1、考点考点 导数的概念和运算导数的概念和运算 1.(2020课标理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1)处的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 答案答案 B 本题考查导数的几何意义. f (x)=4x3-6x2,则f (1)=-2,易知f(1)=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程为y-(-1)=- 2(x-1),即y=-2x+1.故选B. 2.(2019课标,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( ) A.a=e,b=-1 B
2、.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 答案答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的 求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,b=-1,故选D. 3.(2018课标理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案答案 D
3、 解法一:f(x)=x3+(a-1)x2+ax, f (x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, a=1,f (x)=3x2+1,f (0)=1, 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D. 解法二:f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数, f (x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数, a=1,即f (x)=3x2+1,f (0)=1, 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D. 4.(2019课标文,10,5分)曲线y=2sin
4、x+cos x在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 答案答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的 核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x- ),即2x+y+1-2=0,故选C. 小题巧小题巧解 由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符 合.故选C. 5.(2016山东,文10,理
5、10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互 相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,由题意知只需函数y=f(x)满足f (x1) f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x,f (0) f ()=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)= ln x的导函数为f (x)=,则f (x1) f (x2)=0,故函数y=ln x不
6、具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f (x)= ex,则f (x1) f (x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A. 1 x 12 1 x x 12 ex x2 1 x 2 2 x 疑难突破疑难突破 函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相 应的导数之积为-1,这是解决此题的关键. 6.(2020课标文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 . 答案答案 y=2x 解析解析 设该切线的切点坐标为(
7、x0,y0),由y=ln x+x+1得y=+1,则在该切点处的切线斜率k=+1,即 +1=2,解得x0=1,y0=ln 1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 1 x 0 1 x 0 1 x 7.(2020课标文,15,5分)设函数f(x)=.若f (1)=,则a= . ex xa e 4 答案答案 1 解析解析 f (x)=,则f (1)=,解得a=1. 2 (-1)e () x xa xa 2 e (1) a a e 4 8.(2019课标,文13,理13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 答案答案 y=3x
8、 解析解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex, 曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3, 曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 9.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 . 答案答案 e 解析解析 本题主要考查导数的运算. f(x)=exln x,f (x)=ex, f (1)=e1(ln 1+1)=e. 1 ln x x 10.(2016课标理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)
9、的切线,则b= . 答案答案 1-ln 2 解析解析 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b)、(x2,kx2+b). 由导数的几何意义可得k=,得x1=x2+1, 再由切点也在各自的曲线上,可得 联立x1=x2+1,解得k=2, 则x1=,x2=-.代入kx1+b=ln x1+2,解得b=1-ln 2. 1 1 x 2 1 1x 11 22 ln2, ln(1), kxbx kxbx 1 2 1 2 温馨提示温馨提示 1.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指切点为P,斜率为k=f (x0)的切线,是唯一的一条切线; 2.函数y=
10、f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率以及过某点的切线的倾斜角,这三 者是可以相互转化的. 11.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过 点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 . 答案答案 (e,1) 解析解析 设A(x0,y0),由y=,得k=, 所以在点A处的切线方程为y-ln x0=(x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0=(-e-x0),所以ln x0=. 令g(x)=ln x-(x0),则g(x)=+,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数.
11、又g(e)=0,ln x=有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1). 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 e x e x 1 x 2 e x e x 12.(2019北京文,20,14分)已知函数f(x)=x3-x2+x. (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程; (2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x; (3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值. 1 4 解析解析 本题考查利用导数求三次函数图象的切线,及函数的最大值、最小值,考查分类讨论的思 想,要求学生有良好的逻辑推理和运
12、算求解能力. (1)由f(x)=x3-x2+x得f (x)=x2-2x+1. 令f (x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=. 又f(0)=0, f=, 所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-. (2)证明:令g(x)=f(x)-x,x-2,4. 由g(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x. 令g(x)=0,得x=0或x=. g(x),g(x)的情况如下: 1 4 3 4 3 4 8 3 8 3 8 27 8 27 8 3 64 27 1 4 3 4 8 3 x -2 (-2,0) 0 4 g(x) + - + g(x) -6 0 - 0 8
13、 0, 3 8 3 8 ,4 3 64 27 所以g(x)的最小值为-6,最大值为0. 故-6g(x)0,即x-6f(x)x. (3)由(2)知, 当a3; 当a-3时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3; 当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3. 1.(2016四川,文10,理9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂 直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+) -ln ,01, ln ,1 xx x x
14、以下为教师用书专用 答案答案 A 设P1(x1,y1),P2(x2,y2).不妨令0x11. 当0x1时, f (x)=, l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=, l1与l2垂直,且x2x10,k1 k2=-=-1,即x1x2=1. 直线l1:y=-(x-x1)-ln x1,直线l2:y=(x-x2)+ln x2. 取x=0,分别得到A(0,1-ln x1),B(0,-1+ln x2),则 |AB|=|1-ln x1-(-1+ln x2)| =|2-(ln x1+ln x2)|=|2-ln(x1x2)|=2. 联立两直线方程可得交点P的横坐标xP=, SPAB=|AB| |xP|=2=, 函数
15、y=x+在(0,1)上为减函数,且0x11+1=2,则0,00时,-x0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易 知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1) (x-1),即y=2x. 解法二:因为f(x)为偶函数,所以y=f(x)图象上的点A(1,2)关于y轴的对称点A(-1,2)也在函数y=f(x)的 图象上,且在A,A处的切线斜率互为相反数.又当x0时, f (x)=-e-x-1-1, f (-1)=-2,所以f (1)=2,则可求 得切线方程是y=2x. 9.(2016课标理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0), 则f (x)=-
16、3(x0),f (1)=-2, 在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 1 x 思路分析思路分析 由偶函数定义,可得x0时, f(x)的解析式,从而求出f(x)的导数,进而可求得切线斜率,最 后可得切线方程. 10.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的 截距为 . 答案答案 1 解析解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-
17、1),即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1. 1 x 易错警示易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率. 11.(2018北京文,19,13分)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex. (1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围. 解析解析 (1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex, 所以f (x)=ax2-(a+1)x+1ex. 所以f (2)=(2a-1)e2. 由题设知f (2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.
18、(2)由(1)得f (x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex. 若a1,则当x时, f (x)0. 所以f(x)在x=1处取得极小值. 若a1,则当x(0,1)时,ax-1x-10. 所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是(1,+). 1 2 1 ,1 a 方法总结方法总结 函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的 导数符号. (2)已知函数求极值.求f (x)求方程f (x)=0的根列表检验f (x)在f (x)=0的根的两侧的符号得 出结论. (3)已知极值求参数.
19、若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f (x0)=0,且f(x)在该点左、右两侧的导数值 符号相反. 温馨提示温馨提示 解题时需要注意以下几个方面:在求解切线方程问题时,注意区别在某一点和过某 一点解题步骤的不同;在研究单调性及极值、最值问题时常常会涉及分类讨论的思想,要做到 不重不漏;不等式恒成立问题属于高考中的难点,要注意问题转换的等价性. 12.(2016北京理,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间. 解析解析 (1)因为f(x)=xea-x+b
20、x,所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,知即解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1) 时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+). (2)2e2, (2)e-1, f f -2 -2 2e22e2, -ee-1.
21、 a a b b 方法总结方法总结 (1)曲线在某点处的切线,满足两个条件:一是过该点,二是斜率(若斜率存在)等于函数 在该点处的导数值.(2)讨论函数的单调性可转化为讨论其导函数的符号变化,因此常将其导函数 作为一个新函数来研究其值域(最值),利用所得结论确定原函数的单调性. 13.(2017北京理,19,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 0, 2 解析解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x
22、)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0) 处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x时,h(x)0, 所以h(x)在区间上单调递减. 所以对任意x有h(x)h(0)=0,即f (x)0(h(x)1. (1)求函数h(x)=f(x)-xln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明x1+g(x2)=-
23、 ; (3)证明当a时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 2lnln ln a a 1 e e 解析解析 本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质 等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问 题的能力. (1)由已知得,h(x)=ax-xln a,有h(x)=axln a-ln a. 令h(x)=0,解得x=0. 由a1,可知当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表: 所以函数h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+). (2)证明:由f (x)=axl
24、n a,可得曲线y=f(x)在点(x1, f(x1) 处的切线斜率为ln a. 由g(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为. 因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1. 两边取以a为底的对数,得logax2+x1+2logaln a=0, x (-,0) 0 (0,+) h(x) - 0 + h(x) 极小值 1 x a 1 lnxa 2 1 lnxa 1 x a 2 1 lnxa 1 x a 所以x1+g(x2)=-. (3)证明:曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a (x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,logax2
25、)处的切线l2:y- logax2=(x-x2). 要证明当a时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a时, 存在x1(-,+),x2(0,+),使得l1与l2重合. 即只需证明当a时, 方程组有解. 由得x2=, 代入,得-x1ln a+x1+=0. 因此,只需证明当a时,关于x1的方程存在实数解. 设函数u(x)=ax-xaxln a+x+, 即要证明当a时,函数y=u(x)存在零点. 2lnln ln a a 1 x a 1 x a 1 x a 2 1 lnxa 1 e e 1 e e 1 e e 1 11 2 12 1 ln, ln 1 -l
26、nlog- ln x xx a aa xa ax aax a 1 2 1 (ln ) x aa 1 x a 1 x a 1 lna 2lnln ln a a 1 e e 1 lna 2lnln ln a a 1 e e u(x)=1-(ln a)2xax,可知x(-,0)时,u(x)0;x(0,+)时,u(x)单调递减,又u(0)=10,u=1- 0,使得u(x0)=0, 即1-(ln a)2x0=0. 由此可得u(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0). 因为a,故ln ln a-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0+=+x0+
27、0. 下面证明存在实数t,使得u(t)时,有 u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+=-(ln a)2x2+x+1+,所以存在实数t,使得u(t)0), 则h(a)=3a-10aln a, 当a(0,)时,h(a)0; 当a(,+)时,h(a)0, 故h(a)max=h()=4-=,即b的最大值为,故选A. 2 5a x 00 00 ()(), ()(), f xg x fxg x 22 000 2 0 0 5ln-3- , 5 -32, axaxx b a ax x 0 22 , 4-5ln . xa baaa 3 10 e 3 10 e 3 10 e 3 5 e 3 2 3 5
28、 e 5 2 3 5 e 5 2 3 5 e 解后反思解后反思 本题主要考查了导数的综合应用问题,对已知条件进行转化,转化为求函数h(a)=4a2-5a 2ln a的最大值,利用导数求得函数的单调性,即可求得函数的最值,着重考查了转化思想,以及分析 问题和解决问题的能力. 5.(2019河北邯郸一模,12)过点M(-1,0)引曲线C:y=2x3+ax+a的两条切线,这两条切线与y轴分别交于 A,B两点,若|MA|=|MB|,则a=( ) A.- B.- C.- D.- 25 4 27 4 25 12 49 12 答案答案 B 显然点M不在曲线C上.设切点坐标为(t,2t3+at+a)(t-1)
29、,由y=2x3+ax+a,得y=6x2+a, 6t2+a=, 即4t3+6t2=0,解得t=0或t=-. |MA|=|MB|,y|x=0+y=0, 即2a+6=0, 故a=-,故选B. 3 2 1 tata t 3 2 3 -2 | x 2 3 - 2 27 4 思路分析思路分析 设出切点坐标,求出原函数的导函数,可得曲线C在切点处的切线的斜率,由斜率相等列 式求得切点横坐标,再由|MA|=|MB|可得y|x=0+y=0,由此求得a值. 3 -2 | x 1.(2020山东百师联盟测试二,3)已知函数f(x)=x3+2xf (1)-1,则f (1)=( ) A. B.3 C.-3 D.- 3
30、2 3 2 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:30分钟 分值:50分) 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 答案答案 C f (x)=3x2+2f (1),则f (1)=3+2f (1),所以f (1)=-3. 2.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln,则f(1)=( ) A.-e B.2 C.-2 D.e 1 x 答案答案 B 由已知得f (x)=2f (1)-,令x=1,得 f (1)=2f (1)-1,解得f (1)=1,则f(1)=2f (1)=2. 1 x 3.(2019河北廊坊第一次联考,11)
31、已知函数f(x)=-x3-x2+ax-b的图象在x=0处的切线方程为2x-y-a= 0,若关于x的方程f(x2)=m有四个不同的实数解,则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 325 -,- 36 5 -2,- 6 325 -,- 36 5 -2,- 6 答案答案 D 本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究方程问题. 由题意可得f(0)=-b=-a, f (x)=-x2-x+a,则f (0)=a=2,则b=2,故f(x)=-x3-x2+2x-2, f (x)=-x2-x+2=-(x-1) (x+2),所以函数f(x)在(-2,1)上单调递增,在(-,-2),(1,+
32、)上单调递减. 关于x的方程f(x2)=m有四个不同的实数解等价于函数f(x)的图象与直线y=m在x(0,+)上有两个 交点, 又f(0)=-2, f(1)=-,所以-2m0, 设两切点的横坐标分别为x1,x2.切点的横坐标都大于零, x10,x20, 联立解得3a0时, f(x)=xex+1,则f(x)的图象在点(-1, f (-1)处的切线斜率为 . 答案答案 2e 解析解析 本题主要考查奇函数在对称区间上解析解析式的求法,导数的几何意义,考查转化与化归的思想 方法. 当x0时, f(x)=xex+1,当x0, f(-x)=(-x)e-x+1=-xe-x+1,又f(x)为奇函数,f(x)=
33、-f(-x)=xe-x-1, 此时f (x)=(1-x)e-x,故k=f (-1)=2e. 8.(2020湖南衡阳一模,13)若曲线y=x2+ln x在点(1,1)处的切线与直线x-ay+2=0平行,则实数a的值为 . 答案答案 1 3 解析解析 令f(x)=y=x2+ln x,f (x)=2x+,曲线f(x)在(1,1)处的切线斜率k=f (1)=2+1=3,则切线方程 为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0,又切线与直线x-ay+2=0平行,3=,a=. 1 x 1 a 1 3 9.(2020广东佛山质量检测(一),15)函数f(x)=ln x和g(x)=ax2-x的图象有公共点P,且
34、在点P处的切线相 同,则这条切线的方程为 . 答案答案 y=x-1 解析解析 本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义,考查学生灵活运用所学知识分析 问题、解决问题的能力. f (x)=,g(x)=2ax-1,设P(x0,y0),则ln x0=a-x0, f (x0)=g(x0),即=2ax0-1,化简得1=2a-x0, 联立消去a得,ln x0=,令(x)=ln x-,x0,则(x)=+0,则(x)在(0,+)上单调递增,又 (1)=0,所以(x)=ln x-有唯一解,即x0=1,则y0=f(1)=0,a=1.故P(1,0),切线的斜率为1,故切线方程为y= x-1. 1 x 2 0
35、 x 0 1 x 2 0 x 0 1- 2 x1- 2 x1 x 1 2 1- 2 x 思路分析思路分析 分别求得f(x),g(x)的导数,设P(x0,y0),则ln x0=a-x0,结合f (x0)=g(x0),消去a可得关于x0 的方程,构造函数,根据函数单调性可求得x0的值,进而可求P的坐标,以及切线的斜率和切线方程. 2 0 x 10.(2020广东深圳统测,16)已知点M和点Nn,n-(mn),若线段MN上的任意一点P都满 足:经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C:y=x2+x(-1x3)相切,则|m-n|的最大值为 . 1 , - 2 m m 1 2 1 2 答案答案 4 3
36、 解析解析 本题考查直线与曲线的位置关系的判断,考查导数的几何意义和切线方程的求法,以及两直 线的交点的求法,考查数形结合思想和运算能力. 由点M和点Nn,n-,可得M,N在直线y=x-上, 将y=x-代入y=x2+x(-1x3),可得x2=-,无实数解.由y=x2+x得导数为y=x+1,可得曲线C在x =-1处的切线的斜率为0,可得切线的方程为y=-,与直线y=x-的交点为,同理可得曲线C在x =3处切线的斜率为4,切线方程为y=4x-,联立可得交点为,此时可设N,M ,则由图象可得|m-n|的最大值为=. 1 , - 2 m m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
37、2 1 2 1 0,- 2 9 2 9 4 -, 2 1 -, 2 yx yx 4 5 , 3 6 1 0,- 2 4 5 , 3 6 4 -0 3 4 3 1.(2020 5 3原创题)曲线y=f(x)在点P(-1, f(-1)处的切线l如图所示,则f (-1)+f(-1)=( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 答案答案 C 因为切线l过点(-2,0)和(0,-2), 所以f (-1)=-1, 所以切线l的方程为y=-x-2,取x=-1,则y=-1,即f(-1)=-1,所以f (-1)+f(-1)=-1-1=-2,故选C. 02 -2-0 命题说明命题说明 导数的几何意义最常见的应用是
38、求切线方程和已知切线方程求参数的值,本题设计目 的为通过直线的斜率公式来求在x=-1处的导数及函数值,考查学生对导数的几何意义掌握的情况, 考查数形结合的思想,属基础题. 2.(2020 5 3原创题)设f(x)=eax(a0),如图所示,过点A(a,0)且平行于y轴的直线与函数f(x)=eax的图象的 交点为P,过P的切线交x轴于点B,则当ABP的面积最小时,函数f(x)的解析式是( ) A.f(x)= B.f(x)=ex C.f(x)= D.f(x)= 2 e x 2 e x 2 2 e x 答案答案 D f (x)=aeax(a0),由导数的几何意义,知f(x)的图象在P(a,)处的切线
39、的斜率为a,故切 线方程为y-=a(x-a),令y=0,得x=a-, 故B点坐标为, 所以SABP=, 令g(a)=(a0), 则g(a)=(2-a-2), 令g(a)=0,得a=或a=-(舍去), 所以当0a时,g(a)时,g(a)0, 故函数g(a)在上单调递减,在上单调递增,故g(a)在a=时取得最小值,即ABP 的面积取得最小值,所以当ABP的面积最小时, f(x)=. 2 ea 2 ea 2 ea 2 ea 1 a 1 -,0a a 1 2 1 a 2 ea 1 2 2 ea a 1 2a 2 ea 1 2 22 -2 1 -e2 e aa aa a 1 2 2 ea 2 2 2 2
40、 2 2 2 2 2 0, 2 2 , 2 2 2 2 2 e x 命题说明命题说明 本题结合导数的几何意义以及利用导数求最值,通过已知切点求切线方程,进而求出切 线与x轴的交点坐标,得出三角形的面积表达式,最后利用导数求出关于面积表达式(a为变量的新 函数)的单调性,根据单调性求出最小值.重点考查学生的运算能力以及数形结合思想的应用. 名师点睛名师点睛 导数经常以压轴题的形式出现,重点考查运算能力以及数形结合思想、分类讨论思想 等,导数的综合运用涉及的知识面广,知识点多,形式灵活,经常利用导数研究方程的根,函数零点问 题,含参数的不等式恒成立、能成立问题,实际问题的最值等. 3.(2020
41、5 3原创题)给出下列命题: (1)当eaaln b; (2)当0x,0axsin(1-a)x; (3)当0xx-; (4)当3x=4y=6z=a时,3x4y6z; (5)当0x1x2. 其中正确的命题是 (填序号). 2 3 6 x 2 2 1 tan tan x x 2 1 x x 答案答案 (1)(3)(5) 解析解析 (1)因为ea0,ln b0,要证bln aaln b,只需证,构造函数f(x)=(xe), 则f (x)=,易知f (x)f(b),即,故(1)正确; (2)因为0x,0axsin(1-a)x,只需证,令f(x)=(0x), 则f (x)=,令g(x)=xcos x-s
42、in x(0x),则g(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x0,所以当0x时, g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)g(0)=0,即xcos x-sin x(1-a)x, 所以f(x)f(1-a)x,即0,x. 所以f (x)在上单调递增. 又因为f (0)=0,所以f (x)0, 所以f(x)在上单调递增, lna a lnb b ln x x 2 1-ln x x lna a lnb b sin x x sin(1- ) (1- ) a x a x sin x x 2 cos -sinxxx x sin x x sin(1- ) (1- ) a x a x 3
43、6 x 0, 2 1 2 0, 2 0, 2 0, 2 故f(x)f(0)=0, 即当0xx-,故(3)正确; (4)3x=4y=6z=a,当a=1时,x=y=z=0, 则3x=4y=6z,故(4)不正确; (5)当0x1x2,只需证, 令f(x)=,则f (x)=0,所以f(x)在上单调递增,故当0 x1x2时, f(x1),故(5)正确. 2 3 6 x 2 2 1 tan tan x x 2 1 x x 2 2 tan x x 1 1 tan x x tan x x sin cos x xx 0 2 x 2 -sin cos ( cos ) xxx xx 2 -sin ( cos ) xx xx 0, 2 2 2 2 tan x x 1 1 tan x x
