1、 1 等比数列的前等比数列的前 n 项和教学设计项和教学设计 福建省福州第一中学福建省福州第一中学 林林 XX 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 （一）教材的地位和作用 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列” 第五节的内容，一方面它是“等 差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一 方面它又是进一步研究较为复杂的数列问题的基础内容. 就知识的应用价值上来看， 它是从大量现实问题和数学问题抽象出来的一个模型， 其来源于生活， 服务于生活，是解决诸如“分期付款”等实际问题的重要模型；此外，在公式推导中所蕴涵的数学思 想方法，如分
2、类讨论、特殊到一般等也是数学研究的主要方法. 就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、 猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学素养的良好载体 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第一课时， 重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公 式的结构特征和内在联系. （二）教学重点 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用 突出重点方法： “抓三线、 突重点”， 即(一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用； （二） 过程与方法线:特殊到
3、一般、猜想归纳 错位相减法等转化、方程思想；（三）素养线：数学抽象 素养运算能力逻辑推理素养. 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，并 在“教”与“学”的过程中，培养学生良好的数学素养.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已 有的认知结构心理特征，制定的教学目标如下： 1.能从具体的数列中，通过计算，观察、梳理式子的共同特征，归纳猜想出等比数列前n项和的 表达式，并利用分析法加以证明； 2.引导学生亲历公式的探索发现过程，理解等比数列的前n项和公式的推导方法，体验探索的成 功与快乐，渗透特殊到一般、函数与方
4、程、分类讨论及转化思想； 3.通过从猜想到证明的过程以及分类讨论的教学，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解 决一些简单问题，培养学生思维的严谨性，提高学生数学抽象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养. 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前n项和的公 式等数列相关知识，具备一定的观察、归纳、猜想能力，了解了一些研究数列的基本策略和方法，能 够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求. 2 但从知识本身特点来看， 等比数列前n项和公式的推导方法错位相减法， 是学生第一次碰到. 它和等差数列的的前
5、n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的 定义和性质能充分理解并融会贯通， 而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的.这就需要学生具备较 强的探究能力、计算能力、对数列通项的归纳能力和思维的严谨性. 基于以上分析， 等比数列前n项和公式的推导是本节课的教学难点.为了突破这一难点， 考虑通过 计算具体的等比数列前n项和，利用归纳猜想的方法，以问题为阶梯，一步步引导学生猜想出公式， 并根据公式的特征给出证明思路. 四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然” ，还要“知其 所以然” ，为了体现以学生
6、发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，本节课 将借助计算机多媒体辅助教学，采用“启发和探究-建构教学相结合”的教学模式，把整个课堂分为呈 现问题探索规律验证规律应用规律四个阶段， 层层递进， 阶梯式上升.教师给学生较充分 的思考时间，从传授变为引导，让学生经历对问题的思考、变通、迁移过程，体会数学概念形成过程 以及其中蕴涵的数学思想方法，积累基本数学活动经验，培养学生的数学探究能力、知识应用能力、 交流与合作能力、反思能力，提高学生的数学核心素养. 五、教学过程设计五、教学过程设计 （一）复习巩固，情境引入（一）复习巩固，情境引入 1.引导学生回顾：引导学生回顾：（1）等
7、比数列的概念；（2）等比数列通项公式. 2.利用典故引入：利用典故引入：国际象棋起源于代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他想要什 么？西萨说：“请在第一个格子里放上 1 颗麦粒，第二个格子里放上 2 颗麦粒，第三个格子里放上 4 颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子.请给 我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.大家算一算国王到底要给西 萨多少颗麦粒呢？ 引导学生将实际问题抽象概括为：求首项为 1，公比为 2 的等比数列前 64 项的和： 63210 64 2222 S. 如何能简便、快速地计算出这
8、 64 个数组成的等比数列的和，是今天要研究的主要内容. 板书课题：等比数列的前n项和. 【设计意图】【设计意图】 通过引导学生回顾上节课的知识，为后续新旧知识的联系打下伏笔.再利用一个悬念式的故事引 入，以趣引思，激发学生学习热情.根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生会自觉地参 与情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来；学生用数学语言将实际问 题转化为等比数列前n项和这一数学问题，培养了学生数学抽象素养. （二）启发引导（二）启发引导, ,探索发现探索发现 3 1.1.展示公式的发现过程展示公式的发现过程 问题问题 1 1：教师引导：这个式子看起来很复杂，
9、但是著名数学家华罗庚先生告诉过我们，解题时先教师引导：这个式子看起来很复杂，但是著名数学家华罗庚先生告诉过我们，解题时先 足够地退，退到我们最易看清楚问题的地方，认透了，钻研了，然后再上去足够地退，退到我们最易看清楚问题的地方，认透了，钻研了，然后再上去. .在有关数列的研究中，在有关数列的研究中， 归纳猜想恰恰是退的一种有效途径归纳猜想恰恰是退的一种有效途径. .比如我们在研究等比数列通项公式时，就是先通过观察比如我们在研究等比数列通项公式时，就是先通过观察 , 321 aaa的特点，归纳出的特点，归纳出 n a 的一般形式的一般形式. .那对于那对于 64 S，你有什么想法呢？可否类比刚才
10、的归纳方，你有什么想法呢？可否类比刚才的归纳方 法呢？法呢？ 学生 4 人一组，互相交流、探索：求出 ， 321 ,SSS，然后去发现一般的规律. 学生通过简单的计算，会很快发现：121 1 S, 123 2 2 S127 3 3 S,从而得到 64 64 21S，并且容易可以把这个结论推广到数列 n a的前n项和，可猜想12 n n S. 【设计意图】【设计意图】等比数列前n项和公式的推导方法之前学生都没有接触过，如果直接给出，过于突 兀， 无法展现出思维的发生发展过程.因此考虑通过计算 123 ,S S S ， 利用不完全归纳法猜想出结果， 符合学生的认知规律. 问题问题 2 2：观察归纳
11、结果，与和式有什么联系？：观察归纳结果，与和式有什么联系？ n S会不会与会不会与q有关？有关？ 教师建议学生采用固定变量的研究方法，保持首项不变，改变公比，多举几个例子，先研究 n S与 q的关系. 学生分为两组，进行小组讨论，分别猜想首项为 1，公比为 3、4 的等比数列前n项和公式. 通过运算和教师的适时引导，学生可以得出： 13 13 3333 1210 n n n S, 14 14 4444 1210 n n n S， 并将结论推广到公比为q的情况： 1 1 1210 q q qqqqS n n n ， 教师引导学生举例验证推出的表达式是否对任意首项为 1 的等比数列成立，向学生强调
12、举例的全 面性，公比可以为正数、负数或有理数、无理数等. 学生通过举例验证，发现1q 时，公式不成立，其余情况成立. 再将首项改为 1 a，公比为q(1)q ,结合以上的猜想，得出1q 时，等比数列的前n项和公式： 123 0121 1111 1 (1) (1) 1 nn n n Saaaa a qa qa qa q a q q q 教师评价该归纳猜想的过程：体现了从特殊到一般的数学思想方法，也是我们研究问题的常见思教师评价该归纳猜想的过程：体现了从特殊到一般的数学思想方法，也是我们研究问题的常见思 路路. . 【设计意图】【设计意图】由教师引导学生通过具体的等比数列，从特殊到一般，分析、比较
13、、归纳，反复验 证， 从而猜想出一般的等比数列前n项和表达式.通过这一教学过程， 让学生感受到研究问题的一般思 路：探索归纳猜想证明，培养了他们的合作交流意识以及运算能力、合情推理能力. 4 2.2.完善公式的证明过程完善公式的证明过程 问题问题 3 3：数学讲究严谨，大胆猜想得出的结论还需细致地证明，刚才我们的猜想正确么？又该如：数学讲究严谨，大胆猜想得出的结论还需细致地证明，刚才我们的猜想正确么？又该如 何证明？何证明？ 教师引导：要证 1 1( 1 q qa S n n ） ，考虑先去分母，即证)1 ( 1 n nn qaqSS. 由学生通过讨论、演算，给出证明： 1 1 2 1 1 1
14、 0 1 n n qaqaqaqaS n n qaqaqaqaqS 1 3 1 2 1 1 1 -得 qaaSq n11 00)1 ( 构造各项为 0 的常数列 )1 ()1 ( 111 nn n qaqaaSq 因此， 1(1 ) (1) 1 n n aq Sq q . 教师小结：这个方法很有特点，是将 n S乘以公比q，然后错开一位相减，从而消去相同项.因此 我们给他取一个名字叫“错位相减法”.这种方法主要抓住了等比数列中后项和前项的比是一个常数， 因此在和式的两边同时乘以q，达到消元求解的目的. 【设计意图】【设计意图】教师要求学生自主活动，独立思考，鼓励学生用分析法贯通思路，给出公式的
15、证明 方法.通过介绍该证明方法的特点， 为该方法的推广埋下伏笔， 同时揭示了该方法的根源所在等比 数列的定义，让学生认识到定义的重要性，这是一切数学推理的源泉，同时也培养了学生演绎推理能 力. 3.3.反思公式的表达形式反思公式的表达形式 问题问题 4 4：若：若1q, ,该如何求该如何求 n a前前n项和？项和？ 通过前面数列相关知识的学习，学生已经认识到，当1q时， n a为常数列， 1 naSn. 因此,等比数列的前n项和应写成分段函数的形式： 1 1 1 . (1) 1 1 n n naq S aq q q 当公比含参的时候，一定要注意分类讨论当公比含参的时候，一定要注意分类讨论. .
16、 【设计意图】【设计意图】完善等比数列前n项和公式的表达形式，加深学生对公式的认识：这个公式和等差 数列前n项和公式的不同，需要确认公比是否为 1，从而代入不同的公式，让学生感受到数学思维的 严谨性，渗透分类讨论思想. 问题问题 5 5：结合等比数列：结合等比数列的通项公式的通项公式 1 1 n n aa q ，你否得到，你否得到 n S的另一种表达形式呢？的另一种表达形式呢？ 1 11 1 . (1) 1 11 n n n naq S aa qaq q qq 引导学生观察公式中变量的不同，感受这两种表达形式适用范围的不同：第一个公式描述的是首 5 项、项数和公比间的关系；第二个公式描述的是首
17、项、末项和公比的关系. 【设计意图】【设计意图】结合等比数列的通项公式，得出等比数列求和公式的另一种表达形式，对比两个公 式的异同，让学生知道如何选择合适的公式，同时加强了新旧知识之间的联系，完善学生的认知结构， 培养了学生逻辑推理素养. 4.4.欣赏公式的别样证法欣赏公式的别样证法 教师结合学生的猜想过程，介绍古人对等比数列前n项和公式的两种推导方法： 方法一： 公元前 1650 年的古埃及的阿莫斯纸草书中就总结了首项和公比均为 7 的等比数列前n项 和的递推关系: 1 (1) 7. nn SS 后人根据这一思路，再结合秦九韶算法的思路，构造出 n S与 1n S 的关系： 22 11111
18、11 () n nn Saq aa qa qa qaqS 再将 1nnn SSa 代入， 则有： 1 () nnn Saq Sa， 当1q 时， 化简得 1 (2) 1 n n aa q Sn q ， 当1n 时，也适用. 方法二：古希腊数学家欧几里得在他的著作几何原本第 9 卷命题 35 记载了等比数列求和公式 的推导方法： 先由等比数列定义得： 112 121 nnn nnn aaaa aaaa 再由分比定理，得： 1121 11 nnnn nn aaaaaa aaa 最后结合合比定理，得 111121 111 1 nn nnn aaaaaa q aaaSa 该方法可以简化，留给学生课后研
19、究. 教师向学生介绍古人对数列的研究的历史： 公元前 1700 多年的古巴比伦人就在泥版上就记载了一 个有关等比数列的借贷问题，之后的几千年里，这一本本的著作，一位位的数学家都为数列的研究作 出了贡献，成就了数学史上不朽的丰碑. 【设计意图】【设计意图】结合学生猜想的思路，将数学史融入教学，激发学生学习的兴趣，既拓展了学生的 思维，又让学生感受了灿烂的古代数学文化，培养了学生逻辑推理素养和运算能力. 本环节从归纳猜想，到操作确认，再到推理论证，克服了知识的技巧性强，学生被动接受的困难，本环节从归纳猜想，到操作确认，再到推理论证，克服了知识的技巧性强，学生被动接受的困难， 符合学生的认知规律符合
20、学生的认知规律. . 5.5.练习巩固，形成技能练习巩固，形成技能 例 已知 n a是等比数列，请完成下表： 题号 1 a q n n a n S (1) 2 1 2 1 8 (2) 2 96 63 6 (3) 3 2 6 解析：知三求二 题号 1 a q n n a n S (1) 2 1 2 1 8 256 1 256 255 (3) 3 2 6 96 63 (4) 1 8() 2 q 或2( 1)q 1 2 或 1 3 2 6 教师结合本题，进行总结：等比数列的通项公式和求和公式中一共包含五个基本量： 1, , , , nn a q n a S，这五个基本量知三求二知三求二，在求解的过程
21、中，要重视方程思想方程思想的应用. 【设计意图】【设计意图】采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用， 着重强调公式的选择，渗透方程思想.进一步提高学生的运算能力和逻辑推理素养. 6.6.小结归纳，加深理解小结归纳，加深理解 基本知识：等比数列前n项和公式 基本技能：错位相减法，知三求二 基本数学思想：特殊到一般，分类讨论，方程思想 基本活动经验：探索归纳猜想证明 【设计意图】【设计意图】通过师生的共同小结，从而进一步完善本节课的知识脉络，发挥学生的主体作用， 有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力，将学生的思维层次提升到一个新高度. 六、目标检测
22、设计六、目标检测设计 课后作业，分层练习课后作业，分层练习 1.必做： P61 练习 A 1、2 2.选做： （1）明代珠算发明家程大位在他的著作算法统宗中记载了一首古诗： “远望巍巍塔七层，红光点 点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”国内外古代数学文献中有许多涉及等比数列的记载， 借助互联网查找相关的记载. （2）阅读课本相关内容，查阅资料，思考等比数列求和公式还有其它的推导方法吗？ 【设计意图】【设计意图】必做题是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的 训练，培养学生良好的学习习惯和品质；选做题是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，符合 因材施教的新课
23、标的思想；在选做题中选择了中国数学史中有关等比数列的研究，并让学生查询国内 外古代文献中的相关研究内容，加深学生对数学文化的感知.培养了学生数学抽象、逻辑推理、运算能 力等数学素养. 7 等比数列的前等比数列的前 n 项和 （第一课时）项和 （第一课时）教学设计点评教学设计点评 福建省福州第一中学 丘远青 本节课教学设计新颖、合理，突出体现了教师为主导、学生为主体的教学理念，主要 有以下特点： （一）创设合适的教学情境，激发学生主动思考 从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境 的创设突出了以下两点： 1从有利于学生主动探索设计数学情境。本节课紧紧地抓住学生的
24、最近发展区，利 用 “棋盘上的奖赏” 这一典故， 激发了学生学习的兴趣， 引发了学生继续往下探索的热情。 2. 以问题为导向设计教学情境。 “问题是数学的心脏” ，本节课教学情境的设计处处 以问题为导向，引导学生用数学的眼光观察问题、发现问题、分析问题。 （二）培养学生的理性思维，发展学生的数学学科核心素养 理性思维是数学素养的灵魂，发展学生的理性思维尤其是逻辑思维，使学生学会有逻 辑地、创造性的思考，学会用数学的语言表达与交流，成为善于认识和解决问题的人才， 是数学课程的主要任务。 1. 在公式的推导过程中，引导学生有逻辑地、创造性的思考，有效地培养了学生思 维的敏锐性、深刻性，培养了学生解决问题的能力。 2.从问题情境的创造到数学特例的操作，再到一般方法的发现，都对教材作了一定的 调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平。 本节课稍显不足的是，部分学生课堂参与度不够，教师应该思考如何更好地激发更多 学生的主动探究意识和能力。
