1、 在平面直角坐标系中，直线在平面直角坐标系中，直线ykx1与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点C，过点，过点C的抛物线的抛物线yax2 xc与与直线直线AC交于点交于点B(4，3)例例 1微技能微技能分类讨论思想确定对应关系分类讨论思想确定对应关系一阶一阶一题多设问一题多设问微专题微专题 二次函数与相似三角形问题二次函数与相似三角形问题(含全等含全等)一题多设问一题多设问二阶二阶见微专题见微专题 相似三角形的对应关系不确定相似三角形的对应关系不确定52解：解：(1)直线直线ykx1与与y轴交于点轴交于点C，点点C的坐标为的坐标为(0，1)抛物线抛物线yax2 xc过过C(0，1)
2、，B(4，3)，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x1；31,4161031caacc 解解得得345252(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；例1题图(2)已知已知x轴上一动点轴上一动点Q(m，0)，连接，连接BQ，若，若ABQ与与AOC相似，求相似，求m的值；的值；【思维教练】已知点【思维教练】已知点Q的坐标，即可用的坐标，即可用m表示出表示出AQ的长，由于未说明的长，由于未说明两三角形相似的对应关系，要考虑两种情况：两三角形相似的对应关系，要考虑两种情况：当点当点C的对应点是点的对应点是点B时；时；当点当点C的对应点是点的对应点是点Q时，然后利用三角形相似的性质得到时，然后
3、利用三角形相似的性质得到对应边成比例，从而列关于对应边成比例，从而列关于m的方程即可求解的方程即可求解例1题图(2)如解图如解图，分两种情况讨论，分两种情况讨论，当点当点C的对应点是点的对应点是点B时，过点时，过点B作作BQ1x轴于点轴于点Q1，BQ1CO，AOCAQ1B，此时点此时点Q1的坐标为的坐标为(4，0)，即，即m的值为的值为4；当点当点C的对应点是点的对应点是点Q2时，过点时，过点B作作BQ2AB，交，交x轴于点轴于点Q2，CAOQ2AB，AOCABQ290，AOCABQ2，例1题解图2AOACABAQ 由由知知AOCAQ1B，AO2，AC ，在在RtAQ1B中，中，AQ1AOOQ
4、1246，BQ13，由勾股定理得由勾股定理得AB 解得解得m .综上所述，若综上所述，若ABQ与与AOC相似，相似，m的值为的值为4或或 ；111,43AOACAOAQQ BAO 即即112525,23 5m 222211633 5,AQBQ 112例1题解图(3)设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与BC相交于点相交于点Q，点，点P是抛物线对称轴上的动是抛物线对称轴上的动点，且点点，且点P不与点不与点Q重合，是否存在点重合，是否存在点P，使得以，使得以P、B、Q为顶点的为顶点的三角形与三角形与AOC相似？若存在，求出点相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由；明
5、理由；例1题图【思维教练】由已知条件可知【思维教练】由已知条件可知AOC是直角三角形，所以是直角三角形，所以BPQ一一定也是直角三角形，故点定也是直角三角形，故点P一定在点一定在点Q的上方在的上方在AOC和和BPQ中，中，ACOBQP，所以只需要在所以只需要在BPQ中确定一个直角即可分情中确定一个直角即可分情况考虑：况考虑：BPQ90；QBP90，再分别求解，点再分别求解，点P的坐标即可求出的坐标即可求出例1题图例1题图(3)存在，存在，C(0，1)，B(4，3)在直线在直线ykx1上，上，代入得代入得k ，直线直线AC的表达式为的表达式为y x1，由抛物线的表达式由抛物线的表达式y x2 x
6、1得对称轴为直线得对称轴为直线x ，点点Q在直线在直线AC上，上，将将x 代入代入y x1中，中，得得y ，点点Q的坐标为的坐标为(，)，1161234121252535353116如解图如解图，设直线，设直线x 与与x轴的交点为点轴的交点为点M，则则OCQM，OCAMQABQP，又又AOC90，要分为两种情况：要分为两种情况：当当BP1Q90，即，即BP1x轴时，轴时，BP1QAOC，点点B的坐标为的坐标为(4，3)，点点P1的坐标为的坐标为(，3)；5353例1题解图当当QBP290，即，即BP2BQ时，时，QBP2COA，由由(2)得得AC ，设设P2(，p)，B(4，3)，Q(，)，P
7、1(，3)，BP14 ，P1Q3 ，P2Qp ，在在RtBQP1中，中，由勾股定理得由勾股定理得BQ 2,QBCOQPCA 553531165353737611611622117 5,6BPPQ 例1题解图例1题解图点点P2的坐标为的坐标为(，).综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P的坐标为的坐标为(，3)或或(，)；7 51236,11356pP 解解得得532335353233(4)连接连接BO，点，点S是抛物线是抛物线CB段上的动点，过点段上的动点，过点S作作SKx轴，交轴，交BO于于点点K，是否存在点，是否存在点S，使得，使得AOBSKO？若存在，求出点？若存在，求出点S的坐
8、标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由例1题图【思维教练】由【思维教练】由AOBSKO得得AOBSKO，即点即点S在点在点K的右侧，再由的右侧，再由AOBSKO，得得ABOSOK，从，从而得到而得到OSAB，由，由(2)可得可得AB的表达式，的表达式，再平移得到再平移得到OS的表达式，然后与抛物线表的表达式，然后与抛物线表达式联立解方程即可求出点达式联立解方程即可求出点S的坐标的坐标(4)存在存在理由如下：理由如下：AOBSKO，AOBSKO，点点S在点在点K的右侧，的右侧，由由AOBSKO，得得ABOSOK，OSAB，直线直线OS的表达式为的表达式为y x，12例1题图综上所述
9、，满足条件的点综上所述，满足条件的点S的坐标为的坐标为(2 ，1 )或或(2 ，1 )21212351421,22 62 62233,661133yxxyxxxyy ，联联立立解解得得2 63632 6363例1题图综合训练综合训练三阶三阶1.如图，抛物线如图，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D.第1题图(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点D的坐标；的坐标；解：解：(1)A(1，0)，B(3，0)，a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3(x1)24，点点D的坐
10、标为的坐标为(1，4)；(2)连接连接BC、BD、CD，求，求BCD的面积；的面积；(2)如解图，当如解图，当x0时，时，y3，C(0，3)D(1，4)，BC ，CD ，BDBC2CD218220BD2，BCD是直角三角形，且是直角三角形，且BCD90.SBCD BCCD 3 3；22333 2 22112 22242 5.121222第1题图(3)点点E在在y轴上，且轴上，且DEEB，点，点P在直线在直线DE上，当上，当BEP与与BOE相相似时，请直接写出所有满足条件的点似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标的坐标【解法提示】设点【解法提示】设点E的坐标为的坐标为(0，m)，BE2OE2O
11、B2m29.如解图如解图，过点过点D作作DFy轴于点轴于点F，DE2EF2DF2(m4)21.DEEB，(m4)21m29，第1题解图第1题图解得解得m1，点点E的坐标为的坐标为(0，1)D(1，4)DE所在的直线表达式为所在的直线表达式为y3x1，点点B(3，0)，BOEF3，EODF1，根据勾股定理，得根据勾股定理，得BE ，BOEEFD90，BOEEFD，22223110OBOE 第1题解图DEFEBO.又又EBOBEO90，DEFBEO90，BED1809090，DEBE.当当OB与与EB是对应边时是对应边时，BOEBEP，EP .,OBOEEBEP 103BE OEOB 第1题解图如
12、解图如解图，过点过点P作作PGy轴于点轴于点G，易得易得EGPEFD，EG EF1，PG DF .当点当点P在点在点E的左边时的左边时，OGEGEO110，代入直线代入直线DE y3x1，得得x ，点点P(，0)；当点当点P在点在点E的右边时的右边时，OGEOEG112，代入直线代入直线DE y3x1，得得x ，点点P(，2)；131013,310EGPGEPEFDFED 则则131313131313第1题解图当当OB与与EP是对应边时是对应边时，BOEPEB，EP .过点过点P作作PGy轴于点轴于点G，EPGEDF，EG3EF9，PG3DF3.当点当点P在点在点E的左边时的左边时，OGEGO
13、E918，3 103,10EGPGEPEFDFED 3 10BE OBOE ,OBOEEPBE 第1题解图(3)点点P的坐标为的坐标为(，0)或或(，2)或或(3，8)或或(3，10)1313代入直线代入直线DE：y3x1，得，得x3，点点P(3，8)；当点当点P在点在点E的右边时的右边时，OGOEEG1910，代入直线代入直线DE得得：y3x1，x3，点点P(3，10)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P的坐标为的坐标为(，0)或或(，2)或或(3，8)或或(3，10)1313第1题解图2.如图，抛物线如图，抛物线y x2bxc与与x轴交于轴交于A(8，0)、B(2，0)两点，两点
14、，与与y轴交于点轴交于点C，点，点D为抛物线上第三象限内的一个动点，连接为抛物线上第三象限内的一个动点，连接AC，AD，DC，BC.14第2题图(1)求抛物线的函数表达式及点求抛物线的函数表达式及点C的坐标；的坐标；解：解：(1)将将A(8，0)、B(2，0)代入代入y x2bxc中，中，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x4.当当x0时，时，y4，点点C的坐标为的坐标为(0，4)；141432130648c,421c=-4,042c,4bbb 得得解解得得第2题图(2)当四边形当四边形ABCD的面积为的面积为36时，求点时，求点D的坐标的坐标；A(8，0)，B(2，0)，C(0，4)
15、，AB10，OC4.SABC ABOC 10420.SADCS四边形四边形ABCDSABC362016.1212第2题图GH(2)如解图，过点如解图，过点D作作DGAB交交AB于点于点G，交，交AC于点于点H.设直线设直线AC的表达式为的表达式为ykxd(k0)，将将A(8，0)，C(0，4)代入，得代入，得直线直线AC的表达式为的表达式为y x4.180244kdkdd ，解解得得，12第2题图GH设设D(x，x2 x4)(8x0)，则则H(x，x4)，DHyHyD(x4)(x2 x4)x22x，SADC DHOA (x22x)8x28x16，解得解得x1x24，代入抛物线得代入抛物线得y6
16、，点点D的坐标为的坐标为(4，6)；12121432321414141212第2题图GH(3)在在(2)的条件下，平面内是否存在点的条件下，平面内是否存在点M(不与点不与点C重合重合)，使得以点，使得以点A，D，M为顶点的三角形与为顶点的三角形与ACD全等？若存在，请直接写出点全等？若存在，请直接写出点M的坐的坐标；若不存在，请说明理由标；若不存在，请说明理由【解法提示】由题意，当以点【解法提示】由题意，当以点A，D，M为为顶点的三角形与顶点的三角形与ACD全等时，全等时，可分两种情况进行讨论：可分两种情况进行讨论：当当ACD AMD时时，CDMD，ACAM.A(8，0)，C(0，4)，D(4
17、，6)第2题图GH直线直线AD的表达式为的表达式为y x12.ACD AMD，点点C与点与点M关于直线关于直线AD对称对称，直线直线CMAD.直线直线CM的表达式的表达式y x4.11111130,246,12,kbkkbb 解解得得3223设直线设直线AD的表达式为的表达式为yk1xb1(k10)，将将A(8，0)，D(4，6)代入得代入得第2题图GH线段线段CM中点的坐标为中点的坐标为(，)设点设点M的坐标为的坐标为(m，n)，点点M1的坐标为的坐标为(，)48312132,2844313xyxyxy 联联立立解解得得0489621313,48411621313mmnn 解解得得96134
18、81311613 8413第2题图GH当当ACD DMA时时，.当点当点M在在AD的下方时的下方时，MACD，MADCDA.MACD.A(8，0)，C(0，4)，D(4，6)，点点M2的坐标为的坐标为(12，2)；.当点当点M在在AD的上方时，的上方时，此时此时M1M3与与AD互相平分互相平分A(8，0)，D(4，6)，AD中点的坐标为中点的坐标为(6，3)第2题图GH设设M3的坐标为的坐标为(m3，n3)，M3坐标为坐标为(，)综上所述，存在点综上所述，存在点M使得以使得以A，D，M为为顶点的三角形与顶点的三角形与ACD全等全等，此时点此时点M的的坐标为坐标为(，)或或(12，2)或或(，)33339660136132,.11638131332mmnn 联联立立解解得得60133813961311613 60133813第2题图GH(3)存在，点存在，点M的坐标为的坐标为(，)或或(12，2)或或(，)96133813116136013第2题图GH
