1、圆锥曲线中常见几何关系 觅宁参考出品 【知识框架】 1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义 2. 点在圆锥曲线上 3. 垂直关系 4. 直角三角形 5. 等腰三角形 6. 相似三角形 7. 点到直线的距离 8. 取值范围问题 一、椭圆、双曲线、抛物线的定义 1. () 已知椭圆 C : x2 9 + y2 4 =1, 点 M 与 C 的焦点不重合. 若 M 关于 C 的焦点的对 称点分别为 A,B, 线段 MN 的中点在 C 上, 则 |AN|+|BN|=. 2. (2013 全国 I 文 8(8/12)#$) O 为坐标原点, F 为抛物线 C :y2=42x 的焦点, P 为 C 上一点, 若
2、|PF|= 42, 则 POF 的面积为() A. 2B. 22C. 23D. 4 3. (2014 全国 I 文 10(10/12)#$) 已知抛物线 C :y2=x 的焦点为 F, A(x0,y0) 是 C 上一点, |AF|= 5 4x0, 则 x0 = () A. 4B. 2C. 1D. 8 二、点在圆锥曲线上 4. (2017 全国 II 理 16(4/4) 已知 F 是抛物线 C :y2=8x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于 点 N. 若 M 为 FN 的中点, 则 |FN|=. 三、垂直关系 5. (2016 江苏 10(10/14)#$) 如图, 在
3、平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(ab0) 的右焦点, 直 线 y = b 2 与椭圆交于 B, C 两点, 且 BFC =90, 则该椭圆的离心率是. O BC F x y 6. (2018 全国 III 理 16(4/4) 已知点 M(1,1) 和抛物线 C :y2=4x, 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交 于 A,B 两点. 若 AMB =90, 则 k =. 7. (2015 山东理 15(5/5) 平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 C1: x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)
4、 交于点 O, A, B. 若 OAB 的垂心为 C2的焦点, 则 C1的 离心率为. 四、直角三角形 8. (2018 全国 II 文 11(11/12)#$) 已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点.若 PF1PF2, 且 PF2F1=60, 则 C 的离心率为() A. 1 3 2 B. 2 3 C. 31 2 D. 31 9. (2016 全国 I 理 11(11/12)#$) 已知 F1,F2是双曲线 E : x2 a2 y2 b2 =1 的左, 右焦点, 点 M 在 E 上, MF1与 x 轴 联系制作人: 关注二维码，回复【交流】即可加我微信, 可以学排版
5、, 获取讲义第 1 页共 4 页 垂直, sinMF2F1= 1 3, 则 E 的离心率为 () A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 五、等腰三角形 10. (2012 全国 I 理 4(4/12)#$) 设 F1,F2是椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 =1(ab0) 的左右焦点, P 为直线 x= 3a 2 上一点, F2PF1是底角为 30的等腰三角形, 则 E 的离心率为() A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 11. (2018 全国 II 理 12(12/12)#$) 已知 F1,F2是椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 =1(ab0) 的
6、左、右焦点, A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上, PF1F2为等腰三角形, F1F2P =120, 则 C 的离心率为() A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 12. (2017 全国 I 理 15(3/4)#$) 已知双曲线 C : x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的右顶点为 A, 以 A 为圆心, b 为半径 作圆 A, 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点, 若 MAN =60, 则 C 的离心率为. 六、相似三角形 13. (2014 全国 I 理 10(10/12)#$) 已知抛物线 C,y2=8x
7、的焦点为 F, 准线为 l,P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 FP =4 FQ, 则 |QF|=() A. 7 2 B. 5 2 C. 3D. 2 14. (2017 全国 II 理 16(4/4)#$) 已知 F 是抛物线 C :y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若 M 为 FN 的中点, 则 |FN|=. 七、点到直线的距离 15. (2017 全国 III 理 10 文 11(10/12)#$) 已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 =1(ab0) 的左、右顶点分别为 A1,A2, 且以线段 A1A2 为直
8、径的圆与直线 bxay +2ab=0 相切, 则 C 的离心率为() A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 16. (2017 全国 II 理 9(9/12)#$) 若双曲线 C : x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的一条渐近线被圆 (x2)2+y2=4 所截得 的弦长为 2, 则 C 的离心率为() A. 2B. 3 C. 2 D. 23 3 17. (2018 江苏 8(8/14)#$) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的右焦点 F(c,0) 到一条渐近线的距离为 3 2 c, 则其离心率的值是. 18.
9、(2017 全国 II 文 12(12/12)#$) 过抛物线 C :y2=4x 的焦点 F, 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上 方), l 为 C 的准线, 点 N 在 l 上且 MN l, 则 M 到直线 NF 的距离为() A. 5 B. 22C. 23D. 33 八、圆的几何性质 19. (16(4/4) 已知 F1为双曲线 x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的左焦点, P 是双曲线右支上一点, 线 段 PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于 A, B 两点, 且 # F1A= # AB = # BP, 则该双曲线的离心率为 九、取值范围类问题 20.
10、(2013 重庆文 10(10/10)#$) 设双曲线 C 的中心为点 O, 若有且只有一对相较于点 O, 所成的角为 60的直 线 A1B1和 A2B2, 使 |A1B1|=|A2B2|, 其中 A1、B1和 A2、B2分别是这对直 线与双曲线 C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是() A. ( 23 3 ,2 B. 23 3 ,2 ) C. ( 23 3 ,+ ) D. 23 3 ,+ ) 21. (2015 福建文 11(11/12) 第 2 页共 4 页联系制作人: 关注二维码，回复【交流】即可加我微信, 可以学排版, 获取讲义 已知椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 =
11、1(ab0) 的右焦点为 F, 短轴的一个端点为 M, 直线 l:3x4y =0 交椭圆 E 于 A,B 两点. 若 |AF|+|BF|=4, 点 M 到直线 l 的距 离不小于 4 5, 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 () A. ( 0, 3 2 B. (0, 3 4 C. 3 2 ,1 ) D. 3 4,1 ) 22. () 已知双曲线 C : x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的左右焦点分别为 F1(c,0), F2(c,0), 点 N 的坐标为 (c, 3b2 2a ). 若曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足 |MF2|+ |MN|4b, 则双曲线 C 的离心率的取值
12、范围为() A. ( 13 3 , 5) B. (5, 13) C. (1, 13 3 )(5,+)D. (1, 5)(13,+) 23. () 已知双曲线 C : x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的左右焦点分别为 F1,F2, |F1F2|=2c, 圆 x2+y2=c2和此双曲线的两条渐近线的交点为 A,B, 其中 A 在第一象限, B 在 第二象限, 已知 O 为坐标原点, 若 AOB 为锐角三角形, 且其面积不小于 3 4 c2, 则双曲线的离心率的取值范围是. 24. (2008 福建理 11 文 12 大纲#$) 双曲线 x2 a2 y2 b2 =1(a0,b0) 的两个
13、焦点为 F1,F2, 若 P 为其上一点, 且 |PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为() A. (1,3)B. (1,3C. (3,+)D. 3,+) 25. (2017 全国 I 文 12(12/12)#$) 设 A,B 是椭圆 C : x2 3 + y2 m =1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足 AMB =120, 则 m 的取值范围是() A. (0,19,+)B. (0, 39,+) C. (0,14,+)D. (0, 34,+) 26. (2017 全国 II 文 5(5/12)#$) 若 a1, 则双曲线 x2 a2 y2=1 的离心率的取值范围是() A. (2,+)B. (2,2)C. (1, 2) D. (1,2) 联系制作人: 关注二维码，回复【交流】即可加我微信, 可以学排版, 获取讲义第 3 页共 4 页 圆锥曲线中常见几何关系简要答案 1 122 C3 C4 65 6 3 6 27 3 2 8 D9 A10 C11 D12 23 3 13 C14 615 A16 A17 218 C19 97 5 20 A21 A22 C23 2e2 24 B25 A26 C 第 4 页共 4 页联系制作人: 关注二维码，回复【交流】即可加我微信, 可以学排版, 获取讲义
