1、提升提升关键能力关键能力类分考点类分考点,落实四翼落实四翼考点一利用导数解决不等式的恒成立问题考点一利用导数解决不等式的恒成立问题 例例1 1(2024(2024广西柳州模拟广西柳州模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=alnaln x+x+bxbx,且曲线且曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为2x-y+1=0.2x-y+1=0.(1)(1)求实数求实数a,ba,b的值及函数的值及函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间;因为曲线因为曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为2x-y+
2、1=0,2x-y+1=0,所以有所以有f f(1)=2,f(1)=3,(1)=2,f(1)=3,由由f f(x)0,(x)0,所以函数所以函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 ;由由f f(x)0,(x)0)m(x0)恒成立恒成立,等价于当等价于当x x(0,+(0,+)时时,m,mxlnxln x+x x+x2 2-2x+1-2x+1恒成立恒成立.令令g(x)=g(x)=xlnxln x+x x+x2 2-2x+1(x0),-2x+1(x0),则则m mg(x)g(x)minmin,g,g(x)=(x)=lnln x+x-1,x+x-1,当当x x(0,1)(0,1)时时,g
3、,g(x)0,g(x)(x)0,g(x)(x)0,g(x)单调递增单调递增.所以所以g(x)g(x)minmin=g(1)=-,=g(1)=-,所以所以m mg(x)g(x)minmin=-,=-,即实数即实数m m的取值范围是的取值范围是(-(-,-.,-.解含参不等式恒成立问题解含参不等式恒成立问题,可以根据不等式的性质将参数分离出可以根据不等式的性质将参数分离出来来,得到一个一端是参数得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式另一端是变量表达式的不等式,具体步骤具体步骤如下如下:(1)(1)分离参数分离参数(注意分离参数时自变量注意分离参数时自变量x x的取值范围是否影响不等号的取值
4、范围是否影响不等号的方向的方向).).(2)(2)转化转化:若若af(x)af(x)对对x xD D恒成立恒成立,则只需则只需af(x)af(x)maxmax;若若af(x)af(x)对对x xD D恒成立恒成立,则只需则只需af(x)a0,(x)0,得得x-1x ;x ;由由f f(x)0,(x)0,得得-1x0-1x0或或0 x .0 x0),-2x-(x0),当当0 x10 x1时时,h,h(x)0,h(x)(x)1x1时时,h,h(x)0,h(x)(x)0,h(x)单调递增单调递增.所以所以h(x)h(x)minmin=h(1)=-1-,=h(1)=-1-,所以所以b b-1-,-1-
5、,即即b b的最大值为的最大值为-1-.-1-.考点二利用导数解决不等式的能成立问题考点二利用导数解决不等式的能成立问题 例例2 2(2024(2024江苏苏州质检江苏苏州质检)已知函数已知函数f(x)=ax-ef(x)=ax-ex x(a(aR R),),g(x)=.g(x)=.(1)(1)当当a=1a=1时时,求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值;解解:(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x)=x-e,f(x)=x-ex x,则则f f(x)=1-e(x)=1-ex x,当当x0 x0,(x)0,当当x0 x0时时,f,f(x)0,(x)0),(x0),h h(x)0,(x)0,所以
6、函数所以函数h(x)h(x)在在 上单调递增上单调递增,h h(x)0,(x)0,(x)0,则则f(x)f(x)在在(0,+(0,+)上单调递增上单调递增;当当a0a0时时,由由f f(x)=0,(x)=0,得得x=(x=(负值舍去负值舍去),),由由f f(x)0,(x)0,得得x x(0,),(0,),由由f f(x)0,(x)0a0时时,f(x),f(x)在在(0,)(0,)上单调递增上单调递增,在在(,+(,+)上单调递减上单调递减.(2)(2)若存在若存在x x(1,+(1,+),f(x)-a,),f(x)-a,求求a a的取值范围的取值范围.解解:(2)(2)由由f(x)-a,f(
7、x)-a,得得a(xa(x2 2-1)-1)-lnln x0,x x0,x(1,+(1,+),-),-lnln x0,x x0.-10.当当a a0 0时时,a(x,a(x2 2-1)-1)-lnln x0,x1),x(x1),g(x)g(x)在在(1,+(1,+)上单调递增上单调递增,则则g(x)g(1)=0,g(x)g(1)=0,不符合题意不符合题意;由由g g(x)0,(x)0,由由g g(x)0,(x)0,于是有于是有g(x)g(x)在在(1,)(1,)上单调递减上单调递减,在在(,+(,+)上单调递增上单调递增,则当则当0a 0a 时时,x x(1,+(1,+),g(x)0.),g(
8、x)0(x)0恒成立恒成立,即即f(x)f(x)在在(-(-,+,+)上单调递增上单调递增,当当a0a0时时,令令f f(x)=e(x)=ex x-a0,-a0,解得解得xxlnln a,a,令令f f(x)0,(x)0,解得解得xx0a0时时,f(x),f(x)在在(-(-,lnln a)a)上单调递减上单调递减,在在(lnln a,+a,+)上单调递增上单调递增.(2)(2)当当a=1a=1时时,令令g(x)=.g(x)=.证明证明:当当x0 x0时时,g(x)1.,g(x)1.(2)(2)证明证明:当当a=1a=1时时,当当x0 x0时时,x0,x0,F F(x)=0(x)=0恒成立恒成
9、立,则则F(x)F(x)在在(0,+(0,+)上单调递减上单调递减,F(x)F(0)=-1=0,F(x)F(0)=-1=0,因此因此 10 x0时时,g(x)1.,g(x)1.待证不等式的两边含有同一个变量时待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地一般地,可以直接构造可以直接构造“左左减右减右”的函数的函数,有时对复杂的式子要进行变形有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单利用导数研究其单调性和最值调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证借助所构造函数的单调性和最值即可得证.针对训练针对训练 设函数设函数f(x)=f(x)=lnln(a-x)-(a-x)-x+ex+e.(1)(1)
10、求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间;(1)(1)解解:函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为 x|xx|xa,a,因为因为xa,xa,所以所以f f(x)0.(x)0.故函数故函数f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(-(-,a),a),无单调递增区间无单调递增区间.(2)(2)当当a=ea=e时时,证明证明:f(e-x)e:f(e-x)ex x+.+.(2)(2)证明证明:当当a=ea=e时时,要证要证f(e-x)ef(e-x)ex x+,+,所以所以g(x)g(x)在在(0,e)(0,e)上单调递增上单调递增,在在(e,+(e,+)上单调递减上单调递减,所以所以g(x)g(x)g(e)=+1.g(e)=+1.所以所以h(x)h(x)在在(0,1)(0,1)上单调递减上单调递减,在在(1,+(1,+)上单调递增上单调递增,所以当所以当a=ea=e时时,f(e-x)e,f(e-x)ex x+.+.谢谢观看谢谢观看
