1、 百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷 理科数学试卷 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设 2 31 22 zi ，其中i是虚数单位，则 z（ ） A. 1 2 B.2 C.1 D.
2、2 2.已知集合 0Ax x ，集合 2 ln2Bx yxx ，则 AB （ ） A.1, B.2,1 C.0,1 D.2, 3.已知向量( , 1)ax， ( 2,4)b 若ab，cab，则a在c上的投影为（ ） A.1 B.1 C.2 D.2 4.方程 4422 4xyxy所表示曲线的大致形状为（ ） A. B. C. D. 5.命题:p“0, )x ， 2x ex”的否定形式p为（ ） A.0,)x ， 2x ex B. 0 (,0 x ， 0 2 0 x ex C. 0 0,)x， 0 2 0 x ex D. 0 0,)x， 0 2 0 x ex 6.已知某函数的图象如图所示，则其解析
3、式可以是（ ） A.cos(sin )yx B.sin(sin )yx C.cos(cos )yx D.sin(cos )yx 7.设函数( ) ax f xe与( )lng xbx的图象关于直线0 xy对称，其中, a bR且0a .则a，b满足（ ） A.2ab B.1ab C.1ab D.1 b a 8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ） A.该弹簧振子的振幅为1cm B.该弹簧振子的振动周期为1.6s C.该弹簧振子在0.2s和1.0s时的振动速度最大 D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移不为零 9.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学
4、家狄利克雷（Dirichlet） ， 当时数学家们处理的大部 分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象 来描述数学对象，狄利克雷在1829 年给出了著名函数： 1, ( ) 0, C xQ f x xQ （其中Q为有理数集， C Q为无理数集） ，狄利克雷函数的出现表示 数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数 学从研究 “算” 转变到了研究 “概念、 性质、 结构” 一般地， 广义的狄利克雷函数可定义为： , ( , ) C a xQ Q D b x x （其中, a bR且ab） ，以下对( )D x说法错误的是（
5、） A.任意非零有理数均是( )D x的周期，但任何无理数均不是( )D x的周期 B.当ab时，( )D x的值域为 , b a；当ab 时，( )D x的值域为 , a b C. ( )D x 为偶函数 D.( )D x在实数集的任何区间上都不具有单调性 10.设锐角三角形ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2 2()cb cb，2a ， 则bc的取值范围为（ ） A. 2,2 2 B.2,2 2 C. 6,2 2 D.6,2 2 11.若函数( )sin()( 0)f xx 在0, 上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（ ） A. 17 10 , 63 B.
6、 10 23 , 36 C. 17 10 , 63 D. 10 23 , 36 12.已知函数 f x的导函数为 fx ，任意xR均有( )( ) x fxf xe，且 10f，若函数 ( )( )g xf xt在 1,)x 上有两个零点，则实数t的取值范围是（ ） A.1,0 B. 2 1, e C.1,0 D. 2 1, e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数(1) 1 i zai i 的虚部为零，i为虚数单位，则实数a_. 14.已知 3 sincos 2 ，且 (0, )， 则cos 2 _. 15.函数 ln2 ( ) 2ln x f x x ，(1,
7、xe的最小值为_. 16.设函数 2cos, 6,6 3 ( ) 12 ,(, 6)(6,) | x x f x x x ，若关于x的方程 2 ( )( ) 10f xaf x ()aR 有且仅有 12个不同的实根，则实数a的取值范围是_. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17.（12分） 已知顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点 13 , 22 A ，将角的终边绕 着原点O逆时针旋转中0 2 得到角的终边 （1）求 2 si
8、n2 2cossin 的值； （2）求coscos的取值范围 18.（12分） 已知函数 2 ( )ln(21)2f xaxax ，aR . （1）若1x 是函数 f x的零点，求a的值； （2）讨论函数 f x的单调性 19.（12分） 已知函数( )2sin()0,| 2 f xx 的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为 2 13. （1）求函数 f x的解析式； （2）若将函数 f x图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变）得到函数 g x的图象，关于x的 不等式 2 1 ( )2 2 g xtt在3,5x上有解，求实数t的取值范围 20.（12分） 2020年5
9、月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力近日，多省市为流动 商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济” ，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司 纷纷推出帮扶措施， 赋能 “地摊经济” 某平台为某销售商 “地摊经济” 的发展和规范管理投入4,8x x 万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x万元的赞助费后，商品的销售 量将增加到 20 10 2 y x 万件，0.6,1为气象相关系数， 若该销售商出售y万件商品还需成本费 40530 xy万元 （1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p万元与平台投入的赞助费x万元的关系式； （注
10、：总利润 赞助费+出售商品利润） ； （2）若对任意4,8x万元，当满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21.（12分） 已知函数( )(1)sin (1)cosf xaxxaxx，0, x，aR. （1）若函数 f x在, 22 f 处的切线斜率为1 2 ，求a的值； （2）若任意0, x，( )0f x 恒成立，求a的取值范围 （二）选考题：10 分.请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题 号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂，多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】 （10分） 在平面直
11、角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y （为参数）点，以原点O为极点，x轴 正半轴为极轴，建立极坐标系直线l的极坐标方程为sin2 2 4 （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值 23.【选修4-5：不等式选讲】 （10分） 已知函数( ) |2 1|2|f xxx. （1）求不等式( )2f xx的解集； （2）若 1 ( ) 2 f xt 对一切实数x均成立，求实数t的取值范围 百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷 理科数学参考答案及评分意见 1.C 解： 2 3113 2222 zii
12、 ，所以 2 2 13 |1 22 z ，故选C. 2.A 解：集合 2 2021Bx xxx xx 或，所以1 (),AB ，故选A. 3.A 解：因为ab，所以 , 12,4240a bxx ，即2x，2, 1a ， 4,3cab ，所以a在c上的投影为 22 5 1 | | ( 4)3 a c c ，故选A. 4.A 解：令0 x，解得2y ，令0y ，解得2x，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排 除B选项，又因为0,0点满足条件，故选A. 5.D 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p“0,)x ， 2x ex”的否定形式p为： 0 0,)x， 0 2 0 x ex，故
13、选D. 6.D 解：由图象知，该函数为偶函数，排除B选项；当0 x时，01y ，而cos(sin0)cos01排除 A选项；令cos1,1tx ，所以cos(cos )0 x ，排除C选项，故选D. 7.C 解：设 , ax A x e是函数 ax f xe图象上任意一点，则它关于直线0 xy对称的点 1 , ax A ex在函 数( )lng xbx的图象上，所以ln ax xbeabx，即1ab ，故选C. 8.B 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T，0.60.20 4 T ，解得1.6Ts，振幅 2Acm，当0.2ts或1.0s时，振动速度为零；该弹簧振子在0.6s和1.
14、4s时的位移为零，故选B. 9.B 解：设任意 1 TQ， 2c TQ，则 1 , ( ) , c a xQ D xTD x b xQ ， 2 ( , ) , b xQ D xT ab xQ D x 或 ， A选项正确；易知 D x的值域为, a b，B选项错误；若xQ，则xQ ，所以 fxf xa， 若xQ，则xQ ，所以 fxf xb，C选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都 有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在a和b之间无间隙转换，所以 D x无单调性；综上， 故选B. 10.D 解：因为 2 2()cb cb，即 222 abcbc，由余弦定理知 1 cos 2 A
15、 ，因为三角形ABC为锐 角三角形，所以 3 A ，结合正弦定理得 2 6 sinsin sin3 a bBB A ， 2 6 sinsin sin3 a cCC A ， 则 2 62 62 62 6 sinsinsinsin() 3333 bcBCBAB 2 62 6 sin 33 B 31 cossin 22 BB ，化简得：2 2sin 6 bcB ；因为 2 0 32 B ，0 2 B ，所以 2 363 B ， 3 sin1 26 B ，即62 2bc，故选D. 11.B 解：如图作出简图， 由题意知， 45 ,x x，设函数 f x的最小正周期为T，因为 0 6 x ，则 400
16、77 210 443 Txxx ， 500 223 22 6 xxTx ，结合 45 ,x x有 10 3 且 23 6 ，解得 10 23 , 36 ，故选B. 12.D 解：设函数 ( ) ( ) x f x h x e ，则 ( )( ) ( ) x fxf x h x e ，因为( )( ) x fxf xe，则 1h x，设 ( )h xxC，则 (1) (1)10 f hC e ，所以1C ，即( )1h xx，( )(1) x f xxe，( ) x fxxe ，则 f x在1,0单调递减，在0,)单调递增， min ( )(0)1f xf ，要使函数 g xf xt有 两个零点
17、，等价于曲线 yf x与yt有两个交点，所以实数t的取值范围为 2 1, e ， 2 ( 1)f e ， 故选D. 13. 1 2 解： 11 (1) 122 i zaiai i ，因为其虚部为零，所以 1 0 2 a， 11 0, 22 aa.答案为 1 2 . 14. 35 4 解：因为 2 3 (sincos )12sincos 4 ，所以 1 2sincos0 4 ，, 2 ， 则sin0，cos0，结合 22 sincos1，解得 35 sin 4 ，所以cossin 2 35 4 .故答案为 35 4 . 15. 5 2 解： 令lnxt， 因为1,xe， 所以(0,1t，ln 2
18、214 2ln22 xt t xtt ， 令 14 2 ( ) t ttg ，由对勾函数的性质易知， g t在0,1单调递减，即 min 5 ( )(1) 2 g tg，所以函数 f x在1,e上的最 小值为 5 2 .故答案为 5 2 . 16. 5 , 2 2 解：作出函数 f x的简图如图， 令 f xt，要使关于x的方程 2 ( )( ) 10f xaf x ()aR有且仅有12个不同的实根，则方程 2 10tat 有两个不同的实数根 1 t， 2 t， 且由图知 12 ,(0,2)t t ， 设 2 ( )1g ttat， 则有 (0)0 (2)0 0 02 2 g g a ，解得
19、5 , 2 2 a ，故答案为 5 , 2 2 a . 17.解： （1）由题意得 3 sin 2 ， 1 cos 2 ， 所以 222 31 2 sin22sincos 22 2 3 2cossin2cossin 13 2 22 . （2） 13 coscoscoscoscossincos 322 ， 化简得coscos3sin 3 ， 因为0 2 ，所以 633 ， 13 sin 232 ， 3 3 coscos, 22 . 18.解： （1）要使1x 为函数 f x的零点，即有(1)ln(33)0fa，解得 4 3 a . （2）令 2 ( )(21)2(1)(2)g xaxaxaxx，
20、 当0a时，函数 f x的定义域为(, 2) ，( )ln(2)f xx ，因为 2g xx 在(, 2) 单调 递减，由复合函数的单调性知， f x在(, 2) 上单调递减； 当0a时，由 0g x 解得 1 1 x a ， 2 2x ， （i）当 1 0 2 a时，函数 f x的定义域为 1 , 2 a ，因为 f x在 11 ,1 2aa 单调递增，在 1 1, 2 2a 单调递减，由复合函数的单调性知， f x在 11 ,1 2aa 单调递增，在 1 1, 2 2a 单调递减 ； （ii）当 1 2 a 时，函数 f x的定义域为 1 2, a ，因为 g x在 1 2,1 2a 单调
21、递增，在 11 1, 2aa 单调递减，由复合函数的单调性知， f x在 1 2,1 2a 单调递增，在 11 1, 2aa 单调递减； （iii）当 1 2 a 时， 0g x ，不满足题意， f x无意义； （iv）当0a时，函数 f x的定义域为 1 (, 2), a ，因为 g x在(, 2) 单调递减，在 1 , a 单调递增，由复合函数的单调性知， f x在(, 2) 单调递减，在 1 , a 单调递增. 19.解： （1）由题意得 f x的最大值为 2，最小值为-2，设函数 f x的最小正周期为T，则 2 2 42 13 2 T ，解得12T ，所以 2 6T ，( )2sin
22、6 f xx ，因为 f x的图象过点 1,2，所以(1)2sinf2 6 ，即2() 62 kk Z，因为| 2 ，所以 3 ， ( )2sin 63 f xx . （2）因为将函数 f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变）得到函数 gx的图象， 所以( )2sin 33 g xx ， 当3,5x时， 4 ,2 333 x ，则2sin 2,0 33 x ， 因为不等式 2 1 2 2 g xtt在3,5x上有解，即有 2 1 20 2 tt，解得40t ，所以实数t的取值范 围为4,0. 20.解： （1）由题意得 2020 40104053010 22 pxx xx
23、 200 100440 2 x x ，4,8x. （2）要使对任意4,8x万元时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得 (10)(2) 25 xx x 在 4,8x上恒成立， 而 2 (10)(2)122020 12 xxxx x xxx ， 设 20 ( )12f xx x ， 2 20 ( )1fx x ， 令( )0fx，解得2 5x ，所以函数 f x在4,2 5 单调递减，在2 5,8 单调递增， max ( )max(4), (8)f xff，因为(4)21(8)22.5ff，所以有2522.5，解得0.9，即当 满足0.9,1时，该销售商才能不亏损. 21.解： （1）因为(
24、)(1)sin(1)cosf xaxxaxx，所以( )()(sincos )fxxaxx， 因为函数 f x在, 22 f 处的切线斜率为1 2 ，所以1 222 fa ，解得1a . （2） 由 （1） 知，( )()(sincos )fxxaxx，0, x令 0fx， 解得 1 xa ， 12 , 4 xa x ， 当0a时，0 xa ，在0, 4 x 上，sincos0 xx，所以( )0fx，( )f x单调递减；在 , 4 x 上，sincos0 xx，所以( )0fx，( )f x单调递增；要使任意0, x，( )0f x 恒成 立，即有 min 22 ( )110 42424
25、f xfaa ，解得 4 a ，不满足； 当0 4 a 时，在0,)xa上，0 xa，sincos0 xx ，所以 0fx， f x单调递增； 在, 4 x 上，0 xa，sincos0 xx，所以( )0fx，( )f x单调递增；要使任意0, x， ( )0f x 恒成立，即有 (0)0 0 4 f f ，解得1a，不满足； 当 4 a 时，结合易知， f x在0, 4 单调递增；在, 4 a 单调递减；在(, a单调递 增；要使任意0, x，( )0f x 恒成立，即有 (0)0 ()0 f fa ，解得1a -，所以, 1a ，满 足； 当a时， f x在0, 4 单调递增；在, 4
26、单调递减；要使任意0, x，( )0f x 恒成立， 即有 ( )0 (0)0 f f ，解得11a ，所以1,)a ，满足； 综上：a的取值范围为1, 1. 22.解： （1）因为曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y ， 所以 222222 (2 )(2 2cos)(2 2sin)8 sincos8xy，整理得 22 1 82 xy ； 因为直线l的极坐标方程为sin2 2 4 ，所以 22 sincos2 2 22 ，整理得 sincos4即40 xy. （2）由（1）得直线l的直角坐标方程为40 xy，则设点(2 2cos,2sin)P，0,2 )， 则点P到直线40 xy
27、的距离 |2 2cos2sin4| 10sin()4| 22 d ， 其中tan2， 当sin()1时， min | 104| 2 25 2 d . 23.解： （1） 1 3, 2 1 ( )31,2 2 3,2 xx f xxx xx ， 当 1 2 x 时，32xx ，解得 5 2 x ，所以 5 2 x ； 1 2 2 x时，312xx ，解得 3 2 x ，所以 3 2 2 x； 2x时，32xx ，解得xR，所以2x； 综上：不等式( )2f xx的解集为 53 , 22 . （2）由（1）知， min 15 ( ) 22 f xf ， 因为 1 ( ) 2 f xt 对一切实数x均成立，即有 51 22 t ，解得3t 或2t ， 所以t的取值范围为(, 2,)3 .
