1、 三角函数模型的简单应用教学设计 （人教（人教 A 版普通高中课程标准试验教科书数学必修版普通高中课程标准试验教科书数学必修 4 第一章第一章 1.6 节）节） 授课教师： 张 翼 四川省成都市第十二中学 指导教师： 幸世强 四川省成都市武侯区教育科学发展研究院 周祝光 四川省成都市第十二中学 2018 年 12 月 第九届高中青年数学教师第九届高中青年数学教师 优秀课展示与培训活动优秀课展示与培训活动 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 2 / 19 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 成都市第十二中学成都市第十二中学 张翼张翼 一
2、、内容和内容解析 1.1.教学内容教学内容 三角函数既是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点，是进一步学习数学和其他自然学科的 基础，是研究现代科学技术必不可少的工具 本课位于人教A版普通高中数学课程标准实验教科书数学，必修4第一章三角函数第6节，本节 课是三角函数模型的简单应用的第一课时 本节课学习的内容“三角函数模型的简单应用”是在学习了“函数模型及其应用”以及“三角函数的 图象与性质”的基础上的一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法，为学生以后学 习回归分析做好方法上的铺垫 教材设计本节内容的课程目标是：让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，
3、体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，以使学生体会三角函数的价值和功能，增强应用意识，同时 还要使学生加深理解有关知识在安排内容时，强调数学的人文价值，突出现代信息技术与数学课程的整 合特别注重数学应用过程的完整性，加强了对问题情境和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环 节这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对数形结合、转化与化归、函数与方程等数学 思想方法的认知层次，提升学生的直观想象、数学建模、数学运算等数学核心素养和培养学生良好的解题 习惯 因此基于对教材内容和课程目标的分析与理解，本节课教学设计重新整合教材并保持与教材设计的一 致性，内容上选择教材P60例1，背景替换
4、为大致成周期变化的成都月平均气温，考察已知函数模型的求解和 简单应用； 改编教材P62例4， 背景替换为绿色环保的四川水力能源， 考察函数模型的建立， 求解和简单应用 这 样的处理既尊重教材，又尊重学生实际选择贴近学生生活的成都城市发展作为文化背景，提升学生的文 化素养，发挥数学学科育人功能 2.2.教学重点教学重点 本节课的教学重点是：从实际问题中分析、理解、整合信息，从中发现周期变化的规律，抽象出数学 关系建立三角函数模型，并使用三角函数模型解决实际问题 二、目标和目标解析 本节课的教学目标是： 1.能够运用已知的三角函数模型解决实际问题， 能够将具有周期变化规律的实际问题抽象为三角函数模
5、 型，并使用三角函数模型解决一些实际问题； 2.经历由实际问题选择、建立、求解数学模型，解决实际问题的数学建模过程，体验实际问题的特征与 函数模型的关联，体验三角函数与日常生活的联系，体验三角函数模型的功能与价值，提升数学知识的应 用意识 为此选择教材中的一类问题： 解决实际生活中形如sin()yAxb的三角函数的应用问题作为本 节课的教学内容，希望学生在探究问题的活动体验中获得对三角函数模型简单应用的深入理解这类问题 的内涵十分丰富：（1）通过观察图象认识事物的形态变化的规律，构建恰当的函数模型，探索解决问题的 思路，重点培养学生数形结合的数学思想和直观想象的核心素养；（2）通过建立三角函数
6、模型解决实际问 题，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，重点培养学生转化与化归的数学思想和数学建模 的核心素养；（3）通过合理选择运算方式解决实际问题，培养学生程序化思考问题的品质，重点培养学生 函数与方程的数学思想和数学运算的核心素养 三、教学问题诊断分析 1.1.学情分析学情分析 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 3 / 19 学生在高中数学必修 1 学习了分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，也学习了函 数模型应用的基本步骤与方法经历过收集数据，观察散点图，选择函数模型，求解函数模型，运用函数 模型解释检验实际问
7、题的数学建模过程，使用过 Excel、Geogebra 软件等信息技术辅助学习，体会到了数形 结合、函数与方程等数学思想，在数学知识与方法、数学实验操作上都具备一定的基础同时，学生在高 中必修 4 学习了三角函数和其他学科知识后，了解到三角函数与天文、物理、地理等学科中周期变化现象 是有密切联系的 要达成本节课的教学目标，需要学生能敏锐的发现实际问题中的三角函数模型背景，合理的分析理解 数据，掌握完整的数学建模的步骤但学生对建立和应用函数模型往往还停留在求解层面上，实际问题中 的数学背景、意义，以及其中蕴含的数学思想、方法、素养的理解并不深刻当面对利用三角函数解决具 有周期变化规律的实际问题中
8、的陌生背景、复杂数据时，学生会有畏难情绪和思维障碍；尤其是理解问题 的实际背景、分析问题的复杂条件，建立和求解数学模型，检验模型的实际意义，利用模型最终分析和解 决问题等环节都可能遇到一定的困难，导致实际问题的解决不能顺利完整的完成同时，本节课对学生的 信息技术辅助数学探究性学习的能力要求较高，特别是运用互联网+平板电脑操作 Excel、Geogebra 等数学 软件，可能会遇到网络传输不流畅，反应较慢，操作不熟练等因素的影响 因此，需要教师引导学生分析实际问题，回顾已有的处理实际问题的知识与方法，在课前熟悉互联网+ 平板电脑操作 Excel、 Geogebra 等数学软件； 学生采用自主探究
9、和小组合作交流的学习模式， 完善解决方案， 梳理解题思路 本节课的授课对象为成都市第十二中学理科实验班（信息技术智慧课堂班）的学生，数学基础扎实， 思维较活跃，教师运用 Excel、Geogebra、几何画板软件辅助教学较多，学生平板电脑信息技术辅助学习较 为熟练，具有丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和提炼总结意识上还有待进一步提升 2.2.教学难点教学难点 本节课的教学难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并解决 实际问题 突破难点的策略是：在教学时，引导学生重视分析实际问题，整理、提取和利用关键信息，抓住实际 问题中的重要数据，善于提炼和处理数据，发现数
10、据的内在规律，寻找数量之间的关系；同时借助散点图， 引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系以及变化规律，进而建立实际问题的函数模型；最后注意 指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行分析，做出合理的解释，最终达成突破难点的目的 四、教学支持条件分析 1 1. .教学教学策略策略分析分析 基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略： （1）数学文化为引线：以四川成都实际生活背景作为引入，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生 的文化素养，数学文化立德树人 （2）问题探究为主线：问题探究，层层递进问题 1（宜人的气候环境）感受实际生活中呈周期变化 的三角函数问题，运用三角
11、函数模型求解实际问题；问题 2（充足清洁的水电能源）自主分析实际问题，建 立三角函数模型并解决实际问题，加深对三角函数与实际生活的关联体验，掌握数学建模完整的步骤与方 法，熟练运用信息技术辅助学习，体会数学思想，提高数学素养 教学中采用问题探究式教学模式：提出问题解决问题反思归纳运用检测学生通过独立 探究活动、小组讨论修正、全班展示交流，展示探究方法和思维活动；教师通过交流追问、课堂评价，达 成问题的解决：回顾旧知（三角函数模型的求解），启迪方法（数学建模的完整步骤和辅助工具），突破 难点（将实际问题抽象转化成三角函数模型），突出重点（建立、使用三角函数模型解决问题）然后全 班反思问题的解决过
12、程，归纳本节课的数学知识、数学方法和数学思想等最后进行运用反馈，检测学习 目标和进行点检测 学生通过自主探究，合作交流的方式掌握知识，体会思想在分析问题时注意针对全体学生的主体认 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 4 / 19 知水平，理清关键词、句子的数学关系，帮助学生顺利地建立问题特征与数学模型的关联；在学生活动阶 段针对学生具体的完成情况进行指导，点评通过课堂反馈及时进行纠正、鼓励、总结，并对学生运用检 测的完成情况进行收集，整理，分析，完成四川大学附属中学教学目标点检测表，在课后再进行指导 2 2. .媒体分析媒体分析 黑板：板书教学
13、流程及重要要点 多媒体投影：显示教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生 解题过程中的知识缺陷和思维漏洞 平板电脑、Geogebra 软件、Excel 软件：绘制散点图，拟合三角函数图象，拟合求解函数解析式，帮助 学生对比、验证自己所求函数的正确性；借助软件的计算功能，快速准确地解决问题，体会借助现代信息 技术解决问题的便利性 五、教学过程设计 教教 学学 环环 节节 教学过程教学过程 学生活动学生活动 教师活动与评价教师活动与评价 设计意图设计意图 一、 提 出 问 题 2018 年 1 月 28 日， 全球化与 世 界 级 城 市 研 究 小 组 与 网 络
14、 （GAWC）公布 2018 年世界城市 体系排名，全球共有 361 个城市 入选 其中成都以第 98 名的排名， 连续第三次成为继“北上广深” 之后的“中国大陆第五城” 恰逢在 2017 年 12 月通过的 成都市城市总体规划（2016 2035 年）（送审稿）中，成都 市也明确提出今后的城市定位： 四川省省会，国家中心城市，国 际门户枢纽城市，世界文化名城 下面让我们一起走进美丽的 成都 成都为什么能取得如此瞩目 的成就呢？ 其中有两个重要的 原因：一是宜人的气候环境；二 是充足清洁的水电能源 了解本节课的人文背景：成 都的发展现状； 观看图片演示，体会成都优 美的自然、人文环境，激发 学
15、生对家乡的自豪感和学习 兴趣 大致讲解成都现 阶 段 的 发 展 成 就，展示成都城 市成就图片创 设情境，引出本 节课核心问题 通过展示成都 的发展成就图 片， 激发学生的 学习兴趣和求 知欲 从学生的 经验和已有知 识出发， 通过密 切联系学生的 实际和生活环 境， 创设生动有 趣、 有助于学生 自主学习、 合作 交流的问题情 境， 让学生感受 到生活需要数 学 二、 解 决 问 题 一、宜人的气候环境一、宜人的气候环境 成都位于四川盆地的西部， 河川纵横，群山环绕属于亚热 带季风性湿润气候四季分明， 夏季高温多雨，冬季温和湿润 问题1 如图，据成都气象局 多年统计资料显示，成都市从1月
16、初到7月初的月平均气温近似满 问题 1（1）、（2） 学生独立思考，自主探究 巡视指导，对不 同的解决方法进 行观察、点评 以与学生生活 密切相关的气 候问题为引入， 让学生初步感 受实际生活中 的三角函数问 题， 让学生通过 观察曲线的几 何特征， 结合三 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 5 / 19 足函数：sin()yAxb 0,0, 0A （1）写出这段曲线的函数解 析式； （2）根据求解出的函数解析 式，预测成都全年月平均气温低 于10的是哪些月份？ 解： （1） 2 10sin() 15 63 yx ,1,7x ； （2）1、2
17、、12月 角函数的图象 与性质的知识、 方法， 独立解决 问题 借助函数图象 的形态变化分 析数学问题， 建 立数与形的联 系求解函数模 型 渗透数形结合 的数学思想， 培 养直观想象的 核心素养 问题 1（1） （预设一）（预设一）学生通过观察图 象特征，结合三角函数的图 形与性质，运用已经掌握的 方法，求解得出函数解析式： 2 10sin() 15 63 yx； （预设二）（预设二）学生通过仔细审 题，发现问题要求是“写出 这段曲线的函数解析式”， 所以需要对函数定义域加以 补充： 2 10sin() 15 63 yx ,1,7x . 追问追问 1：如何根 据函数 sin()yAxb 的部
18、分图象求解 特征量：A、b、 、？ 追问追问 2：同学们 所求解出来的函 数解析式是否完 整？ 复习回顾由图 象求解三角函 数解析式的基 本方法 发展学生思维 的严密性， 培养 学生良好规范 的解题习惯 问题 1（2） （预设一）（预设一）学生利用已经解 得的函数解析式，演算求解 出结果：1、2、12月 （预设二）（预设二）学生利用信息技 术 （Geogebra等软件） 快速求 解结果，验证演算结果的正 点评点评：利用已得 函数解析式，将 实际问题转化为 数 学 问 题 并 求 解，体现了很好 的函数与方程的 数学思想 点评点评：使用已经 学习过的信息技 术是解决问题的 通过解决一些 简单的实
19、际问 题， 引导学生认 识到： 建立三角 函数模型后， 可 以把握事物的 周期性发展规 律， 预测事件的 发生， 使我们能 够快速解决实 际问题 使用信息技术 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 6 / 19 确性 另一种手段并 且当实际问题的 数据更为复杂和 变化时，利用信 息技术能快速准 确的解决程序化 的计算问题 能快速准确的 的解决程序化 的计算问题 渗透转化与化 归、 函数与方程 的数学思想， 培 养数学运算的 核心素养 聆听、思考 总结问题 1 的问 题特征和解题步 骤 及时总结已知 模型的三角函 数应用问题的 解题步骤， 为反 思
20、归纳三角函 数模型的简单 应用的步骤做 好铺垫 二、充足清洁的水电能源二、充足清洁的水电能源 成都的城市发展需要充足的 能源支持，而能源的结构会对产 业的规划产生重大的影响 在 成 都市城市总体规划（20162035 年）（送审稿）中明确提出的 一个原则就是：以能定业：即以 能源资源的供给约束和节能减排 为前提，确定产业发展目录，拟 定产业负面清单.这也是成都大力 发展信息产业等高新产业的重要 原因而地处四川腹地的成都拥 有一个全国为之羡慕的巨大优 势：充足清洁的水电能源 问题 2 据国家统计局统计资 料显示，2016 年四川省每月水力 发电量如下表所示： 月 份 发 电 量 （ 亿 千 瓦时
21、） 月 份 发 电 量 （ 亿 千 瓦时） 1 104.737 7 297.263 2 90.003 8 310.011 3 106.569 9 295.262 4 144.779 10 254.883 5 199.992 11 200.009 6 254.857 12 144.688 （1）选用一个函数来近似描 聆听老师的讲解、了解成都 发展的有利条件、思考水电 能源可能蕴含的数学知识 仅有宜人的气候 环境还不足以让 家乡成为享誉华 夏 的 天 府 之 国充沛的水能 从古至今不仅灌 溉着千里沃土， 更在现代为城市 提供着强大的发 展动力：充足清 洁的水电能源 由于问题 1 不 足以让学生深
22、刻体验到从实 际问题中抽象 并建立数学模 型的方法， 更不 足以体验到利 用三角函数模 型解决实际问 题 的 完 整 步 骤 因此重新整 合教材内容， 设 置问题 2，让学 生再一次感受 到三角函数模 型与实际生活 的关联， 并在更 充分体验的基 础上， 掌握函数 模型应用的步 骤， 提升直观想 象、数学建模、 数学运算等核 心素养， 进一步 突出重点和突 破难点 回顾函数模型应用的解题步 骤和探究方法，回忆使用过 带领学生回忆在 高中必修 1 中学 回顾旧知， 为有 效地解决问题 2 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 7 / 19 述水力发
23、电量与时间的函数关 系； （2）2016 年 4-12 月四川省 全社会用电量 y（亿千瓦时）与月 份 x 近似满足函数： 15sin(1.170.78) 180yx 四川省在丰水期 （6-10 月） 共需要外输水电 1000 亿千瓦时， 则为了满足省内用电需求，共需 要补充其他类型的电力（如火电、 风电、光电）约多少亿千瓦时？ （精确到个位） 4-12 月期间，是否存在水 力发电量不能满足省内用电需求 的时候？若是，请求出相应月份； 否则，请说明理由 解： （1） 5 110sin()200 66 yx； （2）大于444亿千瓦时； 4、12月. 的信息技术工具将其迁移 到问题 2 的解答过
24、程中 习函数模型及其 应用时的解题步 骤和使用过的辅 助工具 作好知识、 方法 和工具上的铺 垫 问题 2 学生独立思考，自主探究 巡视指导，对不 同的解决方法进 行观察 让学生通过描 绘散点图， 观察 曲线几何特征， 结合三角函数 的相关知识、 方 法， 独立探究解 决问题 小组合作学习、交流讨论 指导点拨，收集 不 同 的 解 决 方 案 让学生在交流、 探讨中实现思 维火花的碰撞， 完善自我的解 决方案， 梳理解 题思路 问题2（1） （预设（预设一一）学生能通过问题1 的理解和对必修1.3.2函数模 型的应用解题步骤的回忆， 较为完整地按照：收集数据、 画散点图、选择函数模型、 求函数
25、模型、检验、解决实 际问题的步骤解决问题2 （1），但是解题步骤可能不 完整，需要教师引导、点评、 总结 追问追问 3：根据数 据做出散点图， 观察图形，你们 认为可以用怎样 的函数模型来刻 画其中的规律？ 追问追问 4：你能否 求出这个函数模 型？ 评价：评价：学生类比 问题 1 ，结合以 往所学的函数模 型知识，抓住散 点图明显的几何 特征，构造三角 函数模型解决问 题 2（1）很好 帮助学生认真 阅读题意， 抓住 关键的词句， 弄 清题意， 建立数 量关系 引导学生根据 散点图的特点 选择函数模型 再次强化数形 结合的数学思 想， 提升直观想 象的数学素养 引导学生根据 散点图及有关 数
26、据求函数解 析式 尽管问题 2（1） 是三角函数模 型的实际应用， 但方法与步骤 与此前学习的 函数模型的应 用是完全一致 的 即便学生有 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 8 / 19 （预设（预设二二）部分学生通过 Excel 软件描绘散点图，选择 多项式函数进行拟合；部分 学 生 采 用 平 板 电 脑 和 Geogebra 软件绘制散点图， 选择三角函数进行拟合并 对两类函数都能较好的拟合 函数产生困惑 地体现了知识方 法的迁移与应用 以及良好的数学 建模素养 追问追问 5：为什么 使用同样的数据 会求得不同的结 果？我们应该如 何认
27、识这种差异 和 选 择 函 数 模 型？ 两类方法所得的 函数解析式虽然 从 类 型 上 不 一 样，而且同一类 函数模型可能有 不同的函数解析 式，但是它们在 本质是一样的： 因为多项式函数 本质上就是三角 函数的泰勒展开 式在检查计算 后发现与实际数 据可能不一致， 但是并不影响解 决实际问题 评价：评价：同学们采 用不同的方法求 解 出 函 数 解 析 式，既体现了扎 实的数学功底， 也体现了应用现 代信息技术解决 一定的知识储 备， 但是依旧要 加强对问题情 境和解题思路 的分析， 进一步 突出教学重点 并突破难点 强化转化与化 归的数学思想， 提升数学建模 的核心素养 建立数学模型
28、解决实际问题， 所得的模型往 往是近似的， 并 且得到的解也 是近似的 所以 应该把握模型 的核心特征， 简 化模型， 优化方 法 解题后的反思 开拓了学生的 视野， 再次激发 学习兴趣 既体 现了数学应用 过程的完整性， 还可以保持数 学应用中的数 学思维水平， 提 高学生对相应 的数学方法、 数 学素养的认知 层次， 培养学生 良好的解题习 惯 由于实际问题 常常涉及一些 复杂的数据， 因 此要鼓励学生 利用计算机或 平板电脑处理 数据， 包括建立 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 9 / 19 问题的意识两 种方法都体现了 很高的数学建
29、模 素养使用现代 信息技术会使得 计算更便捷、准 确 有关数据的散 点图， 根据散点 图进行函数拟 合等 问题2（2） （预设（预设一一）首先通过题干数 据计算出6-10四川水力发电 总量， 再计算出6-10月四川全 社会用电总量，进而得出答 案 （预设（预设二二）个别学生认为补 充的电量应该超过数值结 果，因为要考虑到电力传输 过程中的损耗和计算误差 评价：评价：同学们的 回答准确把握住 了问题本质，条 理清晰，计算准 确借助现代信 息技术解决程序 化的计算问题， 大大缩短了计算 时间，提高了计 算的准确性 教师引导学生根 据问题的实际意 义，对答案的合 理性做出解释 分析复杂条件， 抽象数
30、学关系， 培养学生阅读 抽象的能力， 通 过三角函数模 型的实际应用， 再次使学生体 会到数学建模 的现实指导意 义 利用平板电脑 和软件快速求 解复杂函数的 函数值， 引导学 生更多的使用 现代信息技术 使学生懂得从 函数模型中得 到的答案， 还需 要检验它是否 与实际意义相 符 问题 2（2） （预设（预设一一）学生通过平板电 脑和Geogebra软件绘制出水 力发电量和全社会用电量的 函数图象通过观察图象， 借助软件求解交点坐标，得 出答案 （预设（预设二二）学生通过平板电 脑和Geogebra软件绘制出水 力发电量和全社会用电量的 函数图象通过观察图象， 借助软件的计算功能，用二 分法
31、求出交点坐标的近似 评价：评价：同学们越 发熟练、灵活地 使用现代信息技 术 绘 制 函 数 图 象，求解交点坐 标， 得出结论 更 值得高兴的是有 的同学用二分法 求 方 程 的 近 似 解，旧知新用， 展现了同学们扎 实的功底和灵活 的思维，学以致 用 强化 Geogebra 软件的应用意 识 通过一题多 解， 将新知与旧 知关联起来， 融 会贯通 再次强化转化 与化归、 函数与 方程的数学思 想， 提升数学运 算的核心素养 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 10 / 19 值 三、 反 思 归 纳 1.归纳步骤： 2.思想与方法： 方法
32、：数学建模 思想：数形结合的思想、 转化与化归的思想、 函数与方程的思想 基于对问题的探究和理解， 对照必修1.3.2函数模型的应 用解题过程的步骤，总结归 纳三角函数模型的简单应用 的步骤，理解由于实际问题 的周期变化规律对函数模型 选择的影响；强化对求解函 数模型的一般步骤的理解 揭示探究过程中的数学思 想 引导学生回顾解 决问题的过程， 提出该环节学习 任务，师生共同 反思总结、修正 完善所涉及的知 识、 方法、 思想 在充分体验的 基础上， 生成逻 辑连贯、 前后一 致的知识体系， 使得研究过程 中的知识、方 法、思想显性 化，具体化，规 范化 （预设）（预设）学生能用较为规范 的语言
33、总结三角函数模型的 简单应用的步骤在表述时 可能不够完整与规范，尤其 容易忽略检验数学结果的实 际意义这一环节 指出学生步骤中 的不足，引导学 生一起完善 评评价：价：虽然本节 课的实际问题因 为具有周期变化 规律从而选择了 特殊的三角函数 模型解决问题， 但是从本质上与 必修 1.3.2 函数 模型的应用中总 结的解题过程的 步骤是一致的 （预设）（预设）学生在解决问题的 过程中感受到数与形的关 联，在求解过程中借助已掌 握的方法和工具，使用函数 模型建立方程或不等式解决 实际问题，自然生成数形结 合、转化与化归、函数与方 程的思想 评价：评价：解决问题 的过程中，我们 抓住图象周期性 的几
34、何特征，寻 找到图象与三角 函数的关系，得 到 了 函 数 解 析 式，从数的角度 描 述 了 几 何 图 象，这是典型的 数形结合思想； 将求解方法、工 具转化为已有的 知识，这体现了 转 化 与 化 归 思 想；同时运用函 数解析式建立方 程或不等式解决 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 11 / 19 实际问题，这又 是典型的函数与 方程思想 四、四、 运运 用用 检检 测测 （人教社 A 版 必修 4 P66 B 组 1 题） 北京天安门广场的国旗每天 是在日出时随太阳升起，在日落 时降旗请根据年鉴或其他的参 考资料，统计过去一年中不
35、同时 期的日出和日落时间 （1）在同一坐标系中，以日 期为横轴，画出散点图，并用曲 线去拟合这些数据，同时找到函 数模型； （2）某同学准备在五一长假 时去看升旗，他应当几点到达广 场？ 课后收集整理数据，运用本 节课所学的方法与步骤，借 助信息技术解决问题 展示求解过程学生结合自 身的答案，更正错误、完善 解答过程 （预设（预设 1） 学生能够运用本节 课所学的方法，收集数据， 描绘散点图，根据图形特征 选择三角函数拟合函数但 是在拟合过程中没有注意到 时间为 60 进制，需要先将时 间换算为 10 进制时刻后作为 纵坐标，再描绘散点图进行 拟合 （预设（预设 2） 学生拟合函数的解 析式时
36、，选择不同的数据或 使用不同的拟合函数的方 法，得到的结果可能不一样， 但是不影响函数模型的应 用 展示交流时进行 引导、评价、总 结 评价：评价：通过同学 们的展示，我们 可以感受到在三 角函数模型的应 用问题上，选择 不同的数据或使 用不同的拟合函 数的方法，得到 的结果可能不一 样 ， 但 本 质 一 样在求解出方 程时，一定要注 意检验. 让学生完整地 体会数学建模 的过程 检验学 生能否熟练灵 活地运用所学 知识求解问题 理清解答过程， 学会规范书写， 强化方法的运 用， 训练步骤的 完整性和规范 性 进一步强化数 形结合、 转化与 化归、 函数与方 程的数学思想 和提升直观想 象、
37、数学建模、 数学运算的数 学素养. 课后作业 必做作业：必做作业： 海水受日月的引力，在一定 的时候发生涨落的现象叫潮一 般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在 通常情况下，船在涨潮时驶进航 道，靠近码头；卸货后，在落潮 时返回海洋下面是某港口在某 季节每天的时间与水深关系表： 时 刻 水 深/ 米 时 刻 水 深/ 米 时 刻 水 深/ 米 0 5.0 9 2.5 18 5.0 3 7.5 12 5.0 21 2.5 6 5.0 15 7.5 24 5.0 （1）选用一个函数来近似描 述这个港口的水深与时间的函数 关系，给出整点时的水深的近似 学生课后完成 简单说明 必做作业用于 检测本节课学 习内容的
38、掌握 程度； 拓展作业 用于拓宽数学 视野、 增加数学 学习兴趣 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 12 / 19 数值（精确到 0.001）； （2）一条货船的吃水深度 （船底与水面的距离）为 4 米， 安全条例规定至少要有 1.5 米的 安全间隙（船底与洋底的距离）， 该船何时能进入港口?在港口能呆 多久？ （3）若某船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1.5 米，该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小 时 0.3 米的速度减少， 那么该船在 什么时间必须停止卸货，将船驶 向较深的水域？ 拓展作业：拓展作业： 自出生之日起，人的情绪、
39、 体力、智力等心理、生理状况就 呈周期变化.根据心理学家的统 计，人体节律分为体力节律、情 绪节律和智力节律三种这些节 律的时间周期分别为23天、 28天、 33 天每个节律周期又分为高潮 期、 临界日和低潮期三个阶段 以 上三个节律周期的半数为临界 日， 这就是说 11.5 天、 14 天、 16.5 天分别为体力节律、情绪节律和 智力节律的临界日临界日的前 半期为高潮期，后半期为低潮 期生日前一天是起始位置（平 衡位置），请根据自己的出生日 期，绘制自己的体力、情绪和智 力曲线，并总结自己在什么时候 应当控制情绪，在什么时候应当 鼓励自己；在什么时候应当加强 锻炼，在什么时候应当保持体 力
40、？ 六、目标检测设计 运用检测：（人教社 A 版 必修 4 P66 B 组 1 题） 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗请根据年鉴或其他的参考资料， 统计过去一年中不同时期的日出和日落时间 （1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； （2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达广场？ 设计目的：设计目的：让学生完整地体会数学建模的过程检验学生能否熟练灵活地运用所学知识求解问题理清解 答过程，学会规范书写，强化方法的运用，训练步骤的完整性和规范性进一步强化数形结合、转化与化 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示
41、青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 13 / 19 归、函数与方程的数学思想和提升直观想象、数学建模、数学运算的数学素养. 课后作业： 必做作业：必做作业： 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况 下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与 水深关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0 5.0 9 2.5 18 5.0 3 7.5 12 5.0 21 2.5 6 5.0 15 7.5 24 5.0 （1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深
42、的近似数值（精 确到 0.001）； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船 底与洋底的距离），该船何时能进入港口?在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1.5 米，该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 设计目的：设计目的：巩固本节课所学知识和方法 拓展作业：拓展作业： 自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化根据心理学家的统计，人体 节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种这些节律的时间周期分别为
43、 23 天、28 天、33 天每个节 律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说 11.5 天、 14 天、16.5 天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮 期生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线， 并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候 应当保持体力? 设计目的：设计目的：拓展学生视野，增加学生学习数学的兴趣 板书设计 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 一、一、提出问题提出问题 二、二、解决问题解
44、决问题 问题1 （1） 2 10sin() 15 63 yx,1,7x； （2）1、2、12 月 问题2（1） 5 110sin()200 66 yx； （2）444 亿千瓦时； 4、12 月 三、三、反思归纳反思归纳 1.三角函数模型的简单应用的步骤与方法： 数学建模 2.数学思想：数形结合思想、转化与化归的思想、函 数与方程思想 四、四、运用检测运用检测 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 14 / 19 教学流程设计 开始 提出问题 明确核心任务 结束 总结归纳三角函数模型的简单应用的步 骤，揭示探究过程中的思想和方法 提升讲解 介绍成都
45、发展成就；营造情 境，引出问题 语言引导 自主探究，小组合作解决问题 2 引导、点拨、评价 运用检测 出示练习、评价练习 提出问题提出问题 解决问题解决问题 反思归纳反思归纳 运用检测运用检测 对问题 1 进行总结 引导、点拨 自主探究解决问题 1 引导、点拨、 评价 PPT PPT PPT 展示 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 15 / 19 四川大学附属中学教学四川大学附属中学教学目标点检测表目标点检测表 教学 目标 结果性 目标 能够运用已知三角函数函数模型解决实际问题， 能够将具有周期变化规律的实 际问题抽象为三角函数模型，并会用三
46、角函数模型解决一些实际问题； 体验性 目标 经历由实际问题选择、建立、研究数学模型、解决实际问题的建模过程，体验 三角函数与日常生活的联系，体验实际问题的特征与函数模型的关联，体验三 角函数模型的功能与价值，提升数学知识的应用意识 检测点 问题特征与数学建模的关联 检测 题目 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的 参考资料，统计过去一年中不同时期的日出和日落时间. （1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找 到函数模型； （2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达广场？ 分类 标准 A、正确收集、处理数据
47、，发现问题具有周期性变化的规律，能用工具画出散点图，运用函数 拟合建立三角函数模型，运用三角函数模型有效解决实际问题 B、正确收集、处理数据，发现问题具有周期性变化的规律，能用工具画出散点图，运用函数 拟合建立三角函数模型，不能运用三角函数模型有效解决实际问题 C、正确收集、处理数据，发现问题具有周期性变化的规律，能用工具画出散点图，不能运用 函数拟合建立三角函数模型，不能运用三角函数模型有效解决实际问题 D、不能正确收集、处理数据，不能发现问题具有周期性变化的规律，不能用工具画出散点图， 不能运用函数拟合建立三角函数模型，不能运用三角函数模型有效解决实际问题 检测 统计 分类等级 学生人数（
48、总人数 43 人） 百分比 A 33 77% B 6 14% C 2 4.5% D 2 4.5% 检测 分析 从体验性目标的达成程度看，全班有 39 名学生（91%）能正确收集、处理数据，发现问题 具有周期变化规律，达成问题特征与建立三角函数模型的关联；2 名学生（4.5%）能正确发现 问题具有周期变化规律， 但不能达成问题特征与建立三角函数模型的关联； 仅有2名学生 （4.5%） 不能正确发现问题具有周期变化规律，不能达成问题特征与建立三角函数模型的关联，整体而 言体验性目标达成较好 第第九届高中九届高中青年数学教师优秀课展示青年数学教师优秀课展示与培训与培训活动活动 16 / 19 从结果性目标的达成程度看，全班有 33 名学生（77%）能完全正确收集、处理数据，正确 运用函数拟合建立三角函数模型，运用三角函数模型有效解决实际问题；6 名学生（14%）能 完全正确收集、处理数据，正确运用函数拟合建立三
