1、考前冲刺四考前冲刺四 考前回归教材，成功赢得高考考前回归教材，成功赢得高考 解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现 错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误、审题或忽视隐含条件错误、 运算错误、数学思想方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我 们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到 “会而对，对而全”. 回扣一 集合、复数与常用逻辑用语 1.描述法表示集合时， 一定要理解好集合的含义抓住集合的代表元素.如： x|y lg x函数的定义域；y|ylg x函数的值域；(x，y)|ylg x函数 图象上的点集. 回扣
2、问题 1 已知集合 M x x 2 16 y2 91 ，N y x 4 y 31 ，则 MN( ) A. B.(4，0)，(3，0) C.3，3 D.4，4 解析 由曲线方程，知 M x x 2 161 4，4， 又 N y x 4 y 31 R，MN4，4. 答案 D 2.遇到 AB时， 需注意到“极端”情况： A或 B； 同样在应用条件 AB BABAAB 时，不要忽略 A的情况. 回扣问题2 已知集合Ax|x3或x7， Bx|m1x2m1， 若BA， 则实数 m 的取值范围是_. 解析 当 B时，有 m12m1，则 m2.当 B时，有 m12m1， 2m13 或 m12m1， m17，
3、解得 m6.综上可知， 实数 m 的取值范围是(， 2)(6， ). 答案 (，2)(6，) 3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助 数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍. 回扣问题 3 设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值 范围是( ) A.(1，2 B.(2，) C.1，) D.(1，) 解析 因为 AB，所以集合 A，B 有公共元素，利用数轴可知 a1. 答案 D 4.复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0(zabi(a， bR).还要注意巧妙运 用参数问题和合理消参的技巧. 回扣问题 4 设 i 为虚数单位，z
4、2 3i 1i，则|z|( ) A.1 B. 10 C. 2 D. 10 2 解析 z2 3i 1i 2i 1i （2i）（1i） （1i）（1i） 13i 2 ， |z| 1 2 2 3 2 2 10 2 . 答案 D 5.复平面内，复数 zabi(a，bR)对应的点为 Z(a，b)，不是 Z(a，bi)；当且仅 当 O 为坐标原点时，向量OZ 与点 Z 对应的复数相同. 回扣问题 5 在复平面内，复数 z| 3i| 1i 的共轭复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z| 3i| 1i 2 1i 2（1i） （1i）（1i）1i，所以z 1
5、i，故z 在复平面内 对应的点为(1，1)，在第一象限. 答案 A 6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A 的充分不必要 条件是 B”说明“B 是条件”且 B 推出 A，但 A 不能推出 B，而“A 是 B 的充分 不必要条件”表明“A 是条件”，A 能推出 B，但 B 不能推出 A. 回扣问题 6 函数 f(x) log 2x，x0， 2xa，x0，有且只有一个零点的一个充分不必要 条件是( ) A.a0 B.0a1 2 C.1 2a1 D.a0 或 a1 解析 因为函数 f(x)的图象恒过点(1，0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数 y2xa(x0)没有零点
6、函数y2x(x0)的图象与直线ya无交点.数形结合 可得 a0 或 a1， 即函数 f(x)有且只有一个零点的充要条件是 a0 或 a1.分析 选项知，“a0”是函数有且只有一个零点的充分不必要条件. 答案 A 7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则 反思想. 回扣问题 7 若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1，1内至少 存在一个值 c，使得 f(c)0，则实数 p 的取值范围为_. 解析 如果在1，1内没有值满足 f(c)0， 则 f（1）0， f（1）0 p1 2或p1， p3或p3 2 p3 或 p3 2. 取补集，得 p 的取值范
7、围是 3，3 2 . 答案 3，3 2 回扣二 函数与导数 1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式 (组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为 0；对数式中 的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏. 回扣问题 1 函数 f(x)lg(1x) 3x1 的定义域是_. 解析 由题意，得 1x0， 3x10， 1 3x0 且|x2|20，知 f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点 对称，则 f(x)lg（1x 2） x ， 又 f(x)lg（1x 2） x f(x)， 函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数 4.记住
8、周期函数的几个结论： 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)f(ax)(a0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函 数”得： (1)函数 f(x)满足 f(ax)f(x)，则 f(x)是周期 T2a 的周期函数； (2)若 f(xa) 1 f（x）(a0)成立，则 T2a； (3)若 f(xa) 1 f（x）(a0)成立，则 T2a； (4)若 f(xa)f(xa)(a0)成立，则 T2a. 回扣问题 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(x)是奇函数，f(x1)为偶函数， 当 0 x1 时，f(x)x2，则 f(2 021)( ) A.1 B.1 C.0 D.2 0192
9、解析 因为 f(x1)是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，则 f(x)f(x2).又 f(x) 是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 f(x2)f(x)， 所以 f(x4)f(x2)f(x)， 所以函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，又当 0 x1 时，f(x)x2，所以 f(2 021) f(45051)f(1)1. 答案 B 5.理清函数奇偶性的性质. (1)f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)； (2)f(x)是奇函数f(x)f(x)； (3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)0. 回扣问题 5 已知函数 h(x)(x0)为偶函数， 且当 x0 时， h(x) x
10、 2 4，04， 若 h(t)h(2)，则实数 t 的取值范围为_. 解析 因为当 x0 时，h(x) x 2 4，04. 所以函数 h(x)在(0，)上单调递减， 因为函数 h(x)(x0)为偶函数，且 h(t)h(2)， 所以 h(|t|)h(2)，所以 0|t|2， 所以 t0， |t|2，即 t0， 2t2， 解得2t0 或 0t0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 yloga(|x| 1)的图象可以是( ) 解析 由于 f(x)ax(a0，a1)在 R 上为减函数，则 0a0，得 x1 或 x1 时，yloga(x1)是减函数，易知 D 正确. 答案 D 7.准确理解基本初等函数
11、的定义和性质.避免研究函数 yax(a0，a1)的单调性 忽视对字母 a 的取值讨论或忽视 ax0，对数函数 ylogax(a0，a1)忽视真数与 底数的限制条件等错误的出现. 回扣问题 7 若函数 f(x)ax1(a0 且 a1)的定义域和值域都是0，2，则实 数 a 的值为_. 解析 当 0a1 时，f(x)ax1 在0，2上单调递减， 故 f(x)maxf(0)a010. 这与已知条件函数 f(x)的值域是0，2相矛盾. 当 a1 时，f(x)ax1 在0，2上单调递增， 又函数 f(x)的定义域和值域都是0，2. 所以 f（0）0， f（2）a212， a1， 解得 a 3，所以实数
12、a 的值为 3. 答案 3 8.割裂图象与性质解题时致误，解有关抽象函数的问题时要抓住两点：一是会判 断抽象函数的性质，常需判断其奇偶性、周期性与图象的对称性，为画函数的图 象做准备；二是在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应 注意基本初等函数图象与性质的应用. 回扣问题 8 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，f(x2) f(x)，当 0 x1 时，f(x)x2，若直线 yxa 与函数 f(x)的图象在0，2内恰 有两个不同的公共点，则实数 a 的值是( ) A.0 B.0 或1 2 C.1 4或 1 2 D.0 或1 4 解析 因为对任意的 xR
13、，f(x2)f(x)， 所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数， 画出函数 f(x)在0，2上的图象与直线 yxa，如图. 由图知， 直线 yxa 与函数 f(x)的图象在区间0， 2内恰有两个不同的公共点时， 直线 yxa 经过点(1，1)或与 f(x)x2的图象相切于点 A， 由 11a，解得 a0； 由 x2xa 得 x2xa0，所以 14a0，解得 a1 4. 综上所述，实数 a 的值是 0 或1 4. 答案 D 9.易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不 等式解集的端点值进行准确互化. 回扣问题 9 若函数 f(x)axln x1 有零点， 则
14、实数 a 的取值范围是_. 解析 令 f(x)axln x10，则 aln x1 x (x0)， 设 g(x)ln x1 x ，则 g(x)ln x x2 ， 由 g(x)0，得 x1. 当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增， 当 x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减， g(x)maxg(1)1，则 a1. 答案 (，1 10.混淆 yf(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与 yf(x)过某点(x0，y0)的切线，导 致求解失误. 回扣问题 10 函数 f(x)e x e 2 x的图象在 x1 处的切线方程为_. 解析 由 f(x)e x e2 x，得 f(x)e x1
15、1 x.f(1)1，f(1)0，故 f(x)在 x1 处的切线方程为 y1. 答案 y1 11.混淆“极值”与“最值”.函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得到 的，它不一定是最值，而函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得到的， 可能在极值点处取得，也可能在区间端点处取得. 回扣问题 11 已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致图象如图所示， 则下列叙述正确的是( ) f(b)f(a)f(c)；函数 f(x)在 xc 处取得极小值，在 xe 处取得极大值； 函数 f(x)在 xc 处取得极大值，在 xe 处取得极小值；函数 f(x)的最小值为 f(d). A. B.
16、 C. D. 解析 根据图象知，当 xc 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(，c上单调递增.又 a bc， 所以 f(a)f(b)f(c)， 故不正确.因为 f(c)0， f(e)0， 且 xc 时， f(x) 0；cxe 时，f(x)0；xe 时，f(x)0.所以函数 f(x)在 xc 处取得极大值， 在 xe 处取得极小值，故错误，正确.当 dxe 时，f(x)0，所以函数 f(x) 在d，e上单调递减，从而 f(d)f(e)，所以不正确.综上所述，叙述正确的是. 答案 A 12.混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”. (1)若函数 f(x)在区间 D 上单调递减， 则 f(x
17、)0 在区间 D 上恒成立(且不恒等于 0)， 若函数 f(x)在区间 D 上单调递增，则 f(x)0 在区间 D 上恒成立(且不恒等于 0)； (2)利用导数：求函数 f(x)的单调递减区间的方法是解不等式 f(x)0，求函数 f(x) 的单调递增区间的方法是解不等式 f(x)0.解题时一定要弄清题意，勿因“” 出错. 回扣问题 12 已知函数 f(x)aln x1 2x 2(a1)x1. (1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若函数 f(x)在(0，)上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 时，f(x)ln x1 2x 21(x0)， 则 f(x)1
18、 xx （x1）（x1） x ，由 f（x）0， x0， 解得 x1.所以函数 f(x)的单调递增区间为(1，). (2)因为 f(x)aln x1 2x 2(a1)x1， 所以 f(x)a xxa1 x2（a1）xa x （x1）（xa） x ， 又函数 f(x)aln x1 2x 2(a1)x1 在(0，)上单调递增， 所以 f(x)0 对任意的 x(0，)恒成立， 则 xa0 对任意 x(0，)恒成立，所以 a0. 故实数 a 的取值范围是0，). 13.对于可导函数 yf(x)，误以为 f(x0)0 是函数 yf(x)在 xx0处有极值的充分 条件. 回扣问题 13 已知函数 f(x)
19、x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于 ( ) A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 解析 函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10，又 f(x)3x22axb， f(1)10，且 f(1)0， 即 1aba210， 32ab0， 解得 a3， b3 或 a4， b11. 而当 a3， b3 时，函数在 x1 处无极值，故舍去. f(x)x34x211x16，f(2)18. 答案 C 回扣三 三角函数与平面向量 1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置 无关，只由角的终边位置决定. 回扣问题 1
20、 已知角 的终边为射线 y2x(x0)，则 cos 2cos _. 解析 的终边为射线 y2x(x0)， 不妨在射线上取点 P(1，2)，则 cos 1 5， cos 2cos 2cos21cos 2 1 5 2 1 1 5 53 5 . 答案 53 5 2.求三角函数值易忽视角的范围.对于角的范围限定可从以下两个方面考虑：题 目给定的角的范围；利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正 负可挖掘角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范 围，注意应尽量使角的范围精准，避免产生增根. 回扣问题 2 设 为锐角，若 cos 6 1 3，则 sin 2 12 的值为(
21、) A. 7 25 B.7 28 18 C.17 2 50 D.7 28 18 或7 28 18 解析 因为 为锐角，所以 0 2，则 6 6 2 3 . 设 6， 由 cos 6 1 3， 得 sin 2 2 3 .sin 22sin cos 4 2 9 ， cos 2 2cos217 9，所以 sin 2 12 sin 2 3 4 sin 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin 4 7 28 18 . 答案 B 3.求函数 f(x)Asin(x)的单调区间时，要注意 A 与 的符号，当 Bsin Asin B. 回扣问题 6 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
22、，若 asin Bcos C csin Bcos A1 2b，且 ab，则 B( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析 由 asin Bcos Ccsin Bcos A1 2b 及正弦定理，可得 sin Asin Bcos Csin C sin Bcos A1 2sin B，即 sin B(sin Acos Csin Ccos A) 1 2sin B，则 sin Bsin(AC) 1 2sin B，因为 sin B0，所以 sin(AC) 1 2，即 sin B 1 2.因为 ab，所以 AB， 可知 B 为锐角，故 B 6. 答案 A 7.混淆向量共线与垂直的坐标表示.向量共
23、线与向量垂直的坐标表示是两个极易混 淆的运算，其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直顺序加”，即对于非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，而 abx1x2y1y20. 回扣问题 7 (1)已知向量 a(2，1)，b(x，1)，且 ab 与 b 共线，则 x 的 值为_. (2)已知向量 a(4，3)，b(2，1)，如果向量 ab 与 b 垂直，那么|2ab|的 值为_. 解析 (1)因为 a(2，1)，b(x，1)， 所以 ab(2x，2)， 又 ab 与 b 共线，所以 2x2x，解得 x2. (2)由题意知 ab(4，3)(2，1)(42，3)，因为向量 ab
24、 与 b 垂 直， 所以(ab) b0， 即(42， 3) (2，1)0(42) (2)(3) 10， 解得 1，所以 2ab(8，6)(2，1)(10，5)，于是|2ab|10252 5 5. 答案 (1)2 (2)5 5 8.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择坐标运算与几何运算. 回扣问题 8 已知ABC 是边长为 2 的正三角形，点 P 为平面内一点，且|CP | 3，则PC (PAPB)的取值范围是( ) A.0，12 B. 0，3 2 C.0，6 D.0，3 解析 如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，过点 B 与 BC 垂直的直线 为 y 轴，建立平面直角坐标系，
25、则 B(0，0)，A(1， 3)，C(2，0)，设 P(x，y)，因 为|CP | 3，所以 P 点轨迹为(x2)2y23， 令 x2 3cos ， y 3sin ， 则PA (1 3cos ， 3 3sin )， PB (2 3cos ， 3sin )， PC ( 3cos ， 3sin )， 则PC (PAPB)6 3 2 cos 1 2sin 666cos 6 ， 由66cos 6 6，得 066cos 6 12. 答案 A 9.忽视向量夹角范围致误.涉及有关向量的夹角问题 要注意两向量夹角的范围是0，不是(0，)，其中 0 表示两向量同向共线， 表示两向量反向共线.这类问题有下列两个常
26、见结论：向量 a，b 的夹角为 锐角a b0 且向量 a，b 不共线；向量 a，b 的夹角为钝角a b0 且向量 a， b 不共线. 回扣问题 9 已知向量 a，b 满足|a|b|1，且|kab| 3|akb|(k0)，那么 向量 a 与向量 b 的夹角的最大值为_. 解析 由|kab| 3|akb|，得|kab|2( 3|akb|)2，则 k22ka b13(1 2ka bk2)，即 a b1 4 k1 k .因为 k0，所以 a b1 4 k1 k 1 42 k1 k 1 2， 当且仅当 k1 时等号成立.所以 cosa，b a b |a|b| 1 2，则a， ，b 0， 3 ，即 向量
27、a 与 b 的夹角的最大值为 3. 答案 3 10.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式. 回扣问题 10 若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足|OB OC |OB OC 2OA |，则ABC 的形状为_. 解析 |OB OC |OB OC 2OA |， |CB |ABAC|，即|ABAC|ABAC|. 故以 AB，AC 为邻边的平行四边形为矩形. 因此ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形. 答案 直角三角形 回扣四 数列与不等式 1.已知数列的前 n 项和 Sn求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnSn1表示.事实 上，当 n1 时，a1S1；当 n2 时，anSnS
28、n1. 回扣问题 1 数列an满足1 2a1 1 22a2 1 23a3 1 2nan2n1，则数列an的通 项公式为_. 解析 由1 2a1 1 22a2 1 23a3 1 2nan2n1，当 n2 时， 1 2a1 1 22a2 1 23a3 1 2n 1an12(n1)1，两式相减，得 1 2nan2，即 an2 n1(n2).又 n1 时，1 2a1 3，则 a16 不符合上式.所以 an 6，n1， 2n 1，n2. 答案 an 6，n1， 2n 1，n2. 2.忽视两个“中项”的区别.等差数列 a，A，b 的等差中项 Aab 2 与 a，b 之间没 有符号的制约，但等比数列 a，G
29、，b 的等比中项 G ab(a，b 同号且 a，b 不 为 0). 回扣问题 2 若 a，b，c 三个数成等比数列，且 abcm(m0)，则 b 的取 值范围是( ) A. 0，m 3 B. m，m 3 C. 0，m 3 D.m，0) 0，m 3 解析 设公比为 q，则 b 1 qq1 m，即 b m q1 q1 .当 q0 时，0bm 3(当 q 1 时，取“”)；当 q0 时，mb0(当 q1 时，取“”).所以 b 的 取值范围是m，0) 0，m 3 . 答案 D 3.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定要分 q1 和 q1 两种 情况进行讨论. 回扣问题 3 已知正项
30、等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 7S24S4，则等比数列 an的公比 q 的值为( ) A.1 B.1 或1 2 C. 3 2 D. 3 2 解析 因为 7S24S4，所以 3S23(a1a2)4(S4S2)4(a3a4)，所以 3(a1a2) 4(a1a2)q2.因为 a1a20，所以 q23 4.因为an为正项等比数列，所以 q0， 所以 q 3 2 . 答案 C 4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视 anan1d(常数)中，n2，nN*的限 制，类似地，在等比数列中， bn bn1q(常数且 q0)，忽视 n2，nN *的条件限 制. 回扣问题 4 已知数列an中，a1a21，
31、an1an1 2(n2)，则数列an的前 9 项和等于_. 解析 a21，an1an1 2(n2)， 数列an从第 2 项起是公差为1 2的等差数列， S9a1a2a3a9 18a28（81） 2 1 223. 答案 23 5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩 余的前、后项数要相等，切莫漏项或添项. 回扣问题 5 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，点(an1，Sn)在直线 yx2 上(nN*). (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn 2n 1 （an1）（an11），设数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 1 3Tn 1 2. (1)解
32、因为点(an1，Sn)在直线 yx2 上， 所以 an12Sn(nN*). 当 n2 时，an2Sn1. ，可得 an1anSnSn1an(n2)， 即 an12an(n2). 当 n1 时，a22S12a1，所以 a24，则 a22a1也满足上式. 综上，an12an(nN*). 所以数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an2n(nN*). (2)证明 由(1)得 an2n(nN*)，因为 bn 2n 1 （an1）（an11）， 所以 bn 2n 1 （2n1）（2n 11）1 2 1 2n1 1 2n 11， 所以 Tn1 2 1 1 221 1 221 1 231 1
33、 2n1 1 2n 111 2 1 1 2n 11. 因为 0 1 2n 11 1 221 1 3， 所以1 3 1 2n 110， 所以2 31 1 2n 111，所以1 3Tn 1 2. 6.对于通项公式中含有(1)n的一类数列，在求 Sn时，切莫忘记讨论 n 为奇数、 偶数；遇到已知 an1an1d 或a n1 an1q(n2)，求an的通项公式时，要注意对 n 的讨论. 回扣问题 6 若 an2n1， bn(1)n 1a n， 则数列bn的前 n 项和 Tn_. 解析 bn(1)n 1a n(1)n 1(2n1). 当 n 为偶数时，Tna1a2a3a4an1an(2)n 2n. 当
34、n 为奇数时，TnTn1bn(n1)ann. 故 Tn n，n为偶数， n，n为奇数. 答案 n，n为偶数， n，n为奇数 7.运用不等式性质要注意适用的条件，不可扩大范围，如 ab / 1 a 1 b. 回扣问题 7 已知下列四个结论：abacbc；ab1 a 1 b；ab0， cd0a d b c；ab0，c0a cbc.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 对于，当 c0 时，acbc，所以不正确；对于，当 a0b 时， 1 a 1 b，所以不正确；对于，由于 cd0，则 1 d 1 c0，又 ab0，所以 a d b c 0，正确；对于，因为幂函数
35、yxc(c0)在(0，)上单调递减，又 ab0， 所以 acbc，正确.故正确的个数为 2. 答案 B 8.解形如 ax2bxc0 的一元二次不等式时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错 解，要注意分 a0，a0 的解集是实数集 R；命题乙：0a0 的解集是实数集 R 可知， 当 a0 时， 原式10 恒成立， 当 a0 时，需满足 a0， （2a）24a0， 解得 0a1，所以 0a0，b0)的左焦点为 F1，顶点为 A1，A2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段 PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为 _. 解析 设线段 PF1的中点为 P0，双曲线的右焦点为 F2，则|OP0|1
36、 2|PF2|， 由双曲线定义，|PF1|PF2|2a， |OP0|1 2|PF1|aRr，因此两圆内切. 答案 内切 6.混淆椭圆与双曲线标准方程中 a，b，c 三者之间的关系.椭圆中的关系式是 c2 a2b2，双曲线中的关系式是 c2a2b2，可以联系标准方程进行记忆，即关系式 中的符号“”“”与标准方程中的“”“”形成相反的对应关系.另外， 离心率的记忆也存在相似的规律：椭圆中 ec a 1 b a 2 ，双曲线中 ec a 1 b a 2 . 回扣问题 6 (2020 宜昌一中第二次月考)椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦 点为 F1(c，0)，F2(c，0)，M
37、是椭圆上的一点，且满足F1M F2M 0，则椭圆离 心率的取值范围为( ) A. 0， 2 2 B. 0， 2 2 C. 2 2 ，1 D. 2 2 ，1 解析 设点 M(x0，y0)，由F1M F2M 0， 得(x0c) (x0c)y200，即 x20y20c2. 因为点 M 在椭圆 C 上，所以x 2 0 a2 y20 b21. 由及 a2b2c2，解得 x20a 2（c2b2） c2 . 由椭圆的性质可知 0 x20a2， 即 a 2（c2b2） c2 0， a2（c2b2） c2 a2， 解得 c 2b2， c2b2c2，所以 c 2b2. 又 b2a2c2，所以 c2a2c2，即 2
38、c2a2， 解得 e21 2，又 0e1，所以 2 2 e1. 答案 D 7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解. 回扣问题 7 已知椭圆x 2 4 y2 m1(m0)的离心率等于 3 2 ，则 m_. 解析 当焦点在 x 轴上，则 a2，c 4m， 4m 2 3 2 ，则 m1. 当焦点在 y 轴上，则 a m，c m4， m4 m 3 2 ，则 m16. 答案 1 或 16 8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如 在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a0”下进行. 回扣问题 10 已知椭圆 C：x 2 a
39、2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，其中左焦点 F(2，0). (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点 M 在曲线 x22y2 上，求 m 的值. 解 (1)由题意得，c a 2 2 ，c2，则 a2 2，b a2c22. 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)， 由 x 2 8 y2 41， yxm， 消去 y 得 3x24mx2m280， 由 968m20，解得2 3m2 3， 所以 x0 x 1x2
40、 2 2m 3 ，y0 x0mm 3. 因为点 M(x0，y0)在曲线 x22y2 上， 所以 2m 3 2 2m 32，解得 m 3 2或 m3. 经检验，所求 m 的值为3 2或3. 回扣七 概率与统计 1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义 当成频率，导致样本数据的频率求错. 回扣问题 1 为了了解某校九年级 1 600 名学生的体能情况，随机抽查了部分学 生，测试 1 分钟仰卧起坐的成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方 图.根据统计图中的数据，可得下列结论错误的是( ) A.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25 B.该
41、校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5 C.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约为 320 D.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为 32 解析 由频率分布直方图可知， 中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值， 是 26.25；众数是最高矩形的中点对应的数值，为 27.5；1 分钟仰卧起坐的次数超 过 30 的频率为 0.0450.2，所以估计 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数为 1 6000.2320；1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的频率为 0.0250.1，所以估 计 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数为
42、1 6000.1160.因此选项 D 不正确. 答案 D 2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注 意对立事件是互斥事件的特殊情况. 回扣问题 2 甲、 乙两队准备进行一场篮球比赛， 根据以往的经验知甲队获胜的 概率是1 2，两队打平的概率是 1 6，则这次比赛乙队不输的概率是( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.5 6 解析 设事件 M 为“这次比赛乙队不输”， 事件 A 为“这次比赛乙队获胜”， 事 件 B 为“这次比赛甲、乙两队打平”，所以 P(B)1 6，P(A)1 1 2 1 6 1 3，所以 这次比赛乙队不输的概率 P(M)P(A)P(B)
43、1 3 1 6 1 2. 答案 C 3.混淆直线方程 yaxb 与回归直线y b xa 系数及斜率与截距的含义导致回归 分析中失误. 回扣问题 3 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系， 随机调查了该社 区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得线性回归方程y b xa ，其中b 0.76，a y b x .据此估计，该社 区一户年收入为 15 万元的家庭的年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 解析 由
44、题意知，x 8.28.610.011.311.9 5 10， y 6.27.58.08.59.8 5 8， a 80.76100.4， 线性回归方程y 0.76x0.4， 当 x15 时，y 0.76150.411.8(万元). 答案 B 4.在独立性检验中，K2 n（adbc）2 （ab）（ac）（bd）（cd）(其中 nabc d)所给出的检验随机变量 K2的观测值 k， 并且 k 的值越大， 说明“X 与 Y 有关系” 成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与 Y 有关系”的可信程度. 回扣问题 4 某医疗研究所为了检验某种血清能否起到预防感冒的作用，把 500 名使用血清的人与另外
45、 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用 22 列联表计算得 K2的观测值 k3.918. 附表： P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”的结论出错的可能性不超过( ) A.95% B.5% C.97.5% D.2.5% 解析 因为观测值 k3.9183.841，所以对照题目中的附表，得 P(K2k0)0.05 5%.“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 5%. 答案 B 5.运用古
46、典概型的概率计算失误，涉及古典概型的计算，需做到以下两点： 一是理解古典概型的两个特征：试验中所有可能出现的基本事件为有限个； 每个基本事件出现的可能性相等. 二是掌握古典概型的概率计算公式 P(A)事件A包含的基本事件个数（m） 总的基本事件个数（n） . 回扣问题 5 2019 年 5 月 22 日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会 议在芜湖举行.长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分 城市，简称“三省一市”.现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江 省、 安徽省四个地方旅游， 假设每名学生均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中
47、的概率为( ) A.27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 解析 设事件 M 为“恰有一个地方未被选中”，4 名学生选取的旅游地方的所有 情况有 44256(种)，恰有一个地方未被选中的情况共有 C14C24 A33144(种)，所以 恰有一个地方未被选中的概率 P(M)144 256 9 16. 答案 B 6.二项式(ab)n与(ba)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在 遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同 时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同. 回扣问题 6 在二项式 x1 x n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系
