1、微重点6数列的递推关系数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用 考点一构造辅助数列例1(1)(多选)已知数列an，下列结论正确的是()A若a12，an1ann1，则a20211B若a11，an12an3，则an2n13C若a11，an1，则anD若a12,2(n1)annan10，则ann2n答案ACD解析A项，an1ann1，a20(a20a19)(a19a18)(a2a1)a120191822211，故A正确；B项，an12an3，an13
2、2(an3)，an3是以a134为首项，2为公比的等比数列，an342n12n1，故an2n13，故B错误；C项，an1，3，3，是以1为首项，3为公差的等差数列，1(n1)33n2，an，故C正确；D项，2(n1)annan10，是以2为首项，2为公比的等比数列，22n12n，ann2n，故D正确(2)(2023商洛模拟)已知Sn是数列an的前n项和，a1a21，anan12n1(n2)，则等于()A. B.C. D.答案A解析因为anan12n1(n2)，所以an1(n1)(ann)(n2)因为a221，所以ann从第二项起是公比为1的等比数列，所以ann(1)n1(n2)，所以an所以S
3、2 0231232 0232 0231 012，S2 0241232 02412 0231 013，所以.规律方法(1)形如an1anf(n)的数列，利用累加法，即利用公式an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)，即可求数列an的通项公式(2)形如f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，n1，代入f(n)，再把所得的(n1)个等式相乘，利用ana1(n2)即可求数列an的通项公式(3)形如an1(p，q0)的数列，取倒数可得，即，构造等差数列求通项公式(4)若数列an满足an1panq(p0,1，q0)，构造an1p(an)(5)若数列an满足an1panf(n)(p0,1)
4、，构造an1g(n1)pang(n)跟踪演练1(1)已知数列an满足a2，a11，且aa2an2an11(n2)，则a2a2 022的值为()A2 021 B2 022C2 023 D2 024答案B解析由aa2an2an11(n2)得，当n2时，(a2an)(a2an1)1，且由a2，a11，得a2a11，所以a2an构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以a2ann，所以a2a2 0222 022.(2)已知数列an中，a14，且an2an12n1(n2，且nN*)，则数列an的通项公式为_答案ann2n1解析当n2时，因为an2an12n1，所以1，又1，所以数列是首项为1，公差为1的等
5、差数列，所以1(n1)1n，则ann2n1.考点二利用an与Sn的关系例2(2023连云港模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn.(1)证明：数列S是等差数列；(2)设数列bn的前n项积为Tn，若TnS，求数列bn的通项公式(1)证明当n1时，a1，a2，当n2时，Sn，所以，所以SS2(常数)，故数列S是以S2为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知，S2(n1)22n，得Tn2n，当n2时，bn，当n1时，b1T12，不符合上式，故bn规律方法在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an
6、；但有些题目要求求an的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用anSnSn1(n2)求出an(n2)跟踪演练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn(nN*)，则an_.答案(n1)2n1解析因为an1Sn，则Sn，当n2时，Sn1，因此an，化简整理得2，而a12，a23S13a16，有2，即当nN*时，2，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则2n1，即an(n1)2n1.(2)(多选)已知数列an满足a13a2(2n1)an2n(nN*)，Sn为数列an的前n项和则下列四个结论中正确的是()A
7、a12B数列an的通项公式为anCS3D数列an为递减数列答案ACD解析对于A，令n1，则a1212，所以A正确；对于B，当n2时，由a13a2(2n1)an2n，得a13a2(2n3)an12n2，两式相减得(2n1)an2，所以an，a12满足此式，所以an，所以B错误；对于C，因为an，所以S3a1a2a32，所以C正确；对于D，因为an1an20(nN*)，所以an10，所以Sn0，所以Sn，当n2时，an，a11满足上式，因此an.6(多选)(2023宿迁模拟)设Sn是数列an的前n项和，且a10，a2，3an12SnSn1，则()Aa1B数列是公差为的等差数列C数列的前5项和最大D
8、an答案AC解析a10，a2，3an12SnSn1，3a22a1(a1a2)，a1或a1(舍)，故选项A正确；又3an12SnSn1，3(Sn1Sn)2SnSn1，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由3，得(n1)3，0，0，数列的前5项和最大，故选项C正确；当n1时，这与a1矛盾，故选项D错误7(2023淮南模拟)记Sn为数列an的前n项和已知n3an1，a1，则数列an的通项公式是_答案ann1解析由题意得3Snn23nann，当n2时，3Sn1(n1)23(n1)an1(n1)，化简得3(anan1)3n(anan1)2n2，即(33n)(anan1)2n2，则anan1(n2)，则
9、数列an是以为首项，为公差的等差数列，则an(n1)n1.8(2023安庆模拟)数列an满足a12，且nN*，恒有a2nann1，则a256_.答案261解析a2nann1，a256a128(1281)a128(271)a64(261)(271)a32(251)(261)(271) a1(201)(211)(271)2(201)(211)(271)2(202127)86261.9已知Sn是数列an的前n项和，a13，且当n2时，Sn，Sn1成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn1，若b2b3bn，求正整数n的值解(1)方法一由题意知当n2时，SnSn1nan，SnSn1n(SnSn1)，整理得SnSn1，由S1a13，Sn3(n2n)，经检验S13也符合Sn(n2n)当n2时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)3n.a13也满足an3n，数列an的通项公式为an3n.方法二由题意知当n2时，SnSn1nan，当n3时，Sn1Sn2(n1)an1，两式相减得anan1nan(n1)an1(n3)，即(n1)annan1，(n3)，当n3时，为常数列，又由S2S12a2得a26，同理可得a39，3，3，即an3n，数列an的通项公式为an3n.(2)由(1)得bn11，b2b3bn.由，得n88.
