1、第 1 页 共 21 页 2019-2020 学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期末考试数学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期末考试数 学试题学试题 一、单选题一、单选题 1 若复数若复数z满足满足2 5zii（i为虚数单位） ， 则为虚数单位） ， 则z在复平面上对应的点的坐标为 （ 在复平面上对应的点的坐标为 （ ） A2,5 B 2, 5 C5,2 D5, 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意两边同时除以i可求出复数z，然后即可求出z在复平面上对应的点 的坐标. 【详解】 解：因为2 5zii，所以 25 52 i zi i ，故z在复平面上对应的点的坐标为 5, 2. 故选：D
2、. 【点睛】 本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基 础题. 2从分别写有从分别写有 1，2，3，4，5 的的 5 张卡片中随机抽取 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取张，放回后再随机抽取 1 张，张， 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先求出基本事件总数25n，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于 第二张卡片上的数包含的基本事件个数， 由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二
3、张卡片上的数的概率. 【详解】 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张， 基本事件总数5525n ， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1） ， （3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （5，1） ， （5，2） ， （5，3） ， （5，4） ，共有10m 个基本事件， 第 2 页 共 21 页 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 102 255 p ， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题. 3如图
4、所示的直观图中，如图所示的直观图中，2OAOB ，则其平面图形的面积是（，则其平面图形的面积是（ ） A4 B4 2 C2 2 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由斜二测画法还原出原图，求面积 【详解】 解：由斜二测画法可知原图如图所示， 则其面积为 1 2 44 2 S ， 故选：A 【点睛】 此题考查直观图与平面图形的画法，考查计算能力，属于基础题 4已知非零向量已知非零向量a，b，若，若|2 |ab ，且，且(2 )aab，则，则a与与b的夹角为（的夹角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 3 4 【答案】【答案】B 第 3 页 共 21 页 【解析】【解析】由向量垂直可得(2
5、)0aab，结合数量积的定义表达式可求出 2 cos, 2 a a b a b ，又|2 |ab，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大 小. 【详解】 解：因为(2 )aab，所以 22 (2 )22cos,0aabaa baa ba b， 因为|2 |ab，所以 2 2 cos, 2 22 aa a b a bb ， a,b0, ,a,b 4 . 故选:B. 【点睛】 本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解.本题的关 键是由垂直求出数量积为 0. 5设设 l是直线，是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） ） A若若
6、/l，/ l，则 ，则/ B若若，/l，则，则l C若若 ，l，则，则/l D若若/l，l，则，则 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】 A.若/l， /l，则与可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若 ，/l，则l与可能的位置关系有相交、平行或l ,所以不正确. C.若 ，l，则可能l ，所以不正确. D.若/l，l ，由线面平行的性质过l的平面与相交于 l ，则l l ，又l. 所以l ，所以有，所以正确. 故选：D 【点睛】 本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题. 第 4 页 共 2
7、1 页 6已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为P，母线母线PA， ，PB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 3 4 ，PA与圆锥底面所成角与圆锥底面所成角 为为60，若，若 PAB 的面积为的面积为 7，则该圆锥的体积为（ ，则该圆锥的体积为（ ） ） A2 2 B2 C 2 6 3 D 6 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设底面半径为OAr，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的 面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案； 【详解】 如图所示，设底面半径为OAr， PA与圆锥底面所成角为60，60PAO ， 2PAPBr，母线PA，PB所成角的余弦值为 3 4 ， 7
8、sin 4 APB， 2 17 (2 )72 24 rr， 2 11 ()3 2 6 333 VS POrr， 故选：C. 【点睛】 本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考 查空间想象能力、运算求解能力. 7已知数据已知数据 122020 ,x xx的方差为的方差为4，若，若 23 ,1,2,2020 ii yxi，则新数，则新数 据据 122020 ,y yy的方差为（的方差为（ ） A16 B13 C8 D16 第 5 页 共 21 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据方差的性质直接计算可得结果. 【详解】 由方差的性质知：新数据 122020
9、 ,y yy的方差为： 2 24 16=. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题. 8ABC 的三个内角的三个内角 A、B、C 所对的边分别为所对的边分别为 a， ，b，c，asin AsinB+bcos2A= 2a ， ， 则则 b a （ ） A2 3 B2 2 C3 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得 sinB 2sinA，从而得 到 b 2a，可得答案 【详解】 ABC中，asinAsinB+bcos2A 2a， 根据正弦定理，得 sin2AsinB+sinBcos2A 2 sinA， 可得 sin
10、B（sin2A+cos2A） 2 sinA，sin 2A+cos2A1， sinB 2 sinA，得 b2a，可得 b a 2 故选 D 【点睛】 本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题 二、多选题二、多选题 9若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A“甲站排头甲站排头”与与“乙站排头乙站排头” B“甲站排头甲站排头”与与“乙不站排尾乙不站排尾” C“甲站排头甲站排头”与与“乙站排尾乙站排尾” D“甲不站排头甲不站排头”与与“乙不站排尾乙不站排尾” 【答案】【答案】BCD 【解【解析】析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方
11、面来判断即可 【详解】 第 6 页 共 21 页 排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而 B、C、D 中，甲、乙站位 不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥 故选 BCD 【点睛】 本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时 发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件 10 （多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的 5 次联考的数学成绩，现只知其从 次联考的数学成绩，现只知其从 第第 1 次到第次到第 5 次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第次分数所在区间段分布的条形图（从左
12、至右依次为第 1 至第至第 5次） ，则从次） ，则从 图中可图中可以读出一定正确的信息是（以读出一定正确的信息是（ ） A甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数 B甲同学的成绩的中位数在甲同学的成绩的中位数在 115 到到 120 之间 之间 C甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差 D甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可 【详解】 解：对于 A，甲同
13、学的成绩的平均数种 1 105 120 2 130 140123 5 x 甲 ， 乙同学的成绩的平均数 1 105 115 125 135 145125 5 x 乙 ， 故 A 错误； 由题图甲知，B正确； 第 7 页 共 21 页 对于 C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于30,40之间，乙同学的成绩的极差介于 35,45之间， 所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差， 故 C 错误； 对于 D，甲同学的成绩的中位数在 115120 之间，乙同学的成绩的中位数在 125130 之 间， 所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数， 故 D 正确. 故选:BD. 【点睛】 本
14、题考查了频数分布与应用问题，是基础题 11已知已知, ,a b c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） ） A| |a ba b B若若a b c b 且且0b ，则，则ac C两个非零向量两个非零向量a，b，若，若| |abab ，则，则a与与b共线且反向共线且反向 D已知已知 (1,2)a ，(1,1)b ，且，且a与与a b 的夹角为锐角，则实数的夹角为锐角，则实数的取值范围是的取值范围是 5 , 3 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】根据平面向量数量积定义可判断 A；由向量垂直时乘积为 0，可判断 B；利用 向量数量积的运算律
15、，化简可判断 C；根据向量数量积的坐标关系，可判断 D. 【详解】 对于 A，由平面向量数量积定义可知cos,a ba ba b，则| |a ba b，所以 A 正确， 对于 B，当a与c都和b垂直时，a与c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以 B 错误， 对于 C，两个非零向量a，b，若| |abab，可得 22 ()(|)abab rr rr ， 即22|a ba b rr rr ，cos1， 第 8 页 共 21 页 则两个向量的夹角为，则a与b共线且反向，故 C正确； 对于 D，已知(1,2)a ，(1,1)b 且a与a b 的夹角为锐角， 可得()0aab r rr 即 2 |0a
16、a b r rr 可得5 30，解得 5 3 ， 当a与a b 的夹角为 0 时， (1,2)ab r r ，所以2220 所以a与a b 的夹角为锐角时 5 3 且0，故 D错误； 故选:AC. 【点睛】 本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档 题. 12如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形， 是正方形，PA 底面底面ABCD， PAAB，截面，截面BDE与直线与直线PC平行，与平行，与PA交于点交于点 E，则下列判断正确的是（，则下列判断正确的是（ ） AE为为PA的中点的中点 BBD 平面平面PAC CPB与与CD所
17、成的角为所成的角为 3 D三棱锥三棱锥CBDE与四棱锥与四棱锥PABCD 的体积之比等于的体积之比等于1:4 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】 采用排除法， 根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理， 结合线线角， 椎体体积公式的计算，可得结果. 【详解】 连接AC交BD于点M连接EM，如图 第 9 页 共 21 页 因为四边形ABCD是正方形，所以M为AC的中点 又PC/平面BDE，PC 平面APC，且平面APC平面BDEEM 所以PC/EM，所以E为PA的中点，故 A 正确 由PA 底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PABD， 又ACBD，ACPAA，,AC PA平面PAC
18、 所以BD 平面PAC，故 B正确 PB与CD所成的角即PB与AB所成的角，即 4 ABP 故 C 错 1 . 3 BCD C BDEE BCD VVSEA， 1 3 P ABCDABCD VSPA 又 1 ,2 2 BCDABCD SSPAEA，所以 1 4 P ABC C BD D E V V ，故 D正确 故选：ABD 【点睛】 本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考 验分析能力，属基础题. 三、填空题三、填空题 13若复数若复数z满足方程满足方程 2 20z ，则，则 3 z _. 【答案】【答案】2 2 i 【解析】【解析】根据题意可得 2zi
19、，然后根据复数的乘法可得结果. 【详解】 由 2 20z ，则 22 22 zi 所以 2zi ，所以 32 2 2 zzzi 故答案为：2 2 i 第 10 页 共 21 页 【点睛】 本题考查复数的计算，把握细节，耐心计算，属基础题. 14如图，在如图，在ABC中，已知中，已知D是是BC延长线上一点，点延长线上一点，点E为线段 为线段AD的中点，若的中点，若 2BCCD ，且，且 3 4 AEABAC，则，则_. 【答案】【答案】 1 4 【解析】【解析】利用AB、AC表示向量AD，再由 1 2 AEAD可求得实数的值. 【详解】 22BCCDBDBC，所以， 3 2 BDBC， 则 33
20、13 2222 ADABBDABBCABACABABAC ， E为线段AD的中点，则 1133 2444 AEADABACABAC ，因此， 1 4 . 故答案为： 1 4 . 【点睛】 本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题. 15某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两 个问题中，选手若能连续正确回答出两 个问题，即停止答题，晋级下一轮个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每，且每 个问题的回答个问题的回答结果相互独立，则该
21、选手恰好回答了结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于个问题就晋级下一轮的概率等于 _. 【答案】【答案】0.128 【解析】【解析】由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个 题目可以回答正确也可以回答错误，利用概率的乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】 由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个题目可 以回答正确也可以回答错误， 第 11 页 共 21 页 由独立事件的概率乘法公式可知，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为 2 0.2 0.80.128P . 故答案为：0.128. 【点睛】 本题考查
22、利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 四、双空题四、双空题 16 如图， 在正方体如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 点中， 点O为线段为线段BD的中点， 设点的中点， 设点P在线段在线段 1 CC 上，直线上，直线OP与平面与平面 1 ABD所成的角为所成的角为，则，则sin的最小值的最小值_，最大值，最大值 _. 【答案】【答案】 6 3 1 【解析】【解析】由题意，直线OP与平面 1 ABD所成的角的最小值为 1 AOA和 11 C OA 中的 最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin的取值范围，再 确定其最值 【详解
23、】 解：连接 1 ,AC AO， 11 AC, 因为 11 ,BDAC BDAA ACAAA, 所以BD 平面 11 ACC A， 所以平面 1 ABD 平面 11 ACC A， 所以直线OP与平面 1 ABD所成的角的最小值为 1 AOA和 11 C OA 中的最小者， 不妨设2AB ， 第 12 页 共 21 页 在 1 Rt AOA中， 1 1 2 1 26 sin 3 22 AA AOA AO ， 1111 sinsin(2)sin2COAAOAAOA 11 2sincosAOAAOA 632 26 2 3333 ， 所以sin的取值范围为 6 ,1 3 ， 所以sin的最小值为 6
24、3 ，最大值为 1， 故答案为： 6 3 ；1 【点睛】 此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于 中档题 五、解答题五、解答题 17如图，如图，G 是是OAB 的重心，的重心，P，Q 分别是边分别是边 OA、 、OB 上的动点，且上的动点，且 P，G，Q 三点共三点共 线线 (1)设设PGPQ，将，将OG用 用，OP，OQ表示；表示； 第 13 页 共 21 页 (2)设设OP xOA ，OQyOB，证明：，证明： 11 xy 是定值是定值 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】【解析】 （1）寻找包含OG的图形OPG，利用向量的加法法则
25、知OG OP PG ， 再根据PGPQ和PQ OQOP 即可 （2）根据（1）结合OP xOA ，OQyOB知： 11OGOPOQxOAyOB ，再根据G是OAB 的重心知： 22111 33233 OGOMOAOBOAOB ，最后根据OAOB 、 不共线得到关于 xy， ， 的方程组即可求解 【详解】 (1)解 ()(1) . (2)证明 一方面，由(1)，得 (1)(1)xy； 另一方面，G 是 OAB 的重心， (). 而，不共线，由，得解得 3(定值) 【点睛】 本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题 18已知函数已知函数 2 2cos2 3sin
26、cosf xxxxa，且当，且当0, 2 x 时，时， f x的最的最 小值为小值为 2. （1）求）求a的值，并求的值，并求 f x的单调递增区间；的单调递增区间； （2）先将函数）先将函数 yf x的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 1 2 ，再将所，再将所 得的图象向右平移得的图象向右平移 12 个单位，得到函数个单位，得到函数 yg x的图象，当的图象，当0, 2 x 时，求时，求 4g x 的的x的集合的集合. 第 14 页 共 21 页 【答案】【答案】 （1）2a， , 36 kk ，kZ； （2） 124 xx . 【解析】【解
27、析】 （1）化简可得 f x2sin 21 6 xa ，由题意可得，112a ， 解方程可得a 的值，解不等式222 262 kxk 可得单调区间. （2）由函数图象变换可得：( )2sin 43 6 g xx ，可得 1 sin 4 62 x ，令 5 242Z 666 kxkk ，解不等式与0 2 ，求交集即可. 【详解】 （1）函数 2 2cos2 3sin cos2sin 21 6 f xxxxaxa ， 0, 2 x ， 7 2, 666 x ， min112f xa ，得2a， 即 2sin 23 6 f xx . 令222 262 kxk ，kZ， 得 36 kxk ，kZ， 函
28、数 f x的单调递增区间为 , 36 kk ，kZ. （2）由（1）得 2sin 23 6 f xx ，由 yf x的图象上的点纵坐标不变， 横坐标缩小到原来的 1 2 ，得2sin 43 6 yx ， 再将图象向右平移 12 个单位， 得 2sin 432sin 43 1266 g xxx ， 又 4g x .即 1 sin 4 62 x ， 第 15 页 共 21 页 5 242Z 666 kxkk ， 即Z 21224 kk xk . 0, 2 x ，不等式的解集 124 xx 【点睛】 本题主要考查了二倍角和辅助角公式,求三角函数的单调区间，三角函数图象变换，解 三角不等式等，属于中档
29、题. 19如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，90ACB ，PA 底面底面ABC . （1）求证：平面）求证：平面PAC 平面平面PBC； （2）若）若1PAAC，2BC ，M是是PB的中点，求的中点，求AM与平面与平面PBC所成角的正所成角的正 切值切值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 . 【解析】【解析】 （1）证明出BC平面PAC，利用面面垂直的判定定理可证得平面PAC 平 面PBC； （2）在平面PAC内，过点A作ADPC，连接DM，证明出AD 平面PBC，可 得出AM与平面PBC所成角为AMD，计算出RtADM的边AD、DM的长， 由此可计算出AM与平
30、面PBC所成角的正切值. 【详解】 （1）证明：在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，BC 平面ABC， PABC， 又90ACB，即BCAC，PAACAQI，BC平面PAC， BC 平面PBC，因此，平面PAC 平面PBC. 第 16 页 共 21 页 （2）解：在平面PAC内，过点A作ADPC，连接DM， BC 平面PAC，AD 平面PAC，ADBC， ADPC，BCPCC，AD平面PBC， AMD是直线AM与平面PBC所成的角. PA 平面ABC，AC 平面ABC，PAAC， 在RtPAC中，1PAAC， 22 2PCPAAC ， ADPC，D为PC的中点，且 12 22 ADPC， 又
31、M是PB的中点，在PBC中， 1 1 2 MDBC， AD 平面PBC，DM 平面PBC，ADDM， 在RtADM中， 2 2 2 tan 12 AD AMD MD . 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计算 能力，属于中等题. 20某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随 名学生中随 机抽取机抽取 50名学生的考试成绩， 被测学生成绩名学生的考试成绩， 被测学生成绩全部介于全部介于 65分到分到 145分之间 （满分分之间 （满分 150分） ，分）
32、， 将统计结果按如下方式分成八组：第一组将统计结果按如下方式分成八组：第一组65,75)，第二组，第二组75,85)，第八组，第八组 135,145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 第 17 页 共 21 页 （1）求第七组的频率；）求第七组的频率； （2） 用样本数据估计该校的） 用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分 （同一组中的数据用该名学生这次考试成绩的平均分 （同一组中的数据用该 组区间的中点值代表该组数据平均值） ；组区间的中点值代表该组数据平均值） ； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的
33、所有学生中随机抽）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取取 2 名，求他们的分差的名，求他们的分差的 绝对值小于绝对值小于 10 分的概率分的概率 【答案】【答案】 （1）0.08（2）102（3） 2 5 【解析】【解析】 （1）利用各小矩形的面积和为 1 即可得到； （2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与小矩形面积乘积的和； （3） 易得第六组有 3人， 第八组有 2 人， 从中任取两人他们的分差的绝对值小于 10 分， 则这两人必来自同一组，再按古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】 （1）由频率分布直方图得第七组的频率为： 1 (0.0040.0120.0160.03
34、00.0200.0060.004) 100.08 （2）用样本数据估计该校的 2000名学生这次考试成绩的平均分为： 70 0.004 10 80 0.012 10 90 0.016 10 100 0.030 10 110 0.020 10 120 0.006 10 1300.008 10 140 0.004 10102， （3）样本成绩属于第六组的有0.006 10503人，设为 A，B，C，样本成绩属于第 八 组的有0.004 10502人，设为 a，b，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中 随机抽取 2 名，有 , A B， , A C， , C B， , A a， , A b， ,
35、 B a， , B b， , C a， , C b， , a b共 10 种，他们的分差的绝对值小于 10分包含的基本事件有 , A B， , A C， , C B， , a b，共 4种，他们的分差的绝对值小于 10 分的概率 42 105 p 【点睛】 第 18 页 共 21 页 本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到频率的计算、平均数的估计、古典概型的概 率计算等知识，是一道容易题. 21ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，已知，已知cos3coscBabC . （1）求）求sinC的值；的值； （2）若）若 2 6c ，2ba，求，求ABC的面积的面积.
36、 【答案】【答案】 （1） 2 2 3 ； （2）5 2. 【解析】【解析】 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利 用同角三角函数基本关系式可求sinC的值； （2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利 用三角形的面积公式即可计算得解 【详解】 （1） cos(3)coscBabC ， 由正弦定理可知，sincos3sincossincosCBACBC， 即sincoscossin3sincosCBCBAC， sin()3sincosCBAC ， AB C， sin3sincosAAC， sin0A， 1 cos 3 C， 0C， 2 2 2 sin1 3 C
37、cos C. （2）2 6c ， 1 cos 3 C ， 由余弦定理： 222 2coscababC，可得： 22 2 24 3 abab， 2 4 ()24 3 abab ， 2ba， 解得： 15ab， 112 2 sin155 2 223 ABC SabC 【点睛】 此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理 第 19 页 共 21 页 是解本题的关键，属于基础题 22 如图， 在三棱柱如图， 在三棱柱 111 ABCABC中，中，H是正方形是正方形 11 AAB B的中心，的中心， 1 2 2AA ， 1 C H 平面平面 11 AAB B，且，且 1
38、 5C H . （1）求异面直线）求异面直线AC与与 11 AB所成角的余弦值；所成角的余弦值； （2）求二面角）求二面角 111 AACB的正弦值；的正弦值； （3） 设） 设N为棱为棱 11 BC的中点，的中点，E在在 11 AB上， 并且上， 并且 111 :1:4B E B A ， 点， 点M在平面在平面 11 AAB B 内，且内，且MN 平面平面 111 ABC，证明：，证明：/ME平面平面 11 AACC . 【答案】【答案】 （1） 2 3 ； （2） 3 5 7 ； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）连接 1 AC，由 11 /AC AC可知 111 C AB（或补
39、角）是异面直线AC与 11 AB 所成的角，计算出 111 A B C 各边边长，利用余弦定理可求得 111 cosC AB的值，进而得 解； （2）连接 1 AC，过点A作 11 ARAC于点R，连接 1 B R，证明 111 B RAC，可得出 1 ARB为二面角 111 AACB的平面角，计算出 1 AB R的三边边长，利用余弦定理 可求得 1 cosARB，利用同角三角函数的基本关系可求得二面角 111 AACB的正弦 值； （3）取 1 HB的中点D，连接ND，证明出 11 AB 平面MND，可得出 11 ABMD， 进而推导出 1 /MD AA，推导出 1 /DE AA，可得出M、
40、D、E三点共线，进而得出 1 /ME AA，利用线面平行的判定定理可得出/ME平面 11 AACC. 【详解】 （1）连接 1 AC， H为正方形 11 AAB B的中心， 1 2 2AA ，则 11 24ABAA， 第 20 页 共 21 页 11 1 2 2 B HAB， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 /AC AC， 111 C A B （或补角）是异面直线AC与 11 AB所成的角. 1 C H 平面 11 AAB B， 1 B H 平面 11 AAB B， 11 C HB H， 1 5C H ，可得 22 111111 3ACBCBHC H， 由余弦定理得 222 1111
41、11 111 1111 2 cos 23 ACABBC C AB ACAB ， 因此，异面直线AC与 11 AB所成角的余弦值为 2 3 ； （2）连接 1 AC， 1 C H 平面 11 AAB B， 1 AB 平面 11 AAB B， 11 C HAB， H为 1 AB的中点，则 111 ACBC， 又由于 111 AAB A， 1111 ACAC， 11111 AC ABC A， 11111 AACB AC， 过点A作 11 ARAC于点R，连接 1 B R， 111 AAB A， 111 AARB AR， 11 ARAR， 111 AARB AR， 111 90B RAARA ，则 1
42、11 B RAC，且 1 B RAR， 故 1 ARB为二面角 111 AACB的平面角. 在 11 RtARB中， 2 11111 22 14 sin2 21 33 B RABRAB . 连接 1 AB，在 1 ARB中， 1 4AB ， 1 ARB R， 222 11 1 1 2 cos 27 ARB RAB ARB AR B R ， 从而 2 11 3 5 sin1 cos 7 ARBARB， 第 21 页 共 21 页 因此，二面角 111 AACB的正弦值为 3 5 7 . （3）MN 平面 111 ABC， 11 AB 平面 111 ABC， 11 MNAB. 取 1 HB的中点D
43、，则 11 :1:4B D B A， 连接ND，由于N是棱 11 BC中点， 1 /ND C H， 又 1 C H 平面 11 AAB B，ND平面 11 AAB B， 11 AB 平面 11 AAB B， 11 NDAB， 又MNNDN， 11 AB平面MND，MDQ平面MND， 11 ABMD， 四边形 11 AAB B是正方形， 111 AAAB， 1 /MD AA， 连接DE，由 11 111 1 4 B EB D B AB A ，得 1 /DE AA， M、D、E三点共线， 1 /ME AA， 1 AA 平面 11 AACC，ME 平面 11 AACC，/ME平面 11 AACC. 【点睛】 本题考查异面直线所成角、二面角的计算，同时也考查了线面平行的证明，考查推理能 力与计算能力，属于中等题.
