1、 1 辽源田家炳高中辽源田家炳高中 2020-2021 学年度上学期期中考试试卷学年度上学期期中考试试卷 高二数学（理）高二数学（理） 一、一、 选择题选择题 （本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1p：点：点 P 在直线在直线 y2x3 上，上，q：点：点 P 在抛物线在抛物线 yx2上，下面使上，下面使“pq”为真命题的一为真命题的一 个点个点 P(x，y)是是( ) A(0，3) B(1,2) C(1，1) D(1,1) 2已知已知 F1(8,3)，F2(2,3)，动点，动点 P 满足满足|PF1|PF2|10，则，则 P 点的轨迹是点的
2、轨迹是( ) A双曲线双曲线 B双曲线的一支双曲线的一支 C直线直线 D一条射线一条射线 3.命题命题“xR，nN*，使得，使得 nx2”的否定形式是的否定形式是( ) AxR，nN*，使得，使得 nx2 BxR，nN*，使得，使得 nx2 CxR，nN*，使得，使得 nx2 DxR，nN*，使得，使得 nx2 4若点若点 P 到直线到直线 x1 的距离比它到点的距离比它到点(2,0)的距离小的距离小 1，则点，则点 P 的轨迹为的轨迹为( ) A圆圆 B椭圆椭圆 C双曲线双曲线 D抛物线抛物线 5已知已知 m，nR，则，则“m n0”是是“方程方程x 2 m y 2 n 1 表示双曲表示双曲
3、线线”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 6已知椭圆已知椭圆x 2 a2 y 2 2 1 的一个焦点为的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是，则椭圆的方程是( ) A.x 2 4 y 2 2 1 B.x 2 3 y 2 2 1 Cx2y 2 2 1 D.x 2 6 y 2 2 1 7与椭圆与椭圆x 2 4 y21 共焦点且过点共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是的双曲线方程是( ) A.x 2 4 y21 B.x 2 2 y21 C.x 2 3 y 2 3 1 Dx2y 2 2 1 8已
4、知已知ABC 的顶点的顶点 B，C 在椭圆在椭圆x 2 3 y21 上，顶点上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一 个焦点在个焦点在 BC 边上，则边上，则ABC 的周长是的周长是( ) A2 3 B6 C4 3 D12 9.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 10 已知点 已知点 P(8， a)在抛物线在抛物线 y24px上， 且点上， 且点 P到焦点的距离为到焦点的距离为 10， 则焦点到准
5、线的距离为， 则焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C8 D16 11已知双曲线已知双曲线x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的焦距为的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为垂直，则双曲线的方程为( ) 2 A.x 2 4 y21 Bx2y 2 4 1 C.3x 2 20 3y 2 5 1 D.3x 2 5 3y 2 20 1 12已知过抛物线已知过抛物线 y26x 焦点的弦长为焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜角是，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A. 6或 或5 6 B. 4或 或3 4 C. 3或 或2 3
6、 D. 2 二、二、 填空题（填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 ，共，共 20 分）分） 13 已知椭圆已知椭圆 x2 10m y2 m2 1 的焦点在的焦点在 y 轴上，若焦距为轴上，若焦距为 4，则，则 m 等于等于_ 14若双曲线若双曲线x 2 m y 2 3 1 的右的右焦点与抛物线焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则的焦点重合，则 m_. 15 已知动圆已知动圆 M 过定点过定点 A(3,0)，并且内切于定圆，并且内切于定圆 B：(x3)2y264，则则动圆圆心动圆圆心 M 的轨迹的轨迹 方程方程 16. 已知抛物线已知抛物线 y22x 的焦点是的
7、焦点是 F， 点， 点 P 是抛物线上的动点， 又有点是抛物线上的动点， 又有点 A(3,2)， 则则|PA| |PF|的最小值的最小值为为 三、三、 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 17. (本小题满分本小题满分 12 分分)求椭圆求椭圆 4x29y236 的长轴长、的长轴长、短轴长短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和、焦距、焦点坐标、顶点坐标和 离心率离心率 18.(本小题满分本小题满分 12 分分)求双曲求双曲线线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
8、虚轴长、离心的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程率和渐近线方程 19.(本小题满分本小题满分 12 分分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点过点 M(6,6)； (2)焦点焦点 F 在直线在直线 l：3x2y60 上上 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知双曲线已知双曲线 C：x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的离心率为的离心率为 3，且，且a 2 c 3 3 . (1)求双曲线求双曲线 C 的方程；的方程； (2)已知直线已知直线 xym0 与双曲与双曲线线 C 交于不同的两点交于不同的两点 A，B，且线段
9、，且线段 AB 的中点在圆的中点在圆 x2y25 上，求上，求 m 的值的值 21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知椭圆已知椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率的离心率 e 6 3 ，过点，过点 A(0，b)和和 B(a,0) 的直线与原点的距离为的直线与原点的距离为 3 2 . (1)求椭圆的方程求椭圆的方程 (2)已知定点已知定点 E(1,0)，若直线，若直线 ykx2(k0)与椭圆交于与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在两点，问：是否存在 k 的值，的值， 使以使以 CD 为直径的圆过为直径的圆过 E 点，请说明理由点，请说明理由 3 22.(本小题满分本小题满分
10、 10 分分)已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的一个顶点为的一个顶点为 A(2,0)，离心率为，离心率为 2 2 .直线直线 yk(x1)与椭圆与椭圆 C 交于不同的两点交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)当当AMN 的面积为的面积为 10 3 时，求时，求 k 的值的值 4 1p：点：点 P 在直线在直线 y2x3 上，上，q：点：点 P 在抛物线在抛物线 yx2上，下面使上，下面使“pq”为真命题的一为真命题的一 个点个点 P(x，y)是是( ) A(0，3) B(1,2) C(1，1) D(1,1) 解析：解析：选选 C
11、 使使“pq”为真命题的点即为直线为真命题的点即为直线 y2x3 与抛物线与抛物线 yx2的交点的交点 2已知已知 F1(8,3)，F2(2,3)，动点，动点 P 满足满足|PF1|PF2|10，则，则 P 点的轨迹是点的轨迹是( ) A双曲线双曲线 B双曲线的一支双曲线的一支 C直线直线 D一条射线一条射线 解析：解析：选选 D F1，F2是定点是定点，且且|F1F2|10，所以满足条件所以满足条件|PF1|PF2|10 的点的点 P 的轨迹应为一的轨迹应为一 条射线条射线 3 (浙江高考浙江高考)命题命题“xR，nN*，使得，使得 nx2”的否的否定形式是定形式是( ) AxR，nN*，使
12、得，使得 nx2 BxR，nN*，使得，使得 nx2 CxR，nN*，使得，使得 nx2 DxR，nN*，使得，使得 nx2 解析解析 由于特称命题的否定形式是全称命题， 全称命题的否定形式是特称命题， 所以由于特称命题的否定形式是全称命题， 全称命题的否定形式是特称命题， 所以 “xR， nN*，使得，使得 nx2”的否定形式为的否定形式为“xR，nN*，使得，使得 nx2” ” 答案答案 D 4若点若点 P 到直线到直线 x1 的距离比它到点的距离比它到点(2,0)的距离小的距离小 1，则点，则点 P 的轨迹为的轨迹为( ) A圆圆 B椭圆椭圆 C双曲双曲线线 D抛物线抛物线 解析：解析：
13、选选 D 由题意得点由题意得点 P 到直线到直线 x2 的距离与它到点的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点的距离相等，因此点 P 的轨迹是的轨迹是 抛物线抛物线 5已知已知 m，nR，则，则“m n0”是是“方程方程 m x2 n y2 1 表示双曲线表示双曲线”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 C 若方程若方程 m x2 n y2 1 表示双曲线，则必有表示双曲线，则必有 m n0；当；当 m n0 时，方程时，方程 m x2 n y2 1 表表 示双曲线示双曲线
14、所以所以“m n0”是是“方程方程 m x2 n y2 1 表示双曲线表示双曲线”的充要条件的充要条件 6已知椭圆已知椭圆a2 x2 2 y2 1 的一个焦点为的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是，则椭圆的方程是( ) A. 4 x2 2 y2 1 B. 3 x2 2 y2 1 Cx2 2 y2 1 D. 6 x2 2 y2 1 解析：解析：选选 D 由题意知由题意知，椭圆焦点在椭圆焦点在 x 轴上轴上，且且 c2，a2246， 因此椭圆方程为因此椭圆方程为 6 x2 2 y2 1，故选故选 D. 7与椭圆与椭圆 4 x2 y21 共焦点且过点共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是的双曲线
15、方程是( ) A. 4 x2 y21 B. 2 x2 y21 C. 3 x2 3 y2 1 Dx2 2 y2 1 5 解析：解析：选选 B 法一：法一：椭圆椭圆 4 x2 y21 的焦点坐标是的焦点坐标是( ，0)设双曲线方程为设双曲线方程为a2 x2 b2 y2 1(a0，b0)， 因为双曲线过点因为双曲线过点 P(2,1)，所以，所以a2 4 b2 1 1，又，又 a2b23，解得，解得 a22，b21，所以所求双曲线方程，所以所求双曲线方程 是是 2 x2 y21. 法二：法二： 设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为4 x2 1 y2 1(1b0)，且焦点分别是，且焦点分别是 A(3,0
16、)，B(3,0)，且，且 2a8， a4，c3，b2a2c21697. 7 所求动圆圆心所求动圆圆心 M 的轨迹方程是的轨迹方程是16 x2 7 y2 1. 16. 已知抛物线已知抛物线 y22x 的焦点是的焦点是 F，点，点 P 是抛物线上的动点，又有点是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)， 则则|PA|PF|的最小值的最小值为为 解解 如图，作如图，作 PNl 于于 N(l 为准线为准线)，作，作 ABl 于于 B， 则则|PA|PF|PA|PN|AB|， 当且仅当当且仅当 P 为为 AB 与抛物线的交点时，取等号与抛物线的交点时，取等号 (|PA|PF|)min |AB|32 1 2
17、7. 此时此时 yP2，代入抛物线得，代入抛物线得 xP2， P 点坐标为点坐标为(2,2) 17. (本小题满分本小题满分 12 分分)求椭圆求椭圆 4x29y236 的长轴长、的长轴长、短轴长短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和、焦距、焦点坐标、顶点坐标和 离心率离心率 解解 椭圆方程变形为椭圆方程变形为 9 x2 4 y2 1， a3，b2， c . 椭圆的长轴长和焦距分别为椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6,2c2， 焦点坐标为焦点坐标为 F1(，0)，F2(，0)， 顶点坐标为顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)， 离心率离心率 ea c 3 5.
18、18.(本小题满分本小题满分 12 分分)求双曲线求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程率和渐近线方程 解解 双曲线的方程化为标准形式是双曲线的方程化为标准形式是 9 x2 4 y2 1， a29，b24， a3，b2，c. 又双曲线的焦点在又双曲线的焦点在 x 轴上，轴上， 顶点坐标为顶点坐标为(3,0)，(3,0)， 焦点坐标为焦点坐标为(，0)，(，0)， 实轴实轴长长 2a6，虚轴长，虚轴长 2b4， 离心率离心率 ea c 3 13， ， 8 渐近线方程为渐近线方程为 y 3 2x. 19.(本
19、小题满分本小题满分 12 分分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点过点 M(6,6)； (2)焦点焦点 F 在直线在直线 l：3x2y60 上上 解解 (1)由于点由于点 M(6,6)在第二象限，在第二象限， 过过 M 的抛物线开口向左或开口向上的抛物线开口向左或开口向上 若抛物线开口向左，焦点在若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，轴上， 设其方程为设其方程为 y22px(p0)， 将点将点 M(6,6)代入，可得代入，可得 362p(6)， p3.抛物线的方程为抛物线的方程为 y26x. 若抛物线开口向上，焦点在若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上
20、，轴上， 设其方程为设其方程为 x22py(p0)， 将点将点 M(6,6)代入可得，代入可得，362p6，p3， 抛物线的方程为抛物线的方程为 x26y. 综上所述，抛物线的标准方程为综上所述，抛物线的标准方程为 y26x 或或 x26y. (2)直线直线 l 与与 x 轴的交点轴的交点为为(2,0)， 抛物线的焦点是抛物线的焦点是 F(2,0)， 2 p 2，p4， 抛物线的标准方程是抛物线的标准方程是 y28x. 直线直线 l 与与 y 轴的交点为轴的交点为(0，3)， 即抛物线的焦点是即抛物线的焦点是 F(0，3)， 2 p 3，p6， 抛物线的标准方程是抛物线的标准方程是 x212y
21、. 综上所述，所求抛物线的标准方程是综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或或 x212y. 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知双曲线已知双曲线 C：a2 x2 b2 y2 1(a0，b0)的离心率为，且的离心率为，且 c a2 3 3. (1)求双曲线求双曲线 C 的方程；的方程； (2)已知直线已知直线 xym0 与双曲线与双曲线 C 交于不同的两点交于不同的两点 A，B，且线段，且线段 AB 的中点在圆的中点在圆 x2y25 上，求上，求 m 的值的值 解：解：(1)由题意得由题意得， c 解得解得. a1， 所以所以 b2c2a22. 9 所以双曲线所以双曲线 C 的方
22、程为的方程为 x2 2 y2 1. (2)设设 A，B 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段，线段 AB 的中点为的中点为 M(x0，y0) 由由1， y2 得得 x22mxm220(判别式判别式 0) 所以所以 x02 x1x2 m，y0 x0m2m. 因为点因为点 M(x0，y0)在圆在圆 x2y25 上，上， 所以所以 m2(2m)25. 故故 m 1. 21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知椭圆已知椭圆a2 x2 b2 y2 1(ab0)的离心率的离心率 e3 6，过点 ，过点 A(0，b)和和 B(a,0) 的直线与原点的距离为的直线与原点的距离
23、为2 3. (1)求椭圆的方程求椭圆的方程 (2)已知定点已知定点 E(1,0)，若直线，若直线 ykx2(k0)与椭圆交于与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在两点，问：是否存在 k 的值，的值， 使以使以 CD 为直径的圆过为直径的圆过 E 点，请说明理由点，请说明理由 解：解：(1)直线直线 AB 方程为：方程为：bxayab0. 依题意依题意 3 解得解得b1. 3， 椭圆方程为椭圆方程为 3 x2 y21. (2)假若存在这样的假若存在这样的 k 值，由值，由x23y230， ykx2， 得得 (13k2)x212kx90. (12k)236(13k2)0. 设设 C(x1，y1)，
24、D(x2，y2)， 则则. 9 而而 y1 y2(kx12)(kx22) k2x1x22k(x1x2)4. 要使以要使以 CD 为直径的圆过点为直径的圆过点 E(1,0)，当且仅当，当且仅当 CEDE 时，则时，则x11 y1 x21 y2 1， 10 即即 y1y2(x11)(x21)0. (k21)x1x2(2k1)(x1x2)50. 将将式代入式代入整理解得整理解得 k6 7.经验证 经验证 k6 7使 使成立综上可知，存在成立综上可知，存在 k6 7，使以 ，使以 CD 为直径的为直径的 圆过点圆过点 E. 22.(本小题满分本小题满分 10 分分)已知椭圆已知椭圆 C：a2 x2 b
25、2 y2 1(ab0)的一个顶点为的一个顶点为 A(2,0)，离心率为，离心率为2 2.直线 直线 y k(x1)与椭圆与椭圆 C 交于不同的两点交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)当当AMN 的面积为的面积为 3 10时，求 时，求 k 的值的值 解题流程解题流程 11 6椭圆椭圆 m x2 4 y2 1 的焦距是的焦距是 2，则，则 m 的值是的值是_ 解析：解析：当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 x 轴上时，轴上时，a2m，b24，c2m4，又，又2c2，c1. m41，m5. 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 y 轴上时，轴上时，a24，b2m， c24m
26、1， m3. 答案：答案：3 或或 5 椭圆椭圆a2 x2 b2 y2 1(ab0)的离心率为的离心率为2 3，且椭圆与直线 ，且椭圆与直线 x2y80 相交于相交于 P，Q，且，且|PQ|，求，求 椭圆的方程椭圆的方程 解：解：e2 3， ，b24 1a2. 椭圆的方程为椭圆的方程为 x24y2a2. 与与 x2y80 联立消去联立消去 y， 得得 2x216x64a20， 由由 0，得，得 a232， 由弦长公式得由弦长公式得 104 5 642(64a2) a236，b29.椭圆的方程为椭圆的方程为36 x2 9 y2 1. 例例 3 已知点已知点 P(4,2)是直线是直线 l 被椭圆被
27、椭圆36 x2 9 y2 1 所截得的线段的中点，求直线所截得的线段的中点，求直线 l 的方程的方程 解解 法一：法一：由题意可设直线由题意可设直线 l 的方程为的方程为 y2k(x4)， 而椭圆的方程可以化为而椭圆的方程可以化为 x24y2360. 将直线方程代入椭圆的方程有将直线方程代入椭圆的方程有 (4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360. x1x2 4k21 8k(4k2 8， k2 1. 直线直线 l 的方程为的方程为 y22 1(x 4)， 即即 x2y80. 法二：法二：设直线设直线 l 与椭圆的交点为与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 360. 2
28、 两式相减，有两式相减，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. 12 又又 x1x28，y1y24， x1x2 y1y2 2 1， ， 即即 k2 1. 直线直线 l 的方程为的方程为 x2y80. 例例 3 已知已知 P 为椭圆为椭圆12 x2 3 y2 1 上一点，上一点，F1，F2是椭圆的焦点，是椭圆的焦点，F1PF260，求，求F1PF2 的面积的面积 解解 在在PF1F2中，中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cos 60， 即即 36|PF1|2|PF2|2|PF1| |PF2|. 由椭圆的定义得由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，
29、即即 48|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|. 由由得得|PF1| |PF2|4. S2 1|PF 1| |PF2| sin 60 . 例例 3 在抛物线在抛物线 y22x 上求一点上求一点 P，使，使 P 到直线到直线 xy30 的距离最短，并求出距离的最小的距离最短，并求出距离的最小 值值 解解 法一：法一：设设 P(x0，y0)是是 y22x 上任一点，上任一点， 则点则点 P 到直线到直线 l 的距离的距离 d2 |x0y03| 2 |(y0125|， ， 当当 y01 时，时，dmin4 2， ， P，1 1 . 法二：法二：设与抛物线相切且与直线设与抛物线相切且与直线
30、 xy30 平行的直线方程为平行的直线方程为 xym0， 由由y22x， xym0， 得得 y22y2m0， (2)242m0， m2 1. 平行直线的方程为平行直线的方程为 xy2 1 0， 13 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离， 则此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离， 则 dmin4 2， 此时点 ， 此时点 P 的坐标为的坐标为 ，1 1 . 2直线直线 yx1 被椭圆被椭圆 4 x2 2 y2 1 所截得的弦的中点坐标是所截得的弦的中点坐标是( ) A.3 5 B.37 C.31 D. 217 解析：解析：选选 C 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点为直线与椭圆的交点，中点 M(x0，y0)， 由由1， y2 得得 3x24x20. x02 x1x2 2 1 34 3 2， ， y0 x013 1， ，中点坐标为中点坐标为3 1.
