1、2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量的基本定理及坐标表示-专项训练【A级基础巩固】1在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是()A(2，2)B(2，2)C(1，1) D(1，1)2在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)3如图，已知a，b，4，3，则()Aba BabCab Dba4设平面向量a(1，2)，b(2，y).若ab，则|3ab|等于()A BC D5已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且20，则AOB的面积是()A4
2、BC D26古希腊数学家帕波斯在其著作数学汇编的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则()A BC D7在矩形ABCD中，AB4，AD3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2|1.设xy，则2x3y的最小值为()A48 B49C50 D518已知向量a(1，1)，b(2，0).若向量mab与2anb共线，则mn_9若在ABC中，AB，ABC，BC3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且，其中，R，则2_10已知在RtABC
3、中，BAC90，AB1，AC2，D是ABC内一点，且DAB60.设(，R)，则_11在ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足(，为正实数)，则的最大值为_，的最小值为_【B级能力提升】1(多选)设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是()A给定向量b，总存在向量c，使abcB给定向量b和c，总存在实数和，使abcC给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abcD给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc2在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大
4、值为()A3 B2C D23已知0，向量a，b(1，sin)，且ab，则_4记数列an的前n项和为Sn，已知向量m(an1，Sn)，n(1，2).若a12，且mn，则an的通项公式为_5如图，在ABC中，.(1)求ABM与ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，与交于点P，且xy(x，yR)，求xy的值6如图，在同一个平面内，三个单位向量，满足条件：与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，求mn的值参考答案【A级基础巩固】1解析：因为A(2，2)，B(1，1)，所以(1，1).答案：D2解析：对于A，C，D都有e1e2，所以只有B成立答案：B3解析：()ba.答案：D4
5、解析：由于ab，所以1y2(2)，解得y4，所以b(2，4)，3ab(3，6)(2，4)(1，2)，|3ab|.答案：A5解析：根据题意，设AB边的中点为D，因为ABC是等边三角形，则CDAB.由AB的中点为D，得2.又由20，得，则O是CD的中点又ABC的边长为4，则AD2，CD2，则OD，所以SAOB42.答案：D6解析：以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系不妨设AD2，则A(1，)，B(5，5)，D(0，0)，E(9，)，C(0，4)，故(6，4)，(9，3)，(9，).设xy，则解得所以.答案：B7解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(
6、0，3).设M(m，0)，N(0，n)，因为2|1，所以2mn1.因为xy，所以x，y，所以2x3y(2mn)25252449，当且仅当，即m，n时取等号答案：B8解析：因为a(1，1)，b(2，0)，10(1)20，所以a与b不共线，则a与b可以作为平面内的一个基底因为mab与2anb共线，又mab(m2，m)，2anb(22n，2)，所以(m2)(2)m(22n)，即mn2.答案：29解析：由题意可知，在RtABD中，AB，ABC，所以BD1，所以BDBC，所以()().又因为，所以，所以20.答案：010解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则
7、B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2).因为DAB60，所以设D点的坐标为(m，m)(m0).(m，m)(1，0)(0，2)(，2)，则m，且m，所以.答案：11解析：因为D为AC上一点且满足，所以4.因为，所以4.因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有41.由基本不等式可得1424，解得，当且仅当4时取等号，故的最大值为，(4)2224，当且仅当4时取等号，故的最小值为4.答案：4【B级能力提升】1解析：向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，b0，c0，给定向量a和b，只需求得其向量差ab，即为所求的向量c，故总存在向量c，使abc，故A正确；当向量b，c和a在同一平面内
8、且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；取a(4，4)，2，b(1，0)，无论取何值，向量b都平行于x轴，而向量c的模恒等于2，要使abc成立，根据平行四边形法则，向量c的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为和为正数，所以b和c代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使abc成立，故D错误答案：AB2解析：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为y2x2，C的方程为(x1)2(y2)2r2.又(1，0)，(0，
9、2)，则(，2)，圆与直线BD相切，则半径r.P点坐标可表示为x1r cos ，y2r sin 2，则2sin r cos 2sin ()，当sin ()1时，有最大值，为23.答案：A3解析：因为ab，所以sin22cos2，所以4sin2cos22cos2.因为0，cos0，所以sin2，所以sin.因为0，所以，即.答案：4解析：mn，Sn2an1.当n1时，S1a1，得a21；当n2时，2an1Sn，2anSn1，两式作差得：an1an，即，an是以为公比、1为首项的等比数列，则an(n2).又a12不符合上式，an答案：an5解：(1)在ABC中，由，得430，即3()，即3，即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，ABM与ABC的面积之比为.(2)，xy(x，yR)，设.N，P，C三点共线，1，解得，x，y，故xy.6解：以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，由tan 7知为锐角，则sin ，cos ，故cos (45)，sin (45).点B，C的坐标分别为，.又mn，m(1，0)n，解得mn
