1、微专题微专题 二次函数与平行四边形问题二次函数与平行四边形问题例例1 已知抛物线交已知抛物线交x轴于轴于A、B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C.连接连接AC.微技能微技能分类讨论思想确定动点位置分类讨论思想确定动点位置一阶一阶一题多设问一题多设问探究探究1(已知三个顶点位置已知三个顶点位置)：点：点D是坐标平面内一点，请找出点是坐标平面内一点，请找出点D，使，使得以点得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形(1)当以当以AB为对角线时，为对角线时，AC_，AD_；在图；在图中中画出所有满足条件的点画出所有满足条件的点D的示意图的示
2、意图(保留作图痕迹保留作图痕迹).BDBC(1)满足条件的点满足条件的点D1的如解图的如解图；例1题图D1(2)当以当以BC为对角线时，为对角线时，AB_，AC_；在图中画；在图中画出所有满足条件的点出所有满足条件的点D的示意图的示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹).CDBD例1题图(2)满足条件的点满足条件的点D2的如解图；的如解图；D2(3)当以当以AC为对角线时，为对角线时，AB_，AD_；在图中；在图中画出所有满足条件的点画出所有满足条件的点D的示意图的示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹).CDBC例1题图(3)满足条件的点满足条件的点D3的如解图；的如解图；两组对边分别平行的四边形是平行
3、四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形.【作图依据】【作图依据】_D3探究探究2(已知两个顶点位置，其余两点在函数图象上已知两个顶点位置，其余两点在函数图象上)：点：点P是抛物线上是抛物线上一点，点一点，点Q是抛物线对称轴上一点，请找出点是抛物线对称轴上一点，请找出点P、Q，使得以点，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形例1题图(1)当以当以AC为边时，四边形为边时，四边形APQC或四边形或四边形AQPC是平行四边形，此时是平行四边形，此时AC_，AP_在图中画出所有满足条件的点在图中画出所有满足条件的点P的的示意图示意图(保留作图痕迹保留作图痕迹).
4、CQPQ(1)满足条件的点满足条件的点P如解图；如解图；例1题图例1题图Q1P1Q2P2(2)当以当以AC为对角线时，四边形为对角线时，四边形APCQ是平行四边形，此时是平行四边形，此时AP_，AQ_；在图中画出所有满足条件的点；在图中画出所有满足条件的点P的示意的示意图图(保留作图痕迹保留作图痕迹).CPCQ(2)满足条件的点满足条件的点P如解图如解图.P3Q3例1题图【方法总结】二次函数中平行四边形的存在性一般要分情况讨论：常【方法总结】二次函数中平行四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知线段为以已知线段为_或或_讨论；以探究讨论；以探究1为例，已知为例，已知AB为对角为对角线时，作图方
5、法为：线时，作图方法为：_，所找点即，所找点即为为_的交点；若已知的交点；若已知AB为边时，作图方法为：为边时，作图方法为：_，所找点即为，所找点即为_的交点的交点对角线对角线边边分别过点分别过点A、C作作BC，AC的平行线的平行线两平行线两平行线两平行线两平行线分别过点分别过点A、C作作BC，AB的平行线，或分别过点的平行线，或分别过点B、C作作AC、AB的平的平行线行线例2题图例例2 如图，抛物线经过如图，抛物线经过 A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)三点，顶点为三点，顶点为 M，连接，连接 AC，抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为直线直线 l，l与与 x轴交于点轴交于点 D，与，与
6、 AC交于点交于点 E.一题多设问一题多设问一题多设问一题多设问二阶二阶(1)设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为yax2bxc(a0)，将点将点A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)分别代入可得，分别代入可得，解得解得抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx26x5；2550,0,5,abcabcc abc1,6,5,(1)求抛物线的表达式求抛物线的表达式;例2题图例2题图【思维教练】点【思维教练】点A、B、C为定点，要使以为定点，要使以A、B、C、P为顶点的四边为顶点的四边形是平行四边形，则需分当形是平行四边形，则需分当AC为边或对角线时进行讨论为边或对角线时进行讨论(2)坐标平面内是否存在
7、点坐标平面内是否存在点P，使得以，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理的坐标；若不存在，请说明理由由(2)存在，点存在，点P在坐标为在坐标为(4，5)或或(6，5)或或(4，5)；【解法提示】如解图【解法提示】如解图，当，当AC为边时，四边形为边时，四边形ABPC为平行四边形，为平行四边形，则则CPAB4，此时点，此时点P的坐标为的坐标为(4，5)；四边形四边形APBC为平行四边形，则为平行四边形，则APBC，|xP|AO OB 6，ypyc5，此时点此时点P的坐标为的坐标为(6，5)；
8、当当AC为对角线时，四边形为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，为平行四边形，CPAB4，此时点此时点P的坐标为的坐标为(4，5)综上可知，点综上可知，点P的坐标为的坐标为(4，5)或或(6，5)或或(4，5)例2题解图例2题图【思维教练】由【思维教练】由GHx轴，轴，AB在在x轴上可知轴上可知ABGH，从而只需，从而只需GHAB即可得到以即可得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形(3)设点设点 G是抛物线上一点，过点是抛物线上一点，过点 G作作 GHx轴交对称轴轴交对称轴 l于点于点 H，是，是否存在点否存在点 G，使得以，使得以 A、B、G、H为顶点的四
9、边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题解图(3)存在；存在；如解图如解图，点点G在抛物线上，则设点在抛物线上，则设点G的坐标为的坐标为(g，g26g5)，GHx轴，点轴，点H在对称轴在对称轴l上，上，对称轴为直线对称轴为直线x 3，H(3，g26g5)，GHAB，要使以要使以A、B、G、H为顶点的四边形为平行四为顶点的四边形为平行四边形，则边形，则GHAB4，即即|g3|4，解得，解得g1或或g7.2ba 当当g1时，时，g26g512，此时点此时点G的坐标为的坐标为G1(1，12)；当当
10、g7时，时，g26g512，此时点此时点G的坐标为的坐标为G2(7，12)综上所述，综上所述，满足条件的点满足条件的点G的坐标为的坐标为(1，12)或或(7，12)；例2题解图(4)设点设点 K是抛物线上一点，过是抛物线上一点，过 K作作 KJy轴，交直线轴，交直线 AC于点于点 J，是，是否存在点否存在点 K，使得以，使得以 M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形，若为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点存在，求出点 K的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】根据点【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线分别为抛物线和直线AC上的点，设出点上的
11、点，设出点K、J坐标，由坐标，由KJME，从而只需，从而只需KJME即可得到平行四边形，再根据即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，求出点点坐标及其相对位置，求出点K坐标坐标(4)存在；如解图存在；如解图，设点，设点K的坐标为的坐标为(e，e26e5)，KJy轴，交直线轴，交直线AC于点于点J，易得直线，易得直线AC的解析式为的解析式为yx5，设点设点J的坐标为的坐标为(e，e5)，M(3，4)，E(3，2)，ME6，MEy轴，轴，KJy轴，轴，KJME，要使得以要使得以M、E、K、J为顶点的四边形为平行四边形，为顶点的四边形为平行四边形，则则KJME6，例2题解图当点当点K在点
12、在点J的下方时，的下方时，KJ(e5)(e26e5)e25e，则，则e25e6，解得解得e12，e23(舍去舍去)，则，则K1(2，3)；当点当点K在点在点J的上方时，的上方时，KJ(e26e5)(e5)e25e，则则e25e6，解得，解得e36，e41，则则K2(6，5)，K3(1，12)，综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点K的坐标为的坐标为(2，3)或或(6，5)或或(1，12)；例2题解图(5)设点设点 N是抛物线上一点，点是抛物线上一点，点Q是是x轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点N，使得，使得以以A、E、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点为顶点的四边形是
13、平行四边形，若存在，求出点N的的坐标；若不存在，请说明理由坐标；若不存在，请说明理由例2题图【思维教练】由【思维教练】由AE为定边，可分为定边，可分AE为平行四边形一边及为平行四边形一边及AE为平行为平行四边形对角线两种情况分别确定点四边形对角线两种情况分别确定点N.例2题解图NQ如解图如解图，当，当AE为平行四边形的一条边时，为平行四边形的一条边时，QNAE，且，且NQAE，则，则NQTEAD，NTx轴，轴，EDx轴，轴，NTQEDA90，QNTAED，又又AC，DM相交于点相交于点E，E(3，2)，NTED2，(5)存在；过点存在；过点N作作NTx轴，交轴，交x轴于点轴于点T，T设点设点N
14、的坐标为的坐标为(n，n26n5)，当点当点N在在x轴上方时，轴上方时，NTn26n52，解得解得n1 ，n2 ，此时点此时点N的坐标为的坐标为(，2)或或(，2)；当点当点N在在x轴下方时，轴下方时，则则NTn26n52，解得解得n3 ，n4 ，此时点此时点N的坐标为的坐标为(，2)或或(，2)；63 63 63 63 32 32 32 32 例2题解图NQT如解图如解图，当当AE是平行四边形的对角线时，则是平行四边形的对角线时，则NEAQ，点点N的纵坐标为的纵坐标为2，代入抛物线的表达式得代入抛物线的表达式得NTn26n52，解得解得n5 ，n6 ，点点N的坐标为的坐标为(，2)或或(，2
15、)，综上所述，综上所述，满足条件的点满足条件的点N的坐标为的坐标为(，2)或或(，2)或或(，2)或或(，2)63 63 63 63 63 63 32 32 例2题解图综合训练综合训练三阶三阶第1题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc经过点经过点A(4，0)，点，点M为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，点B在在y轴上，且轴上，且OAOB，直线，直线AB与抛物与抛物线在第一象限交于点线在第一象限交于点C(2，6)备用图12101642,16422bcbc 2,0bc 解：解：(1)将将A(4，0)，C(2，6)代入代入y x2bxc中得：中得：解得解
16、得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x22x，1212(1)求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点M的坐标；的坐标；第1题图2122 对称轴为直线对称轴为直线x 2，当当x2时，时，y 42(2)2，顶点顶点M的坐标为的坐标为(2，2)；12第1题图设直线设直线AB的函数解析式为的函数解析式为ykxb(k0)，将将A(4，0)、B(0，4)代入解析式得：代入解析式得：解得解得直线直线AB的函数解析式为的函数解析式为yx404,4kbb 1,4kb (2)求直线求直线AB的函数解析式及的函数解析式及sinABO的值；的值；(2)A(4，0)，OA4，OAOB，OB4，B(0，4)，第1题
17、图直线直线AB的函数解析式为的函数解析式为yx4，在在RtAOB中，中，AB ，sinABO ；224 2OAOB 4224 2OAAB 第1题图备用图(3)连接连接OC，若过点，若过点O的直线交线段的直线交线段AC于点于点P，将三角形，将三角形AOC的面积的面积分成分成1 2的两部分，请求出点的两部分，请求出点P的坐标；的坐标；(3)过点过点O的直线交线段的直线交线段AC于点于点P，将三，将三角形角形AOC的面积分成的面积分成1 2的两部分，过的两部分，过P作作PQx轴于点轴于点Q，过点，过点C作作CHx轴轴于点于点H，分两种情况：，分两种情况：PQH当当SAOP SCOP1 2时，如解图时
18、，如解图SAOP SCOP1 2，SAOP SAOC1 3，PQ CH1 3，而而C(2，6)，即，即CH6，PQ2，即，即yP2，在在yx4中，令中，令y2得得2x4，x2，P(2，2)；备用图PQH第1题图SCOP SAOP1 2，SAOP SAOC2 3，PQ CH2 3，当当SCOP SAOP1 2时，时，如解图，过点如解图，过点C作作CHx轴于点轴于点H.HCH6，PQ4，即，即yP4，在在yx4中，令中，令y4得得4x4，x0，P(0，4)；综上所述，过点综上所述，过点O的直线交线段的直线交线段AC于点于点P，将三角形将三角形AOC的面积分成的面积分成1 2的两部分，的两部分，则点
19、则点P坐标为坐标为(2，2)或或(0，4)；第1题图H(4)在坐标平面内是否存在点在坐标平面内是否存在点N，使以点，使以点A、O、C、N为顶点的四边形为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明的坐标；若不存在，请说明理由理由备用图【解法提示】设【解法提示】设N(m，n)，分三种情况：，分三种情况：以以AN、CO为对角线，此时为对角线，此时AN中点与中点与CO中点重合，中点重合，A(4，0)，O(0，0)，C(2，6)，AN的中点为的中点为(，)，OC中点为中点为(，)，解得解得N(6，6)，42m 02n 022 062 402
20、006m,n 66m,n 备用图042006m,n 26m,n 解得解得N(2，6)，以以AC、NO为对角线，为对角线，此时此时AC中点与中点与NO中点重合，同理可得：中点重合，同理可得：备用图以以AO、CN为对角线，为对角线，此时此时AO中点与中点与CN中点重合，同理可得：中点重合，同理可得：解得解得N(6，6)，综上所述，综上所述，存在点存在点H，使得以点，使得以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，点点N的坐标为的坐标为(6，6)或或(2，6)或或(6，6)042006m,n 66m,n 备用图(4)存在；以点存在；以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行
21、四边形时，点为顶点的四边形是平行四边形时，点N的的坐标为坐标为(6，6)或或(2，6)或或(6，6)2.如图，抛物线如图，抛物线yax2bx3与与x轴交于轴交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与与y轴交于点轴交于点C连接连接AC.其中其中OCOB，tanCAO3.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第2题图解：解：(1)抛物线解析式为抛物线解析式为yax2bx3，令令x0得得y3，点点C坐标为坐标为(0，3)，OCOB3，点点B坐标为坐标为(3，0)，tanCAO3，3，OA1，点点A坐标为坐标为(1，0)，将将A(1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式中，得代入抛物线解
22、析式中，得 解得解得抛物线解析式为抛物线解析式为yx22x3；0,9330abcab 1,2ab OCOA第2题图(2)点点P是第一象限内抛物线上的一动点，点是第一象限内抛物线上的一动点，点Q为线段为线段PB的中点，求的中点，求CPQ面积的最大时面积的最大时P点坐标；点坐标；第2题图(2)点点Q为线段为线段PB中点，中点，SCPQ SCPB，当当SCPB面积最大时，面积最大时，CPQ面积最大面积最大12设直线设直线BC解析式为解析式为ykxb(k0)，将将B(3，0)，C(0，3)代入，代入，得得 解得解得直线直线BC解析式为解析式为yx3，设点设点P坐标为坐标为(a，a22a3)，过点过点P
23、作作PHy轴交轴交BC于点于点H，30,3kbc 1,3kc 第2题图H点点H坐标为坐标为(a，a3)，PH(a22a3)(a3)a22a3a3a23a，SCPB PH(xBxC)PH3 PH (a23a)(a23a )(a )2 ，第2题图1212323232 949432 32278H第2题图当当a 时，时，即点即点P坐标为坐标为(，)时，时，SCPQ最大最大 SCPB ，点点P坐标为坐标为(，)；323215412271632154H第2题图(3)将抛物线沿射线将抛物线沿射线CB方向平移方向平移 个单位得新抛物线个单位得新抛物线y，点，点M为新为新抛物线抛物线y的顶点，点的顶点，点D为新
24、抛物线为新抛物线y上任意一点，点上任意一点，点N为为x轴上一轴上一点当以点当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点出所有符合条件的点N的坐标的坐标2 2【解法提示】沿【解法提示】沿CB方向平移方向平移 个单位，个单位，即向右即向右2个单位，向下个单位，向下2个单位，个单位，新抛物线解析式为新抛物线解析式为y(x3)22，点点M坐标为坐标为(3，2)，点，点C坐标为坐标为(0，3)，2 2设点设点N坐标为坐标为(n，0)，yD1，则则1(x3)221(x3)2，(x3)21，x31，x4或或x2，xD4或或xD2，22CNM
25、Dyyyy 30222Dy 第2题图 ，,xN7，或或 ，xN5，点点N坐标为坐标为(7，0)或或(5，0)，或或 ，得得yD1，22CNMDxxxx 04322Nx 02322Nx 22CDMNyyyy 20322Dy ，,xN7，或或 ，xN5，点点N坐标为坐标为(7，0)或或(5，0)，或或 ，得得yD1，22CDMNyyyy 第2题图33 333333则则1(x3)22，(x3)23，x ，xD3 或或xD3 ，即即xN 或或xN ，点点N坐标为坐标为(，0)或或(，0)综上所述，当以综上所述，当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，为顶点的四边形是平行四边形时，点点N坐标为坐
26、标为(7，0)或或(5，0)或或(，0)或或(，0)3333 33333第2题图（3）点点N的坐标为的坐标为(7，0)或或(5，0)或或(，0)或或(，0)333.如图，二次函数如图，二次函数yax2bx4的图象与的图象与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(4，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，P为线段为线段AB上一动点，将射线上一动点，将射线PB绕绕P点逆时针方点逆时针方向旋转向旋转45后与二次函数图象交于点后与二次函数图象交于点Q.(1)求二次函数求二次函数yax2bx4的表达式；的表达式；第3题图备用图解：解：(1)把把A(1，0)，B(4，0)代入代入yax2bx4，得得 解得解得 该
27、二次函数的表达式为该二次函数的表达式为yx23x4.40,16440abab 1,3ab (2)当点当点P在二次函数对称轴上时，求此时在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；的长；(2)如解图如解图，过点，过点Q作作QEx轴于点轴于点E，作直线，作直线yx1交交y轴于点轴于点F，第3题图则则F(0，1)，且该直线过点，且该直线过点A(1，0)，OAOF，AOF90，OAFBPQ45，PQAF，设直线设直线PQ的解析式为直线的解析式为直线yxc，FE由由A(1，0)，B(4，0)得，二次函数的对称轴为直线得，二次函数的对称轴为直线x ，当点当点P落在直线落在直线x 上，则上，则P(，0)，c0，解
28、得解得c ，直线直线PQ的解析式为的解析式为yx ，323232323232第3题图FE由由 解得解得或或 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，PQ=23,234yxyxx 112262,1262xy 222262,1262xy 1262 1322222EQ 第3题图FE(3)如解图如解图，当，当1x4时，时，EQ的长随的长随x的增大而减小，的增大而减小，当点当点P与点与点A(1，0)重合时，重合时，EQ的长最大，的长最大，PQ的长也最大，的长也最大，此时直线此时直线PQ的解析式为的解析式为yx1，由由 解得解得 或或 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，此时此时EQ4，PQ EQ ，PQ
29、的最大值为的最大值为 .21,34yxyxx 113,4xy 221,0 xy 24 24 2(3)求线段求线段PQ的最大值；的最大值；解图(4)二次函数对称轴上是否存在点二次函数对称轴上是否存在点D，使，使P、Q、B、D四点能构成平行四点能构成平行四边形，若存在，请求出点四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由的坐标，若不存在，请说明理由(4)存在；理由如下：存在；理由如下：如解图如解图，PQ为以为以P、Q、B、D四点为顶点的四边形的一边，四点为顶点的四边形的一边，则则BDPQ.设直线设直线x 交交x轴于点轴于点G，GBD45，32解图BGD90，DGBGtan45BG4 ，此
30、时此时BD DG ，在二次函数上一定存在点在二次函数上一定存在点Q，其纵坐标为，其纵坐标为 ，过点过点Q作作QEx轴于点轴于点E，在，在x轴上取点轴上取点P，使，使PEQE，325225 2252则则BPQ45，且，且PQ ，四边形四边形PQBD是平行四边形，是平行四边形，此时此时D(，)；5 223252解图如解图如解图，PQ为以为以P，Q，B，D四点为顶点的四边形的对角线时，四点为顶点的四边形的对角线时，DQPB，DQPB.设设P(r，0)(1r4)，设直线设直线PQ的解析式为的解析式为yxd，则，则rd0，即，即dr，直线直线PQ的解析式为的解析式为yxr，由由 ，解得，解得 或或 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，Q()，2,34yxryxx 1115,15xryrr 2215,15xryrr 15,15rrr 解图PDBQ，GDEQ，PGDBEQ90，RtPDGRtBQE，PGBE，解得解得r1 ，r2 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，y ，10392 34(15)2rr 10392 2103910393911039151()2222 39110392 3991222 解图DGQE ，D()综上所述，点综上所述，点D的坐标为的坐标为()或或()2 3992 3 2 399,22 3 2 399,22 35,22 解图
