1、 基本初等函数、函数的应用基本初等函数、函数的应用 1.(2020 全国卷)已知5584，13485.设alog53，blog85，clog138，则( ) A.abc B.bac C.bca D.cab 解 析 log53 log85 log53 1 log58 log53 log581 log58 log53log58 2 2 1 log58 log524 2 2 1 log58 log525 2 2 1 log58 0，log53log85. 5584，13485，5log854log8844log13135log138， log85log138，log53log85log138， 即
2、ab2b B.ab2 D.ab2 解析 由指数和对数的运算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令 f(x)2xlog2x，则 f(x)在(0，)上单调递增. 又22blog2b22blog2b122blog2(2b)， 2alog2a22blog2(2b)，即 f(a)f(2b)，a0 且 a，b1，M0，N0). 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)的图象和性质，分 0a1 两种情况，当 a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0a0，且 a1)的图 象可能是( ) (2)(2020 百校联盟考试)
3、已知函数 f(x)log1 2 (x2axa)在 1 2， 上为减函数， 则实数 a 的取值范围是( ) A.(，1 B. 1 2，1 C. 1 2，1 D. 1 2， 解析 (1)当a1时，y 1 ax是减函数，yloga x1 2 是增函数，且yloga x1 2 的 图象过定点 1 2，0 ，则选项 A，B，C，D 均不符合.从而 0a0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点， 则 a 的取值范围是( ) A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，) (2)(2019 天津卷)已知函数 f(x) 2 x，0 x1， 1 x，x1. 若关于 x 的方程 f(x)1 4x
4、a(aR)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为( ) A. 5 4， 9 4 B. 5 4， 9 4 C. 5 4， 9 4 1 D. 5 4， 9 4 1 解析 (1)函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线 y xa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得 a1. (2)如图，分别画出两函数 yf(x)和 y1 4xa 的图象. 当 0 x1 时，直线 y1 4xa 与 y2 x的图象只有一个交点的情况. 当直线 y1 4xa 过点 B(1，2)
5、时，则 a 9 4. 所以 0a9 4. 当 x1 时，直线 y1 4xa 与 y 1 x的图象只有一个交点的情况： 相切时，由 y 1 x2 1 4，得 x2，此时切点为 2，1 2 ，则 a1. 相交时，由图象可知直线 y1 4xa 从过点 A 向右上方移动时与 y 1 x的图象 只有一个交点.过点 A(1，1)时，11 4a，解得 a 5 4.所以 a 5 4. 结合图象可得，所求实数 a 的取值范围为 5 4， 9 4 1. 故选 D. 答案 (1)C (2)D 探究提高 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用 函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等
6、式求解. 【训练 3】 (1)若函数 f(x)|logax|3 x(a0，a1)的两个零点是 m，n，则( ) A.mn1 B.mn1 C.0mn1，m 1 3n，即logamlogan， loga(mn)0，则 0mn1. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x3)f(x1)，则该函数的周期为 4.当 x0，2时，f(x)2x1，当 x2，0时，x0，2，f(x)f(x)2 x 1，所以 A 正确.f(2 019)f(45051)f(1)f(1)1，所以 B 正确.若 yf(x) 的图象关于点(2，0)对称，则 f(3)f(1)0，但是 f(3)f(1)f(1)1，f(3)
7、 f(1)0，与 f(3)f(1)0 矛盾，所以 C 错误.作出函数 yf(x)，ylog2x 的大致图 象，如图. 由图可得函数 g(x)f(x)log2x 有 3 个零点，所以 D 正确.故选 ABD. 答案 (1)C (2)ABD 热点三 函数的实际应用 【例 4】 (2020 新高考山东卷)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病 学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间 传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述 累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似 满
8、足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫 情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A.1.2 天 B.1.8 天 C.2.5 天 D.3.5 天 解析 由 R01rT，R03.28，T6， 得 rR 01 T 3.281 6 0.38. 由题意，累计感染病例数增加 1 倍，则 I(t2)2I(t1)， 即 e0.38t22e0.38t1，所以 e0.38(t2t1)2，即 0.38(t2t1)ln 2， t2t1ln 2 0.38 0.69 0.381.8. 故选 B. 答案 B 探究提高 1.解决函数的实际应用问题时
9、，首先要耐心、细心地审清题意，弄清 各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到 实际问题中去. 2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法. 【训练 4】 (2019 全国卷)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史 上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆 需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发 射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月 距离为R，L2
10、点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方 程： M1 （Rr）2 M2 r2 (Rr)M1 R3. 设 r R.由于的值很小，因此在近似计算中 33345 （1）2 33，则 r 的近似值 为( ) A. M2 M1R B. M2 2M1R C. 3 3M2 M1 R D. 3 M2 3M1R 解析 由 r R得 rR， 代入 M1 （Rr）2 M2 r2 (Rr)M1 R3， 整理得3 3345 （1）2 M2 M1. 又3 3345 （1）2 33，即 33M2 M1，所以 3 M2 3M1， 故 rR 3 M2 3M1R. 答案 D A 级 巩固提升 一、选择题 1.
11、(2020 全国卷)设 alog342，则 4 a( ) A. 1 16 B.1 9 C.1 8 D.1 6 解析 法一 因为 alog342，所以 log34a2，所以 4a329， 所以 4 a1 4a 1 9.故选 B. 法二 因为 alog342，所以 a 2 log342log43log43 2log49，所以 4a4 log494log49 1911 9.故选 B. 答案 B 2.已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则( ) A.abc B.acb C.cab D.bca 解析 由对数函数的单调性可得 alog20.2201，0c0.20.30.201，所以 ac1
12、，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0 C.1 2 D.0 解析 当 x1 时，令 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，令 f(x)1log2x0，解得 x1 2， 又因为 x1，所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案 D 4.(2019 全国卷)若 ab，则( ) A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b| 解析 法一 不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确. 法二 由 ab，得 ab0.但 ab1 不一定成立， 则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立. 因为 y3x在 R 上是增函数，当 a
13、b 时，3a3b，故 B 不成立. 因为 yx3在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立. 因为当 a3，b6 时，ab，但|a|b|，D 项不正确. 答案 C 5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满 足 m2m15 2lg E1 E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1，2).已知太阳的星等是 26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10 10.1 解析 设太阳的星等为 m1，天狼星的星等为 m2，则太阳与天狼星的亮度分别为 E1，
14、E2. 由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)5 2lg E1 E2， 所以 lgE1 E210.1，所以 E1 E210 10.1. 答案 A 6.(2020 广州模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，满足 f(x1)f(x)，当 x0，1时，f(x)cos 2x，则函数 yf(x)|x|的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由 f(x1)f(x)，得 f(x2)f(x)，知周期 T2. 令 f(x)|x|0，得 f(x)|x|. 作出函数 yf(x)与 g(x)|x|的图象如图所示. 由图象知，函数 yf(x)|x|有两个零
15、点. 答案 A 二、填空题 7.已知 R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x.若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值 范围是_. 解析 令 f(x)0，当 x 时，x4.当 x 时，x24x30，则 x1 或 x3. 若函数 f(x)恰有 2 个零点，结合图 1 与图 2 知，14. 答案 (1，3(4，) 8.已知 ab1，若 logablogba5 2，a bba，则 a_，b_. 解析 设logbat，则t1，因为t1 t 5 2，解得t2，所以ab 2，因此ab(b2)b b2bba，a2b，b22b，又 b1，解得 b2，a4. 答案 4 2 9.(2020 重庆质检)
16、已知 a，b，c 为正实数，且 ln aa1，bln b1，cec1，则 a，b，c 的大小关系是_. 解析 ln aa1，ln b1 b，e c1 c. 依次作出 yex，yln x，yx1，y1 x这四个函数的图象，如下图所示. 由图象可知 0c1，a1，b1，cab. 答案 cab 三、解答题 10.已知偶函数f(x)满足f(x1) 1 f（x），且当x1，0时，f(x)x 2，若在区间 1，3内，函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点，求实数 a 的取值范围. 解 偶函数 f(x)满足 f(x1) 1 f（x）， f(x2)f(x11) 1 f（x1）f(x)， 函数 f
17、(x)的周期为 2， 又 x1，0时，f(x)x2， x0，1时，f(x)f(x)x2，从而 f(x)x2，x1，1. 在区间1，3内函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点等价于函数 f(x)的图象与 yloga(x2)的图象在区间1，3内有 3 个交点. 当 0a1 且 log a31，解得 3a5.故实 数 a 的取值范围为(3，5). B 级 能力突破 11.(2020 贵阳质检)已知函数 f(x) e x，x0， 4x36x21，x0， 其中 e 为自然对数的底数，则函数 g(x)3f(x)210f(x)3 的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 解析 当 x
18、0 时，f(x)4x36x21 的导数为 f(x)12x212x， 当 0 x1 时，f(x)单调递减，x1 时，f(x)单调递增， 可得 f(x)在 x1 处取得最小值，最小值为1，且 f(0)1， 作出函数 f(x)的图象，g(x)3f(x)210f(x)3，可令 g(x)0，tf(x)，可得 3t2 10t30， 解得 t3 或1 3，当 t 1 3， 即 f(x)1 3时，g(x)有三个零点； 当 t3 时，可得 f(x)3 有一个实根， 综上，g(x)共有四个零点. 答案 A 12.记 f(x)，g(x)分别为函数 f(x)，g(x)的导函数.若存在 x0R，满足 f(x0)g(x0
19、)且 f(x0)g(x0)，则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明：函数 f(x)x 与 g(x)x22x2 不存在“S 点”； (2)若函数 f(x)ax21 与 g(x)ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值. (1)证明 函数 f(x)x，g(x)x22x2， 则 f(x)1，g(x)2x2. 由 f(x)g(x)且 f(x)g(x)，得 xx22x2， 12x2， 此方程组无解， 因此，f(x)与 g(x)不存在“S 点”. (2)解 函数 f(x)ax21，g(x)ln x， 则 f(x)2ax，g(x)1 x. 设 x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”， 由 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，得 ax201ln x0， 2ax0 1 x0， 即 ax 2 01ln x0， 2ax201， (*) 得 ln x01 2，即 x0e 1 2，则 a 1 2 e1 2 2e 2. 当 ae 2时，x0e 1 2满足方程组(*)， 即 x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”. 因此，a 的值为e 2.
