1、湘教版高中数学必修第一册-3.1.2表示函数的方法-学案讲义最新课程标准学科核心素养1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数2理解函数图象的作用1.会用解析法、列表法、图象法表示函数(数学建模)2会求函数的解析式(逻辑推理、数学运算)3能作出函数的图象(直观想象)教材要点要点函数的表示法表示法定义解析法用_来表示函数的方法列表法用_来表示两个变量之间的对应关系的方法图象法用_来表示两个变量之间的对应关系的方法状元随笔1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系2由列表法和图象法的概念可知：函数也可
2、以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)列表法表示yf(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况()(2)任何一个函数都可以用图象法表示出来()(3)任何一个函数都可以用解析法表示出来()(4)函数的图象一定是连续不断的曲线()2函数f(x)3x1，x1，5的图象是()A直线 B射线C线段 D离散的点3一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为()Ay50x(x0) By100x(x0)Cy50x(x0) Dy
3、100x(x0)4已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1)的值为_当g(f(x)2时，x_题型1函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款y(元)与台数x(台)之间的函数关系，分别用列表法、解析法和图象法表示出来方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主跟
4、踪训练1已知函数f(x)x1，x1，2，3，4，试分别用图象法和列表法表示函数yf(x)题型2函数图象的画法例2作出下列函数的图象(1)y2x，x2，)；(2)yx22x，x2，2)方法归纳(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心圈注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等跟踪训练2作出下列函数的图象(1)y1x(xZ且|x|2)(2)y2x24x3，(x0，3)题型3求函数的解析式角度1已知函数类型
5、求函数解析式例3求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x1，求f(x)；(2)已知二次函数f(x)满足f(0)f(4)，且f(x)0的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)角度2已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式例4(1)若f1xx1x，则当x0，且x1时，函数的解析式f(x)_；(2)已知f(x1)x2x，则f(x)_角度3已知式中含f(x)，f1x或f(x)，f(x)形式的式子，求f(x)的解析式例5已知f(x)2f1xx(x0)，则f(x)_方法归纳1待定系数法求解析式根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法：正
6、比例函数ykx，k0反比例函数ykx，k0一元一次函数ykxb，k0一元二次函数一般式：yax2bxc，a0顶点式：ya(xh)2k，a0两点式：ya(xx1)(xx2)，a02.换元法求函数的解析式已知复合函数f(g(x)的解析式，令tg(x)，当x比较容易解出时，可以解出x换元代入；当x不容易解出时，可以考虑先构造，如fx+1xx21x2x+1x22，令tx1x，换元代入换元法还要注意换元t的范围3解方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(x)，f(x)的方程，联立解出f(x)
7、.跟踪训练3(1)已知f(x1)x23x2，则f(x)_(2)已知函数yf(x)是一次函数，且f(x)23f(x)4x210x4，则f(x)_(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)2f(x)12x，则f(x)_易错辨析换元时忽略函数的定义域致误例6已知函数f(x2)x4x5，则f(x)的解析式为()Af(x)x21Bf(x)x21(x2)Cf(x)x2 Df(x)x2(x2)解析：f(x2)x4x5令x2t2，则xt2，f(t)(t2)24(t2)5t21(t2)f(x)x21(x2)，故选B.答案：B易错警示易错原因纠错心得换元时，令x2t，忽略了t的范围，错选A.已知函数yf(g(
8、x)的解析式，求函数yf(x)的解析式时，若函数yg(x)的值域不是全体实数，则所求得的函数yf(x)的解析式必须带有定义域(即函数yg(x)的值域)课堂十分钟1已知函数f(x)由下表给出，则f(11)()x0x55x1010x1515x20f(x)2345A.2 B3C4 D52y与x成反比，且当x2时，y1，则y关于x的函数关系式为()Ay1x By1xCy2x Dy2x3已知f(x1)x24x5，则f(x)的表达式是()Af(x)x26x Bf(x)x28x7Cf(x)x22x3 Df(x)x26x104已知函数f(2x1)3x5，若f(x0)4，则x0_5已知函数f(x)x22x(1x
9、2)(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域参考答案与解析新知初探课前预习要点解析式表格图象基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：f(x)3x1为一次函数，图象为一条直线，而x1，5，则此时的图象为线段故选C.答案：C3解析：由题意知，x+3x2y100，得2xy100，y50x(x0)，故选C.答案：C4解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)3，f(g(1)f(3)1.由于g(2)2，f(x)2，x1.答案：11题型探究课堂解透例1解析：(1)列表法：x(台)12345678910y(元)3 0006 0009 00012 00015 00018 0
10、0021 00024 00027 00030 000(2)图象法：如图所示(3)解析法：y3 000x，x1，2，3，10跟踪训练1解析：用图象法表示函数yf(x)，如图所示：用列表法表示如下：x1234y2345例2解析：(1)列表x2345y1231225当x2，)时，图象是反比例函数y2x的一部分(2)列表x21012y01038画图象，图象是抛物线yx22x在2x2之间的部分跟踪训练2解析：(1)因为xZ，且|x|2，所以x2，1，0，1，2，所以该函数图象为直线y1x上的孤立点(如图)(2)因为y2(x1)25，所以当x0时，y3；当x3时，y3；当x1时，y5.因为x0，3)，故图
11、象是一段抛物线(如图)例3解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又因为f(f(x)4x1，所以a2xabb4x1.所以a2=4，ab+b=1，解得a=2，b=13或a=2，b=1.所以f(x)2x13或f(x)2x1.(2)设f(x)ax2bxc(a0)，所以f0=c，f4=16a+4b+c，因为f(0)f(4)所以4ab0.因为图象过点(0，3)，所以c3.设f(x)0的两实根分别为x1，x2，则x1x2ba，x1x2ca，所以x12+x22(x1x2)22x1x2ba22ca10.即b22ac10a2由得a1，b
12、4，c3.所以f(x)x24x3.例4解析：(1)设t1x(t0，且t1)，则x1t，f(t)1t11t1t1，f(x)1x1(x0，且x1)(2)令x1t(t1)，则x(t1)20，f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，f(x)x21(x1)答案：(1)1x1(x0且x1)(2)x21(x1)例5解析：用1x替换式子中的x，可得f1x2f(x)1x.于是有fx+2f1x=xf1x+2fx=1x消去f1x得f(x)23xx3(x0)答案：23xx3(x0)跟踪训练3解析：(1)设x1t，则xt1，f(t)(t1)23(t1)2t25t6，f(x)x25x6.(2)设f(x)kxb(k0)
13、则f(x)23f(x)(kxb)23(kxb)k2x2(2kb3k)xb23b4x210x4，所以k2=4，2kb3k=10，b23b=4，解得k=2b=4或k=2，b=1.f(x)2x4或f(x)2x1.(3)用x代x可得f(x)2f(x)12x，由fx2fx=1+2x，fx2fx=12x.消去f(x)得f(x)23x1.答案：(1)x25x6(2)2x4或2x1(3)23x1课堂十分钟1解析：由图表可知f(11)4.故选C.答案：C2解析：设ykx(k0)，当x2时，y1，所以1k2，得k2.故y2x.故选C.答案：C3解析：方法一：设tx1，则xt1.f(x1)x24x5f(t)(t1)24(t1)5t26t，f(x)的表达式是f(x)x26x；方法二：f(x1)x24x5(x1)26(x1)，f(x)x26x，f(x)的表达式是f(x)x26x.故选A.答案：A4解析：令t2x1，则xt+12，f(t)3t+32532t72.所以f(x)32x72.因为f(x0)4，所以32x0724，解得x05.答案：55解析：(1)f(x)图象的简图如图所示(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是1，3，则f(x)的值域是1，3.
