1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年安徽省宣城七校高一下学期联考数学（文）试学年安徽省宣城七校高一下学期联考数学（文）试 题题 一、单选题一、单选题 1函数函数 2 ( )76f xxx 的定义域为（的定义域为（ ） A1,6 B( ,16,)U C 6, 1 D(, 6 1,) U 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由被开方数非负，直接解一元二次不等式即可 【详解】 由题意有， 2 76 0 xx ，可得 6x或1x. 故选：B 【点睛】 此题考查复合函数求定义域，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 2sincos 1212 （ ） A 1 4 B 1 2 C 3 2 D
2、3 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直接利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】 11 sincossin 1212264 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题. 3若实数若实数 a，b满足满足0ab，则下列正确的结论为（，则下列正确的结论为（ ） ） A 22 ab B 2 ab a C 2 ba b Dln()ln()ab 【答案】【答案】D 第 2 页 共 17 页 【解析】【解析】对于选项 A，B，C通过举反例可判断结果，对于 D，利用对数函数的单调性 判断即可 【详解】 解：对于 A，若2,1ab ，则 22 41ab，所以 A 错误； 对于 B，若2
3、,1ab ，则 2( 1)3 2 222 ab a ，所以 B错误； 对于 C，若2,1ab ，则 1 ( 2)1 222 ba b ，所以 C错误； 对于 D，因为0ab，所以0ab ，因为lnyx在(0,)上单调递增，所 以ln()ln()ab，所以 D正确， 故选：D 【点睛】 此题考查不等式性质的应用，考查函数单调性的应用，属于基础题 4下列命题中，错误的命题为（下列命题中，错误的命题为（ ） ） A如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 交线平行 B如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如果一个平
4、面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 D过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用平面和平面平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理与性质定理，逐 个分析判断即可 【详解】 解：对于 A，由面面平行的性质定理可知，如果两个平行平面和第三个平面相交，那么 所得的两条交线平行，所以 A 正确； 对于 B，由面面垂直的判定定理知，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那
5、么这 两个平面互相垂直，所以 B正确； 对于 C，由面面垂直的性质定理知，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么 另一条也垂直于这个平面，所以 C 正确； 对于 D，过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以 D 错误， 故选：D 【点睛】 此题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题 第 3 页 共 17 页 5 已知等差数列已知等差数列 n a的通项公式为的通项公式为31 3 n an， 则数列， 则数列 n a的前的前 n项和项和 n S的最大值的最大值 为（为（ ） A158 B176 C135 D145 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 根据等差数列 n
6、a的通项公式可知， 其前 10项为正值， 所以 10 S最大， 求得 10 S 即可. 【详解】 解：当0 n a 时，110n，可得 10 S最大， 10 3 10 11 310145 2 S . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，属于基础题型. 6在在ABC中，内角中，内角 A、B、C所对的边分别为所对的边分别为 a、 、b、c，若，若 222 2cab，则，则ABC 的形状为（的形状为（ ） A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D不能确定不能确定 【答案】【答案】C 【解析】解析】根据 222 2cab，利用余弦定
7、理判断. 【详解】 由余弦定理得 2222 222 2 cos0 222 abab abca C ababb ， 所以角 C 为钝角， 故ABC为钝角三角形. 故选：C 【点睛】 本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 7在前在前 n项和为项和为 n S的等比数列的等比数列 n a中，中， 345 8a a a ， 147 129SS，则，则 1 a （ （ ） A2 B 1 2 C 1 4 D 1 8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先设等比数列 n a的公比为 q，由 345 8a a a 及等比数列的性质可求得 4 2a ，再由 147 129SS求得公比 q，进而求得
8、 1 a. 【详解】 第 4 页 共 17 页 解：设公比为 q，有 3 3454 8a a aa，可得 4 2a ，又有 7 147 1SqS，可得 7 1129q，有 2q = ， 4 1 33 21 24 a a q . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查等比数列的基本性质及其基本量的求解，考查运算求解能力，属于基础题 型. 8已知已知tan tanm ，cos( )n ，则，则cos()（ ） A 2 (1) 1 nm m B (1) 1 nm m C 6 (1) 1 nm m D (1) 1 n m m 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据tan tanm ，利用商数关系得到si
9、n sincoscosm ，再结 合cos( )n ，分别求得coscos 1 n m ，sinsin 1 mn m ，再利用的余 弦和的公式求解. 【详解】 因为tan tanm ， 所以sin sincoscosm ， 又cos( )coscossinsinn ， 所以coscos 1 n m ， sinsin 1 mn m ， 所以 (1) cos() 111 nmnnm mmm . 故选：B 【点睛】 本题主要考查商数关系和两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 9已知等差数列已知等差数列 n a共有共有 * 2n nN 项，若数列项，若数列 n a中奇数中奇数项
10、的和为项的和为190，偶数项，偶数项 的和为的和为210， 1 1a ，则公差，则公差d的值为（的值为（ ） A2 B4 C 5 4 D 5 2 【答案】【答案】A 第 5 页 共 17 页 【解析】【解析】计算得出 20SSnd 奇偶 ，利用等差数列求和公式得出 201190Snn 奇 ，由此可解得n与d的值. 【详解】 由题意 121 190 2 n n n aa Sna 奇 ， 22 1 210 2 n n n aa Sna 偶 ， 所以， 1 210 19020 nn SSn aand 奇偶 ， 121 111201190 2 n n n aa Snanndnn ndnn 奇 ， 所以
11、，10n，2d . 故选：A. 【点睛】 本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考 查计算能力，属于中等题. 10若若0a，0b， 11 2 ab ，则，则4ab的最小值为（的最小值为（ ） A 9 2 B4 C 7 2 D3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先将4ab化简为 1 4 5 2 ba ab ，再求4ab的最小值. 【详解】 解： 11 2 ab ， 1 11 2 2 ab 1111 4149 4(4 )5(25) 2222 baba abab ababab ， 当且仅当 4ba ab 即 3 2 a ， 3 4 b 时，取等号， 故选：A.
12、 【点睛】 本题考查基本不等式“1”的妙用求最值，基础题. 11如图，在六棱锥如图，在六棱锥OABCDEF中，底面中，底面 ABCDEF 为正六边形， 为正六边形，OAAB，OA 底面底面 ABCDEF，P为为 OD的中点，的中点，Q为为 OE的中点，下列说法正确的是（的中点，下列说法正确的是（ ） 第 6 页 共 17 页 AOAB的面积大于的面积大于OCD的面积的面积 B直线直线 AP与直线与直线 BQ互为异面直线互为异面直线 C平面平面 OBC与平面与平面 OAF垂直垂直 D直线直线 OC与平面与平面 ABCDEF所成的角的正切值为所成的角的正切值为 3 3 【答案】【答案】D 【解析】
13、【解析】设1OPAB，求出OAB的面积和OCD的面积可判断 A；可根据 /PQ DE AB判断直线 AP 与直线 BQ 共面；由直线 BC 与直线 AF不垂直可判断 C；直 线 OC与平面 ABCDEF 所成的角为OCA，可直接计算其正切值. 【详解】 不妨设1OPAB，可得3AC ， 1 1 2 OABOCD SS ，故 A 选项错误； 由/PQ DE AB，可得直线 AP 与直线 BQ共面，故 B选项错误； 由直线 BC与直线 AF不垂直，故 C 选项错误； 13 tan 33 OA OCA AC ,故选项 D 正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查空间中相关量和位置关系的判断，属于中档题
14、. 12已知等比数列已知等比数列 n a的公比为的公比为 3，前，前 n项和为项和为 n S，若关于，若关于 * m mN 的不等式的不等式 1 1 m Sam有且仅有两个不同的整数解，则有且仅有两个不同的整数解，则 1 a的取值范围为（的取值范围为（ ） A 11 1,1 33 U 第 7 页 共 17 页 B 11 1,1 22 U C 11 ,00, 33 U D 11 ,00, 22 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先由已知条件求出 n S，从而有 1 1 33 2 m m a Sa ，则 1 1 33 1 2 m m a Sam ， 显然有1m满足上述不等式， 故上述不等式在2m
15、时 成立，在3m时不成立，则有 1 1 6 3 2 24 4 2 a a ，进而可求出 1 a的取值范围，当4m时， 1 1 m Sam可化为 1 1 233 m am ，令 1 ( )(4) 33 m m f mm ，作差可得函数( )f m单 调递减，从而可得 1 4 551 ( )= 337862 a f m 剟，故正整数 n（4n且 * nN）不是不 等式 1 1 m Sam的解 【详解】 由 11 11 1 333 1 32 mm m aa Saa ，有 1 1 33 1 2 m m a Sam ，显然有 1m满足上述不等式，故上述不等式在2m时成立，在3m时不成立，可得 1 1 6
16、 3 2 24 4 2 a a ， 可得 1 1 1 3 a 或 1 1 1 3 a . 当4m时， 1 1 m Sam可化为 1 1 233 m am ，令 1 ( )(4) 33 m m f mm ， 第 8 页 共 17 页 1 1 21(21) 33 (1)( )0 33333333 m mm mm mmm f mf m ， 可知函数 ( )f m单调递减， 1 4 551 ( )= 337862 a f m 剟，故正整数 n（4n且 * nN） 不是不等式 1 1 m Sam的解. 故选：A 【点睛】 此题考查等比数列求和公式，以及不等式解的个数问题，考查计算能力和推理能力，属 于中
17、档题 二、填空题二、填空题 13 在在ABC中， 内角中， 内角 A、B、 C所对的边分别为所对的边分别为 a、 、b、c，15B，45C ，2c ， 则则ABC中最长的边的边长为中最长的边的边长为_. 【答案】【答案】6 【解析】【解析】先求出1804515120A，从而可知 a为最长的边，然后利用正弦 定理可求出 a的值 【详解】 由1804515120A，可得 a 为最长的边， 3 2 csin 2 6 sin2 2 A a C . 故答案为: 6 【点睛】 此题考查正弦定理的应用，属于基础题 14已知圆锥的侧面积为已知圆锥的侧面积为15，高为，高为 4，则圆锥的底面半径为，则圆锥的底面
18、半径为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】 圆锥的半径为 r， 母线长为 l， 高为 h， 则侧面积为 1 215 2 Srlrl ， 再结合 22 16lr，可得r的值. 【详解】 第 9 页 共 17 页 设圆锥的半径为r，母线长为l，高为h ，有 22 15 16 rl lr ，解得： 3 5 r l . 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查了圆锥的侧面积公式，注意侧面展开是一个扇形，属于基础题. 15已知锐角已知锐角满足满足 2 cos 63 ，则，则 5 sin 12 _. 【答案】【答案】 142 6 【解析】【解析】根据0, 2 ，结合 2 cos 63 ，利用平方关系得到
19、 sin 6 ，然后由 5 sinsin 1264 求解. 【详解】 因为0, 2 ，所以 2 , 663 ， 又 2 cos 63 ， 所以 7 sin 63 ， 所以 5272142 sinsin 12642336 . 故答案为： 142 6 【点睛】 本题主要考查两角和与差的三角函数以及同角三角函数关系式， 还考查了运算求解的能 力，属于中档题. 第 10 页 共 17 页 16已知正四棱台的上底面边长为已知正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为，下底面边长为 6，侧棱长为 ，侧棱长为6 2，则正四棱台外，则正四棱台外 接球的半径为接球的半径为_. 【答案】【答案】3 3 【解析】【解
20、析】如图，在正四棱台 1111 ABCDABC D中，分别取上下底面的中心 1 O、O，则 球心在线段 1 OO上，求出 1 OO的长，设正四棱台外接球的半径为 R，分析可得 22 2188RR ，求出 R 的值，即可得答案 【详解】 如图， 在正四棱台 1111 ABCDABC D中， 分别取上下底面的中心 1 O、O， 有 11 2O A ， 3 2OA ， 过点 1 A作 1 AHAO，垂足为 H， 在 1 RtAHA中， 22 11 72 88AHAAAH， 设正四棱台外接球的半径为 R，有 22 2188RR ， 整理得到 2 25R ，解得：3 3R ，检验符合. 故答案为：3 3
21、 【点睛】 此题考查几何体与其外接球的关系，涉及棱台的几何结构，解题的关键是确定球心的位 置，属于基础题 三、解答题三、解答题 17已知递增的等比数列已知递增的等比数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S， 3 13 3 S ， 345 a aa . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若43 nn aS，求正整数，求正整数 n的值的值. 第 11 页 共 17 页 【答案】【答案】 （1） 2 3n n a ； （2）正整数 n的值为 2. 【解析】【解析】 （1）首先根据 345 a aa得到 2 1a ，根据 3 13 3 S 得到3q ，再求通项公式 即
22、可. （2）根据43 nn aS，代入公式计算即可得到答案. 【详解】 （1）设公比为q，由题知：1q . 由 345 a aa，则 3 11 24 1 qaaaqq，有 12 1a qa， 有 1323 113 1 3 Sqaaa q ，解得3q 或 1 3 q （舍去）. 有 22 2 3 nn n aa q ，故数列 n a的通项公式为 2 3n n a . （2）由（1）有， 1 1 3 1 3 31 1 36 n n n S . 若43 nn aS，有 2 1 4 331 2 nn ，得 2 31 n ，解得2n. 故若43 nn aS，正整数 n 的值为 2. 【点睛】 本题第一问
23、考查等比数列的通项公式，第二问考查等比数列的前 n 项和，同时考查学生 的计算能力，属于简单题. 18已知关于已知关于 x的不等式的不等式 2 0 xaxb的解集为的解集为( , 2)(3,) . （1）求实数）求实数 a、b的值；的值； （2）解关于）解关于 x的不等式的不等式 2 0 x xaxb . 【答案】【答案】 （1）1a ，6b； （2）( 2,0)(3,)U. 【解析】【解析】 （1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数关系进行求 解即可； （2）根据乘积的正负性分类讨论，结合（1） 、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 （1）由题意知，2x和3x
24、是方程 2 0 xaxb的两根， 第 12 页 共 17 页 由一元二次方程根与系数的关系有： 321 2 36 a b ， 故1a ，6b. （2）由（1）有，不等式 2 0 x xaxb可化为 2 60 x xx. 当0 x时， 2 60 xx3x 或2x，而0 x，所以3x ； 当0 x时， 2 6023xxx ，而0 x，所以20 x . 故不等式 2 0 x xaxb的解集为( 2,0)(3,)U. 【点睛】 本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了高次不等式的解法，考查了 数学运算能力. 19如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱垂直于底面，中，侧棱
25、垂直于底面，E、F分别是分别是BC、 11 AC的的 中点，中点，ABC是边是边长为长为2的等边三角形，的等边三角形， 1 2AAAB . （1）求证：）求证：/EF平面平面 11 ABB A； （2）求点）求点C到平面到平面AEF的距离的距离. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 8 65 65 . 【解析】【解析】 （1）取AB的中点D，连接DE、 1 AD，推导出四边形 1 DEFA为平行四边形， 可得出 1 /EF AD，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）计算出三棱锥FAEC的体积以及AEF的面积，利用等体积法可求得点C到 平面AEF的距离. 第 13 页 共 17 页
26、 【详解】 （1）如图，取AB的中点D，连接DE、 1 AD， E是BC的中点，/DE AC且 1 2 DEAC， 由三棱柱的性质知 11 /AC AC且 11 ACAC， F是 11 AC的中点， 1 /AF AC且 1 1 2 AFAC， 1 /AF DE且 1 AFDE，四边形 1 DEFA是平行四边形， 1 /EF AD， EF 平面 11 ABB A， 1 AD 平面 11 ABB A，/EF平面 11 ABB A； （2）由题可得 2 1 11132 3 42 33243 FACEACE VAAS ， 在AEF中，3AE ， 22 11 17AFAAAF， 22 11 17EFAD
27、ADAA， AE边上的高为 2 2 2 365 17 222 AE AF ， 165195 3 224 AEF S ， 设点C到平面AEF的距离为h，则 12 3 33 C AEFAEF VhS ，解得 8 65 65 h 【点睛】 本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算 能力与推理能力，属于中等题. 第 14 页 共 17 页 20在在ABC中，内角中，内角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、 、b、c， 222 sinsinsin2sinsinsinABCABC . （1）求）求C； （2）若）若5c ，ABC的面积为的面积为1，求，求ABC的周
28、长的周长. 【答案】【答案】 （1） 4 C =； （2） 52 2 1 . 【解析】【解析】 （1）利用正弦定理边角互化思想可得出 222 2sinabcabC ，结合余弦定 理可求得tanC，再由角C的取值范围可求得角C的值； （2）利用三角形的面积公式可求得 2 2ab ，利用余弦定理可求得a b的值，由此 可求得ABC的周长. 【详解】 （1） 222 sinsinsin2sinsinsinABCABC， 由正弦定理有 222 2sinabcabC ，可得 222 sin 2 abc C ab ， 有cossinCC，得tan1C . 又由0C，可得 4 C =； （2）由三角形的面积
29、公式可得 1 sin1 24 ABC Sab ，可得 2 2ab ， 由余弦定理有 22 2cos5 4 abab ，可得 22 9ab . 有 2 2 22 294 22 21abaabb，可得2 21ab， 故ABC的周长为52 21abc . 【点睛】 本题考查利用余弦定理以及三角形的面积公式解三角形， 同时也考查了正弦定理边角互 化思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 21 在三棱锥在三棱锥PABC中，中，ABBC，PA 平面 平面ABC，D为为PC的中点，的中点，E为为AC 的中点的中点. 第 15 页 共 17 页 （1）求证：）求证：BDAC； （2）若）若M为为AB的中点，请
30、问线段的中点，请问线段PC上是否存在一点上是否存在一点N，使得，使得|MN平面平面BDE？ 若存在，请说明点若存在，请说明点 N 的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）存在；点N是线段PC上靠近点P的四等份点；答案 见解析. 【解析】【解析】 （1）PA 平面ABC，|DE AP可得DE 平面ABC，即DEAC，再结 合BEAC，即可证AC 平面BDE，从而可证BDAC. （2） 先假设线段PC上存在一点N， 使得|MN平面BDE， 取AE的中点Q， 连MQ、 NQ，可证平面MNQ平面BDE，且N为线
31、段PD的中点，即可知点N是线段PC 上靠近点P的四等份点. 【详解】 （1）证明：AEEC，PDCD，|DE AP， 又PA 平面ABC，|DE AP，DE 平面ABC， AC 平面ABC，DEAC， ABBC，AEEC，BEAC， ACDE，ACBE，BEDEE，BE 平面BDE，DE 平面BDE， AC 平面BDE. 又BD 平面BDE，BDAC， （2）假设线段PC上存在一点N，使得|MN平面BDE，如图，取AE的中点Q，连 MQ、NQ ， MBMA，AQQE，|MQ BE， 第 16 页 共 17 页 又MQ 平面BDE，|MQ BE，|MQ平面BDE， MN 平面MNQ，MQ平面MN
32、Q，MNMQM，|MN平面BDE，|MQ 平面BDE，平面MNQ平面BDE， 又NQ 平面MNQ，NQ平面BDE， 平面PAC平面BDEDE，NQ平面BDE，NQ 平面 PAC，|NQ DE， 又AQQE，|NQ DE，N为线段PD的中点， 故假设成立，线段PC上存在一点N，使得|MN平面BDE，此时点N是线段PC上 靠近点P的四等份点. 【点睛】 本题主要考查了证明线线平行，补全线面平行的条件，涉及了线面垂直的判定，面面垂 直的判定，属于中档题. 22已知已知 n S为正项数列为正项数列 n a的前的前 n 项和，且项和，且 21 1 4 nn Sa . （1）求数列）求数列 n a的通的通
33、项公式；项公式； （2）求证：）求证： 12 111 2 n SSS . 【答案】【答案】 （1）21 n an； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）先求 1 1a ，再当2n时，求得 1 2 nn aa ，判断数列 n a为首项为 1， 公差为 2的等差数列，最后求数列 n a的通项公式；. 第 17 页 共 17 页 （2）先求 22 1 (2 ) 4 n Snn，接着证明当1n 时，不等式成立；再证明当2n时， 不等式成立，最后判断不等式成立 【详解】 解： （1）由题意有， 2 111 1 1 4 Saa，解得 1 1a . 当2n时， 22 11 1 11 4 nnnnn
34、aSSaa ，有 22 11 422 nnnnn aaaaa ， 有 111 220 nnnnnn aaaaaa . 可得 11 20 nnnn aaaa . 又因为0 n a ，有 1 2 nn aa ，故数列 n a为首项为 1，公差为 2的等差数列， 12(1)21 n ann . 故数列 n a的通项公式为21 n an. （2）由（1）有， 22 1 (2 ) 4 n Snn. 当1n 时， 1 1 12 S ； 当2n时，利用 2 11111 (1)1 n Snn nnn . 有 222 12 11111111111 111 232231 n SSSnnn LLL 1 22 n 由上知， 12 111 2 n SSS . 【点睛】 本题考查借 n S求 n a、利用放缩法和裂项相消法证明不等式，是中档题.
