1、第六章6.7数列中的综合问题数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.课标要求课标要求例1已知公差不为0的等差数列an满足a26，a1，a3，a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式；题型一等差数列、等比数列的综合运算根据题意，设等差数列an的公差为d(d0)，由于a26，a1，a3，a7成等比数列，an2n2.(2)设bnn ，求数列bn的前n项和Sn.22na 由bnn22nn4n，则Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243344(n1)4nn4n
2、1，得，3Sn442434nn4n1数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.跟踪训练1(2024无锡模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，a3是a1，a13的等比中项，S525.(1)求an的通项公式；an12(n1)2n1.(2)若数列bn满足b11，bnbn1Sn，求b20.bn1bn2(n1)2，得，bn2bn2n1，b11，b22.b20b20b18b18b16b4b2b237332952题型二数列与其他知识的交汇问题命题点命题点1 1数列与不等式的交汇数列与不等式的交汇方法一当n取奇数时，同理可
3、得b3b5，b5b7，于是可得b1b3b5b7，故A不正确；同理可得b4b6，b6b8，于是可得b2b4b6b8b4，b5b6，b7b8，又b3b7，所以b3b8，故B不正确；因为b4b8，所以b40，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 022)f(a2 023)的值A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负命题点命题点2 2数列与函数的交汇数列与函数的交汇因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，所以f(0)0，且当x0时，f(x)0;当x0时，f(x)0，故f(a1 012)0.再根据a1a2 0232a1 0120，所以a1a2 023，则f(a1)f(a2 023)f
4、(a2 023)，所以f(a1)f(a2 023)0.同理可得f(a2)f(a2 022)0，f(a3)f(a2 021)0，所以f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 022)f(a2 023)f(a1)f(a2 023)f(a2)f(a2 022)f(a1 011)f(a1 013)f(a1 012)0.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.跟踪训练2(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在
5、着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为设第n个正方形的边长为an，则由已知可得anan1sin 15an1cos 15，1则数列xn是等差数列，公差为4，且f(xn)2，nN*，因此A2，函数f(x)的最小正周期是4，课时精练123456789101112一、单项选择题一、单项选择题1.(2023广州模拟)已知f(x)2x2，数列an满足a12，且对一切nN*，有an1f(an)，则A.an是等差数列B.an是等
6、比数列C.log2an是等比数列D.log2an1是等比数列123456789101112所以log2an112log2an，所以log2an112(log2an1)，nN*，所以log2an1是等比数列，又log2a112，所以log2an12n，所以log2an2n1，故A，B，C错误，D正确.2.(2024铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为
7、2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为A.76 B.77 C.78 D.80123456789101112记10个班级的平均成绩形成的等差数列为an，则an702(n1)2n68，123456789101112123456789101112123456789101112设等比数列an的公比为q，1234567891011124.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是A.5 B.7 C.10 D.1212345678
8、91011127222n 112(2)n令an1，得n7，故该塔形几何体中正方体的个数为7.123456789101112 123456789101112而要满足anan1，故an要单调递减，当n7时，anan6，而要满足anan1，故an要单调递减，所以0a1，123456789101112123456789101112f(x)x22axb，x1x22a0，x1，x2为两个不等的负数，不妨设x1x20，则必有x1，x2，2(或2，x2，x1)成等差数列，x1，2，x2(或x2，2，x1)成等比数列，故有2x2x12，x1x24，解得x14，x21，1234567891011121234567
9、89101112对于A，当n2时，anSnSn12n212(n1)214n2，a1S13，a26，a310，a3a2a2a1，an不是等差数列，故A错误；123456789101112对于C，若an是等差数列，对于D，若an1，则Snn，S99S101991019 999，1234567891011128.(2024唐山模拟)如图，ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到A1B1C1，再连接A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此继续下去，设AnBnCn的边长为an，AnBnCn的面积为Mn，则123456789101112显然AnBnCn是正三角形，1234567891011121
10、23456789101112当A，C，B三点共线时，a1a2 0231，由等差数列的求和公式可得三、填空题三、填空题12345678910111210.已知数列an为等比数列，a2a3a464，a632，数列bn满足bnlog2an1，若不等式4bn1(n4)对于任意的nN*恒成立，则实数的取值范围为_.123456789101112解得a34，解得q2，a11，所以an2n1，bnlog2an1n，则原不等式等价于4n1(n4)，123456789101112四、解答题四、解答题11.(2022新高考全国)已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2b2a3b3b4a4.(1)证明：
11、a1b1；123456789101112123456789101112设等差数列an的公差为d，由a2b2a3b3，得a1d2b1a12d4b1，即d2b1；由a2b2b4a4，得a1d2b18b1(a13d)，即a15b12d，将d2b1代入，得a15b122b1b1，即a1b1.(2)求集合k|bkama1，1m500中元素的个数.123456789101112123456789101112由(1)知ana1(n1)da1(n1)2b1(2n1)a1，bnb12n1，由bkama1，得b12k1(2m1)a1a1，由a1b10得2k12m，由题知1m500，所以22m1 000，所以k2,
12、3,4，10，共9个数，即集合k|bkama1，1m5002,3,4，10中元素的个数为9.12345678910111212.(2023长沙联考)已知数列an的前n项和为Sn，且Snnan.(1)求数列an的通项公式；123456789101112Snnan，Sn1(n1)an1(n2)，两式作差得2anan11(n2)，当n1时，S11a1，123456789101112(2)设数列bn的前n项和为Tn，且2bn(n2)(an1)，若Tnbn对于nN*恒成立，求的取值范围.1234567891011122bn(n2)(an1)，123456789101112Tnbn恒成立，当n1时，1；当n2时，R；本课结束
