1、 1 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2 导 数 的 几 何 意 义 2 导数的几何意义教学设计导数的几何意义教学设计 教教 材材:人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2 授课教师授课教师: : 一、一、 教教学内容解析学内容解析 1 1、教、教材分析材分析 导数的几何意义是人教 A 版选修 2-2 第一章导数及其应用1.1.3 的内容，本节课为第一课 时。 微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了 重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义作为 导数的概念的下位知
2、识课，是学生掌握了上位知识平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上 进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值， 体会逼近， 以直代曲和数形结合的数学思想方法。 同时， 本节的学习也为下位知识导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此，导数的几 何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。 2 2、教学、教学重重点点与与难点难点 教学重点：理解导数的几何意义及其应用。 教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。 二、二、教学教学目标设置目标设置 （一）知识与技能（一）知识与技能： （1）会描述一般曲线的切线定义； （2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某
3、点附近的变化情况” 。 （二）过程与方法：（二）过程与方法： （1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义； （2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。 （三）情感态度与价值观：（三）情感态度与价值观： 领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。 三三、学生学生学情学情分析分析 从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了 导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了 直线的斜率与直线方程的相关知识。 从学习能力上看， 教学对象是高二理科班的学
4、生， 思维活跃， 具有一定的想象能力和研究问题的能力。 经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。 从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何 意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势“与曲线仅有一个公共点 的直线是曲线的切线” 。教师需创设问题情境，采用类比的方法，引导学生在概念上上升一个层次，由割 线的逼近来定义一般曲线的切线，从而突破教学难点： “逼近”思想。 3 四四、教学策略分析教学策略分析 1 1、教法分析：、教法分析： “启发探究式”教学法，教学中遵循教师主导、学生主体、探究
5、主线，教师更多的是启发引 导学生的思维。 2 2、学法指导：、学法指导： （1）自主学习 （2）合作学习 （3）探究学习 对于活动一：形成一般曲线的定义，我先创设问题情境，引起学生对切线问题的注意与思考，接着引 导学生开展观察感知类比概括的活动。 对于活动二：发现导数的几何意义，我采用探究发现法教学。依据知识的发生发展过程和学生的思维 规律，我设计“问题串”以启发引导学生思考，将“过定点P的割线割线 n PP 在点P处的切线切线”由定性 刻画上升为定量刻画，进而发现了导数 0 ()fx的几何意义，同时，设计以导数为支撑和联结点的知识网络 图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。 整个过程注重学
6、生的参与意识，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习，激发学生勇于探索、勤 于思考的精神。教学过程中，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。 充分利用现代多媒体技术辅助教学，通过超级画板的动态演示，让学生充分体会逼近的思想方法，这 能使学生更好的理解导数的几何意义，从而突出重点，突破难点。 五五、教学过程、教学过程 教学流程图教学流程图 活动一活动一：形成一般曲线的切线定义 活动二活动二：发现导数的几何意义和完善知识网络图 例例 1 1：思维最近发展区内的学习任务，巩固导数的几何意义，生成以直代 曲的思想；例例 2 2：加深导数几何意义的理解 画龙点睛画龙点睛：从知识
7、、方法、思想三个方面进行总结，一图二义三思想 A组 感受感受 理解理解 B组 思考思考 运用运用 情境引入 探索建构 应用拓展 反馈升华 分层作业 复习：复习：导数的概念 4 时时 间间 教学内容教学内容 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 2 2 分分 钟钟 情情 境境 引引 入入 回忆：回忆：我们是怎样一步步 抽象出导数的概念的？ 讲授：讲授：前面我们以物理为背 景，从“数”的角度研究了 导数，现在我们想从“形” 途径来解读导数，即导数的 几何意义。 导数，在 17 世纪，起 源于两类问题：一、力学中 的速度问题，二、几何学中 的切线问题。今天，我们从 切线问题入手，开始
8、学习。 答 ：答 ： 先学习平均变 化率 00 ()f xxf x x ，令 0 x ，得到瞬时变化率 00 0 () lim x f xxf x x ，接 着定义为导数 0 ()fx。 由 旧 知 引出 问题，既复习 了旧知，又启 发学生思考， 引 出 本 节课 课题。 7 7 分分 钟钟 形形 成成 一一 般般 曲曲 线线 的的 切切 线线 定定 义义 (1)(1)初中时，我们怎样定 义圆的切线和割线？ 图 1 (2)(2) 1 l是否为曲线在点A处 的切线? 2 l是否为曲线在点B处 的切线? 2 l是否为曲线在点C处 的切线? 图 2 启发：启发：以前的切线定义不适 用于一般曲线。我们
9、能不能 换个角度来观察圆的割线 和切线？ 答：答：如果直线和圆有唯一公 共点，则这条直线叫做圆的 切线；若有两个交点，则这 条直线叫做圆的割线。 答：答：我觉得 1 l不是曲线在点 A处的切线；对于 2 l，我就 不敢确定。 在 学 生 思维 “ 最 近 发展 区”中提问， 先 唤 起 学生 的回忆，然后 以 问 题 引领 学 生 来 到新 知 识 的 生成 场景中。 问题（2）的 设 置 不 仅否 定了“从交点 个 数 来 定义 切线”的这种 推广，而且引 发 学 生 认知 冲突，极大地 激 发 了 学生 的 学 习 兴趣 和探究欲望。 5 (3)(3) 你能不能类比圆的 割线和切线的动态关
10、系， 寻求一般曲线的切线？ 启发启发:学生用动态的眼光观 察圆的割线和切线; 引导引导:学生结合前面探究的 经验。 旧知：旧知： 当0t ，平均速度趋 近于确定的值，这个确定的 值就是瞬时速度。 当0 x ，平均变化率 趋近于确定的值，这个确定 的值就是瞬时变化率。 追追问问学生形成概念的思路。 讲授：讲授：割线 n PP 切线， 体现了逼近的思想，量变与 质变的辩证关系。 答：答：当 n PP时，割线趋 于确定的位置，这个确定位 置上的直线就是曲线在点 P处的切线。 学生口答前面的问题（2） 让 学 生 在获 得 直 观 感知 的基础上，通 过合作探索， 亲 身 经 历一 般 曲 线 切线
11、的 发 生 发展 过程，上升理 性思维，形成 切线定义，从 而 突 破 教学 难点： “逼近” 思想。 使 学 生 加深 对 切 线 定义 的理解，消除 之 前 的 认知 冲突。 1 1 5 5 分分 发发 现现 导导 数数 的的 几几 何何 意意 义义 几何直观几何直观： 过定点P的割线割线 n PP 在点P处的切线切线 代数代数刻画：刻画： ？ 问：问：刚才从直观上感知了 “割线逼近切线”的变化过 程，进一步，如何用数量关 系来表示这种变化？ 问问：如何写出割线方程? 引导：引导： 设点 00 (,)P xy(,) nnn P xy， 又 因为这两 点都在 曲线 ( )f x上，所以 00
12、 (,()P xf x,(,() nnn P xf x 对应上节课的记法， n x可以 用 0 xx表示，所以 00 (, () n P xx f xx。 答：答：割线逼近切线，用代数 刻画就是研究割线方程和 切线方程的关系。 答：答：由图可知，割线经过点 P和点 n P，只要设出这两 点的坐标就可以了。 学 生 经 历由 定 性 刻 画到 定 量 刻 画的 过程，逐步学 会 数 学 探究 的 一 般 思想 方法，从而提 高 学 生 的数 学思维能力 6 发发 现现 导导 数数 的的 几几 何何 意意 义义 旧知：旧知： 经过点 000 (,)P xy， 且斜率为k直线的点斜式 方程为 思考：
13、思考： 1、如何写出割线 n PP方 程？ 2、过定点P的割线 n PP 逼近切线的过程中，割线 n PP方程的哪个部分的 值发生变化？变化的最 终结果是什么？ 3、如何写出切线方程？ 4、导数 0 ()fx的几何意 义是什么？ 问问：有了点的坐标，接着如 何一步步写出割线方程和 切线方程呢？ 下面请学习小组合作探究。 追追问：问：你是怎么得出切线方 程的？ 追追问：问：为什么它是切线的斜 率？ 答：答： 00 ()yyk xx ( (充分讨论后，学生上台投充分讨论后，学生上台投 影并作出解释影并作出解释) ) 答：答：1、 00 00 ()() ()() f xxf x yf xxx x 2
14、、过定点P的割线 n PP逼 近切线的过程中，对应方程 中 00 ()()f xxf x x 的 值 会发生变化; 当 n PP， 即0 x 时，变化的最终 结果是 00 0 0 ()() lim() x f xxf x fx x 3、切线方程就是 000 ()()yyfxxx 答：答：根据点斜式，切线过点 P，这 00 0 0 ()() lim() x f xxf x fx x 是切线的斜率。 答：答：因为在割线方程中，这 （ 00 ()()f xxf x x ）部分 是割线斜率，根据割线逼近 切线，所以割线斜率逼近切 线斜率。 答：答： 4 4、 导数 0 ()fx的几何 意义是函数( )
15、f x的图像在 0 xx处切线的斜率。 以 问 题 串的 形 式 启 发引 导学生思考， 让 学 生 经历 从 已 知 到未 知，步步深入 的过程。 请 学 习 小组 的 代 表 上台 投 影 展 示讨 论结果，提高 学 生 的 概括 能 力 和 表达 能力。 7 发发 现现 导导 数数 的的 几几 何何 意意 义义 完善知识网络图 讲授：讲授：导数 0 ()fx的几何 意义是函数( )f x的图像在 0 xx处切线的斜率。 0 ()kfx (k是曲线在 0 xx处切线 的斜率) 问：问：目前，我们已经从物理 意义，数值意义，几何意义 三个方面理解了导数，你能 自主完善知识网络图吗？ 答：答：
16、割线斜率，切线斜率 以 导 数 为支 撑和联结点， 引 导 学 生从 不 同 的 角度 对 其 加 以认 识；同时，网 络 化 的 知识 给 联 想 提供 线索和桥梁。 1 1 3 3 分分 钟钟 应应 用用 拓拓 展展 例例 1 1、 如图,某质点做简谐运 动,其位移随时间变化的 关系式为( )sinf tt （1）若 2 () 42 f ， 求( )f t的 图 像 在 点 4 t 处的切线的斜 率； （ 2 ） 若 质 点 在 点 23 (,) 32 处的瞬时速 度为 1 2 ，求( )f t的图 像在点 23 (,) 32 处的切 线的斜率和切线方程。 学生独立思考，完成例 1。 。
17、自编了例 1， 是 学 生 思维 最 近 发 展区 内 的 学 习任 务：以学生熟 悉 的 简 谐运 动为背景，从 正 反 两 个方 面 让 学 生加 深 对 导 数几 何 意 义 的理 解。 8 应应 用用 拓拓 展展 （3）若( )f t的图像在 2 t 处的切线方程为 10y ，求() 2 f ； （4）请分别作出( )f t的 图像在 2 , 432 t 处 的切线。观察图像，在切 点附近，你发现曲线和切 线的变化趋势有何关系 吗？ 问：问：这种一致性是直观的。 进一步，我们能不能用数量 关系来刻画这种一致性？ 讲授：讲授： 正由于 “数” 上的等， 解释了“形”上的一致性。 讲授：讲
18、授：正由于相等，所以在 P点附近， 切线是最贴近曲 线的那条直线。 答：答：在切点附近，曲线和切 线的变化趋势是一致的。 答：答：斜率k反映切线的升降 变化情况， 导数 0 ()fx反映 函数在 0 x附近的变化情况， 而 0 ()kfx，所以反映在 图形上他们的升降变化情 况是一致的。 数数 形形 培 养 同 学们 数 形 结 合的 能力；还为后 面引出“以直 代曲”的思想 做准备。 将图像放大， 引 导 学 生观 察分析，获取 直观感觉，再 从“数”方面 分析，培养学 生 严 谨 的数 学思维习惯。 突 出 数 形结 合的思想。 用 关 系 图将 之 间 的 关系 显现出来，学 生 的 思
19、 维更 加清晰。 9 例例 2 2、如图，它表示跳水 运动中高度随时间变化 的函数 105 . 69 . 4)( 2 ttth 的图象。根据图像，请描 述 、 比 较 曲 线)(th在 210 ,ttt附近增 （减） 以 及增（减）快慢的情况。 讲授：讲授：因此在点P附近，曲 线)(xf可以用在点P处的 切线近似代替。我们把这种 思想称为“以直代曲”“以直代曲”的思的思 想想。 以前在算法中，刘徽的 割圆术用的就是“以直代“以直代 曲” ， “逼近”曲” ， “逼近”的思想的思想来计算 圆周率。在这里“以直代 曲”的作用是：若要分析曲 线在 0 x附近的变化情况， 只 有作出在 0 x处切线，
20、 分析该 切 线 ， 得 出k， 即 知道 0 ()fx， 从而知道曲线在该 点处升降变化情况。 学生用实物投影仪投影自 己“学习单”上答案并解释 从 “ 形 ”到 “数” ，一步 步深入，最后 生成“以直代 曲”的思想， 让 学 生 感受 到 数 学 知识 的 产 生 是水 到渠成的。 提 供 应 用性 情境，促进知 识 技 能 的迁 移。 让 学 生 会利 用 导 数 的几 何 意 义 解决 实 际 生 活问 题，突出本节 课 的 教 学重 点。 10 3 3 分分 钟钟 反反 馈馈 升升 华华 课堂小结：课堂小结： 请说一说你这节课印象 最深的部分。 教师引导学生从知识、方 法、思想三个
21、方面进行总 结。 讲授：讲授：本节课我们从不同的 角度解读了导数，通过类比 方法，学习了切线的定义和 导数的几何意义，体会了逼 近的思想和以直代曲的思 想，同时，数形结合的思想 贯穿始终。概括起来就是 “一图二义三思想” 。 一图：知识网络图 二义：1、切线定义 2、导数几何意义 三思想：逼近的思想 以直代曲的思想 数形结合的思想 学生自由说出自己这节课 印象最深的一部分。 让 学 生 自主 理清思路，进 一 步 实 现自 我评价。 师生用“一图 二义三思想” 进行总结，朗 朗上口，方便 记忆。 分层作业：分层作业： A组组 感受感受 理解理解 1、 (1)(1)求函数 2 yx在 0 2x
22、处的导数，并画出曲线 2 yx在点(2,4)P处切线。 (2)(2)求函数21yx 在 0 1x 处的导数，并画出曲线21yx 在点( 1,3)P 处切线。 2 2、理解探究导数 0 ()fx的几何意义的过程。 B组组 思考思考 运用运用 1 1、 课8P练习，11 2PB 2 2、阅读理解： 收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料。 布 置 可 选择 的作业集合， 以 满 足 不同 学 生 的 不同 需求。 11 板书板书 1.1.31.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 投影屏幕投影屏幕 （实际为第 2 和第 3 块黑 板的位置） 00 (,()P xf x, 00 (, (
23、) n P xx f xx 一、切线的定义 割线 n PP方程： 割线 n PP 切线 （逼近思想） 00 00 ()() ()() f xxf x yf xxx x 二、导数的几何意义 平均变化率 （割线斜率割线斜率） 00 ()f xxf x x 1. 00 0 0 () ()lim x f xxf x fxk x 0 x k为曲线在 0 xx处切线的斜率 瞬时变化率 (切线斜率切线斜率) 2.“以直代曲”的思想 00 0 0 () lim() x f xxf x fx x 六、说教后反思六、说教后反思 1、注重以学生为主体以学生为主体，每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，教师只
24、是在关键处加以 引导，体现了教师主导、学生主体、探究主线的特色。 2、 依据知识的发生发展过程知识的发生发展过程和学生的思维规律学生的思维规律,运用最近发展区最近发展区的理念对教材进行二次开发二次开发。 体现在： 创设问题情境，引导学生认识切线定义，由静态的发展为动态的； 活动中，问题串的形式引导学生思考，最终得出导数的几何意义； 自编了例题 1,而且通过对例题的深入研究，生成了“以直代曲”的思想。 3、注重思想方法思想方法的渗透，从而提高学生的数学思维能力数学思维能力。 4、设计以导数为支撑和联结点的知识网络图知识网络图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。 5、特别发挥超级画板超级画板的直观性和触屏白板触屏白板的易操作性，使重点得以突出，难点得以突破，提高了课 堂的效率。 同时，本节课也给我带来一个思考： 教材中的一句话： “因此， 在点P附近， 曲线( )f x就可以用过过点P的切线PT 近似代替。”这里用在在点P的切线会不会更好呢？因为我们以后还要区分“在” 某点的切线和“过”某点的切线。
