1、专练专练 排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方 法共有( ) A.120 种 B.90 种 C.60 种 D.30 种 解析 先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C16种选法，再从剩余的 5 名同学 中选2 名安排到乙场馆，有 C25种选法，最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆，有 C33种选
2、法，由分步乘法计数原理知，共有 C16 C25 C3360(种)不同的安排方法.故选 C. 答案 C 2.在二项式 3 x21 2x n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4 项为( ) A.7x6 B.7x 19 3 C.35 8 x 20 3 D.7 4x 7 解析 由二项式系数的性质，知 n8， 则 Tr1Cr8(3x2)8 r 1 2x r 1 2 r Cr8x 16r 3 ， 展开式中第 4 项 T4 1 2 3 C38x 19 37x 19 3. 答案 B 3.(2020 广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只 有 2 位女生相邻，则不同
3、排法的种数是( ) A.36 B.24 C.72 D.144 解析 根据题意，把 3 位女生中的 2 位捆绑在一起看成一个整体，并和剩下的 1 位女生插入到由2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有A23A22A2372 种.故选 C. 答案 C 4.(2020 全国卷) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析 法一 xy 2 x (xy)5 xy 2 x (x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5)， x3y3的系数为 10515. 法二 当 xy 2 x 中取 x 时，x3y3的系数为 C35， 当 xy 2
4、 x 中取y 2 x 时，x3y3的系数为 C15， x3y3的系数为 C35C1510515.故选 C. 答案 C 5.(2020 湖南师大附中模拟)从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期 日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人 参加，则不同的选派方法共有( ) A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 解析 根据题意，首先从 5 人中抽取 2 人在星期五参加活动，有 C25种情况.再从 剩下的 3 人中，抽取 2 人安排在星期六、星期日参加活动，有 A23种情况.则由分 步乘法计数原理，可得不同的选派方法共有 C25
5、A2360(种).故选 B. 答案 B 6.(x2ax2y)5的展开式中 x5y2的系数为 240，则实数 a 的值为( ) A.2 B.1 C.1 D.2 解析 (x2ax2y)5(x2ax)2y5的展开式的通项Tr1Cr5 (x2ax)5 r (2y)r Cr5 2r (x2ax)5 r yr.当 r2 时，Cr 5 2r (x2ax)5 r yrC2 5 22 (x2ax)3 y240 x3(x a)3y2，且(xa)3的展开式中 x2项的系数为C13(a)13a.依题意有40(3a) 240，解得 a2. 答案 A 7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼
6、”， 礼节，即今德育；“乐”，音乐，即今美育；“射”和“御”，射箭和驾驭马车 的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学. 某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课 有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相 邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( ) A.18 种 B.36 种 C.72 种 D.144 种 解析 由题意分析“射”和“御”排或不排在最后分两种情况讨论. 当“射”或“御”排在最后时，“射”和“御”有2种排法，即A22种，余下三 种才能共有 A33种排法，故此时共有 A22A3312(种)排法；
7、 当“射”和“御”均不在最后时，“射”和“御”共有 326(种)排法，中 间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有 2 种排法，余下两个位置排最 后的两个基本才能，有 A22种排法，故共有 62A2224(种)排法.综合得， “六艺”讲座不同的排课顺序共有 36 种. 答案 B 8.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算珠分为左、右两 部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记 上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c.例如，图中上档的数字和 a9.若 a， b，c 成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( ) A.12 B.24 C.
8、16 D.32 解析 由题意可知，a，b，c7，14，当 a，b，c 相等时，有 8 种计数法；当 a，b，c组成公差为 1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为 2 的等差数列时，有 8 种计数法；当 a，b，c 组成公差为 3 的等差数列时，有 4 种计数法.综上，计数法共有 8128432(种). 答案 D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 石家庄一模)下列四个命题为真命题的是( ) A.C97 100162 700
9、B.C39C29C310 C.C18C28C38C48C58C68C78254 D.(12x)10的展开式中二项式系数最大的项是13579 5！ (4x)5 解析 C97 100C31001009998 321 161 700，A 错误； 由组合数的性质 Cm nCm 1 n Cm n1，知 C39C29C310，B 正确； C18C28C38C48C58C68C7828C08C882562254，C 正确； (1 2x)10的 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是 109876 5！ (2x)5 13579 5！ (4x)5，D 正确.故选 BCD. 答案 BCD 10.(
10、2020 北京模拟)已知二项式 ax 1 x 6 ，则下列说法正确的是( ) A.若 a1，则展开式中的常数项为 15 B.若 a2，则展开式中各项系数之和为 1 C.若展开式中的常数项为 60，则 a2 D.若展开式中各项系数之和为 64，则 a2 解析 因为 ax 1 x 6 的展开式的通项公式为 Tk1Ck6a6 kx6k (1)kxk 2C k 6a6 k(1)kx63 2k，令 6 3 2k0，得 k4，所以展开式中的常数项为 C 4 6a6 4(1)4 15a2，若 a1，则展开式中的常数项为 15，A 正确；若展开式中的常数项为 60，则 15a260，得 a 2，C 不正确；若
11、 a2，则展开式中各项系数之和为(a 1)61，B正确；若展开式中各项系数之和为64，即(a1)664，得a1或 a3，D 不正确.故选 AB. 答案 AB 11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、 小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确 的是( ) A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有 54种 B.若每项工作至少安排一人，则有 240 种不同的方案 C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有 60 种不同的方案 D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、 服务工作，则有 12 种不同的
12、方案 解析 若五人每人任选一项工作，则每人均有 4 种不同的选法，不同的选法有 45 种，A 不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按 2111 分成四 组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有 C25A44240(种)，B 正确；若礼仪工 作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位， 其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有 C25A3360(种)，C 正 确；若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼 仪、服务工作，则不同的方案有 A22A2312(种)，D 正确.故选 BCD. 答案 BCD 12.(2020 济南检测)设( x
13、33y)n的二项展开式中各项系数之和为 M，二项式系 数之和为 N，若 M2N960，则下列结论中正确的是( ) A.n5 B.M25 C.N25 D.二项展开式中 xy 的系数为 270 解析 根据题意，令 x1，y1，得 M4n，N2n，M2N4n2 2n (2n)22 2n960，2n32，n5.M45，N25，( x33y)5的二项展开 式的通项公式 Tk1Ck5x 5k 2 (3y 1 3) kCk 5 3k x 5k 2 y k 3(k0，1，2，3，4，5)，令k 31， 5k 2 1，得k3，二项展开式中xy的系数为C35331027270.故选ACD. 答案 ACD 三、填空
14、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(2020 漳州适应性测试)若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且 a1a2 a663，则实数 m_. 解析 令 x1，则(1m)6a0a1a2a3a4a5a663a0. 令 x0，则 a01，所以(1m)664，则 m1 或 m3. 答案 1 或3 14.(2020 全国卷)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种. 解析 将 4 名同学分成人数为 2，1，1 的 3 组有 C246 种分法，再将 3 组同学分 到 3 个小区共有 A336
15、种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6636 种. 答案 36 15.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建 有“三纵一横”4 条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道， 如图所示.若有 2 架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有 _种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有 1 条跑道被选取，有 _种不同的安排方法.(用数字作答)(本小题第一空 2 分，第二空 3 分) 解析 若有 2 架飞往不同目的地的飞机要从 4 条不同跑道同时起飞，有 A2412 种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有A24A2
16、2 10 种不同的安排方法. 答案 12 10 16.(2020 青岛质检)已知 aN，二项式 xa1 x 6 的展开式中含有 x2项的系数不 大于 240，记 a 的取值集合为 A，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数 共有_个. 解析 二项式 xa1 x 6 的展开式的通项公式为 Tr1Cr6 (a1)r x6 2r.令 62r 2，得 r2，可得展开式中含有 x2项的系数为 C26(a1)215(a1)2240，解得 5a3.因为aN，所以a的取值为0，1，2，3，即A0，1，2，3，则由 集合 A 中的元素构成的无重复数字的三位数共 A13A2333218(个). 答案 18
