1时，y|ax1|的图象如图所示由已知，得02a1，所以0a1时，y|ax1|的图象如图所示由已知，得02a1，所以0a1矛盾综上可知，0a0，1a0，函数yax需向下平移1a个单位，不过(0，1)点，所以排除A，当a1时，01a1，所以排除B，当0a1，所以排除C.答案：D4解析：由题意，函数y10x0.1有意义，则满足10x0.10，即10x0.1，解得x1，所以函数的定义域为1，+.答案：1，+5解析：(1)因为函数f(x)ax1(x0)的图象经过点2，12，所以f(2)a21a12.(2)由(1)得f(x)12x1(x0)，因为函数在0，)上是减函数，所以当x0时，函数取最大值2，故f(x)(0，2，所以函数yf(x)112x11(x0)(1，3故函数yf(x)1(x0)的值域为(1，3.
