1、湘教版高中数学必修第一册-4.2.2.2指数函数的图象与性质(2)-学案讲义教材要点要点一比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用_的单调性来判断(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用_的变化规律来判断(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过_来判断要点二解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的_求解(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为_，再借助yax的_求解(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解要点三指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0
2、，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有_的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有_的单调性；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性_基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)yax(a0且a1)的最小值为0.()(2)y21x是R上的增函数()(3)若0.1a0.1b，则ab.()(4)由于yax(a0，且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数()2下列函数中是奇函数，且在(0，)上单调递增的是()Ay1x By|x|Cy2x Dyx33下列判断正确的是()A1.51.51.52 B0.52
3、0.53Ce22e D0.90.20.90.54函数y2|x|的单调递减区间是_题型1指数函数单调性的应用角度1比较大小例1(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是()A1.52.51.53.2 B0.61.20.61.5C1.50.30.81.2 D0.30.40.20.5(2)比较下列各值的大小：4313，223，233，3412.方法归纳比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较角度2解简单的指数不等式例2(1)不等式3x21的解集为_(2)若ax11a53x(a0且a1)，求x的取值范围方法归纳解与指数相关的不等式的策略底数不同的先要化同底，底
4、数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解跟踪训练1(1)已知a20.1，b0.33，c0.30.1，则a、b、c的大小关系为()Aabc BcbaCbca Dacb(2)解不等式(13)x2XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
5、XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX23.题型2与指数函数有关的复合函数的单调性例3(1)函数y31x的单调递减区间是()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)和(0，)(2)求函数yax22x3的单调区间方法归纳(1)关于指数型函数y
6、af(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性跟踪训练2已知函数f(x)(13)x22x，判断函数f(x)的单调性题型3指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)1a3x3x+1(2b6xb)是奇函数(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)是区间(2b6，b)上的减函数；(3)若f(m2)f(2m1)0，求实数m的取值范围方法归纳解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)
7、注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论跟踪训练3已知函数f(x)12x1+12x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明：f(x)0.易错辨析忽视对指数函数的底数分类讨论致误例5若函数yax(a0，且a1)在1，2上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为()A12B32 C23或2D12或32解析：当a1时，yax在1，2上的最大值为a2，最小值为a，故有a2aa2，解得a32或a0(舍去)当0a1时，yax在1，2上的最大值为
8、a，最小值为a2，故有aa2a2，解得a12或a0(舍去)综上，a32或a12.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a分a1或0a1两种情况讨论，误认为最大值为a2，最小值为a，由a2aa2，解得a32，漏掉了另一种情况致误由于指数函数的单调性，根据底数与1的大小关系判断，因此涉及含参数的指数函数单调性问题时要根据底数与1的大小关系分类讨论课堂十分钟1已知a40.1，b0.40.5，c0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是()Acba BbacCabc Dacb2设f(x)12x，xR，那么f(x)是()A奇函数且在(0，)上是增函数B偶函数且在(0，)上是增函数C奇函数且在(0，
9、)上是减函数D偶函数且在(0，)上是减函数3若函数f(x)ax(a0且a1)在2，1上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为()A12 B14或12C116 D12或1164不等式232x0.53x4的解集为_5已知函数f(x)2x22x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在0，3上的值域参考答案与解析新知初探课前预习要点一(1)指数函数(2)指数函数图象(3)中间值要点二(1)单调性(2)以a为底的指数幂单调性要点三(1)相同(2)相同相反基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：y1x在(0，)上单调递减，所以排除A；y|x|是偶函数，所以排除B；y2x为非奇非偶
10、函数，所以排除C.答案：D3解析：因为y0.9x是减函数，且0.50.2，所以0.90.20.90.5.答案：D4解析：函数y2|x|的图象如图由图可知，函数y2|x|的单调递减区间是(，0.答案：(，0题型探究课堂解透例1解析：(1)A中，函数y1.5x在R上是增函数，2.53.2，1.52.51.5，0.61.21.501，而0.81.20.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y0.3x，y0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.40.20.5，D不正确故选BD.(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：负数：233；大于1的数：4313，223；大于0且小于1的数：3412.
11、也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x 的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图) 故有23334124313223.答案：(1)BD2233341243130.30.1c，指数函数y0.3x为R上的减函数，则b0.330.30.1c.因此，bca.(2) (13)x2XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
12、XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX232x23，y3x是R上的增函数，2x21，解得x1或x1，原不等式的解集是x|x1或x1答案：(1)C(2)见解析例3解析：(
13、1)设u1x，则y3u，对任意的0x1u2.又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y31x在(0，)上是减函数对任意的x1x2u2，又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y31x在(，0)上是减函数所以函数y31x的单调递减区间是(，0)和(0，)故选D.(2)设yau，ux22x3，由ux22x3(x1)24，得u在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1)；当0a1时，原函数的增区间为(，1)，减区间为1，)答案：(1)D(2)见解析跟踪训练2解析：令ux22x，则原函数变为y13u.ux22x(x
14、1)21在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增，又y13u在(，)上单调递减，y(13)x22x在(，1)上单调递增，在1，)上单调递减例4解析：(1)函数f(x)1a3x3x+1(2b6xb)是奇函数，所以f(x)f(x)恒成立，即1a3x3x+11a3x3x+1，整理得(a2)(3x1)0，所以a2，因为2b6b0，解得b2，所以a2，b2.(2)证明：由(1)得f(x)123x3x+1，x(2，2)，设任意取x1，x2(2，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2)123x13x1+1123x23x2+123x23x13x1+13x2+1，因为x1x2，所以3x10，3x210，所以23
15、x23x13x1+13x2+10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)是区间(2b6，b)上的减函数(3)f(m2)f(2m1)0，所以f(m2)f(2m1)，因为函数f(x)是奇函数，所以f(m2)f(2m1)，因为函数f(x)是区间(2，2)上的减函数，所以m22m12m2222m+10时，2x1，2x10，12x1+120.x30，f(x)0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x0也成立故对于x(，0)0，+，恒有f(x)0.课堂十分钟1解析：因为40.11，0.40.80.40.5bc.答案：C2解析：因为f(x)12x12xf(x)，所以f(x)为偶函数又当
16、x0时，f(x)12x在(0，)上是减函数，答案：D3解析：函数f(x)ax在2，1上：当0a1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)a4，最小值f(2)a2m，即有m116；综上，有m12或m116.答案：D4解析：原不等式可化为232x243x，因为函数y2x是R上的增函数，所以32x43x，解得x1，则解集为x|x1答案：x|x15解析：(1)函数y2x22x的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在1，)上是减函数综上，函数y2x22x的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1.(2)由(1)知f(x)在0，1上单调递增，在1，3上单调递减，且f(0)1，f(1)2，f(3)18，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(3)18，所以f(x)的值域为18，2.
