1、 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 1.(2020 全国卷)已知 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的 距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 设 A(x,y),由抛物线的定义知,点 A 到准线的距离为 12,即 xp 212. 又因为点 A 到 y 轴的距离为 9,即 x9, 所以 9p 212,解得 p6.故选 C. 答案 C 2.(2020 全国卷)设 O 为坐标原点,直线 x2 与抛物线 C:y22px(p0)交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为( ) A. 1 4,0 B. 1
2、 2,0 C.(1,0) D.(2,0) 解析 将 x2 与抛物线方程 y22px 联立, 可得 y 2 p, 不妨设 D(2,2 p),E(2,2 p), 由 ODOE,可得OD OE 44p0,解得 p1, 所以抛物线 C 的方程为 y22x.其焦点坐标为 1 2,0 .故选 B. 答案 B 3.(2020 全国卷)设F1,F2是双曲线C:x2y 2 31的两个焦点,O为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|2,则PF1F2的面积为( ) A.7 2 B.3 C.5 2 D.2 解析 法一 由题知 a1,b 3,c2,F1(2,0),F2(2,0), 如图,因为|OF1|OF2|OP|2
3、,所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上,故 PF1PF2,则|PF1|2|PF2|2(2c)216. 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4,所 以|PF1|PF2|6, 所以PF1F2的面积为1 2|PF1|PF2|3.故选 B. 法二 由双曲线的方程可知,双曲线的焦点 F1,F2在 x 轴上,且|F1F2|2 13 4.设点 P 的坐标为(x0,y0),则 x2 0y 2 0 31, x20y202, 解得|y0|3 2. 所以PF1F2的面积为1 2|F1F2| |y0| 1 24 3 23.故选 B. 答案 B 4.(2020 全
4、国卷)已知椭圆 C1:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点 重合,C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A,B 两点, 交 C2于 C,D 两点,且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率; (2)设 M 是 C1与 C2的公共点.若|MF|5,求 C1与 C2的标准方程. 解 (1)由已知可设 C2的方程为 y24cx,其中 c a2b2. 不妨设 A,C 在第一象限,由题设得 A,B 的纵坐标分别为b 2 a ,b 2 a ;C,D 的纵 坐标分别为 2c,2c,故|AB|2b 2 a ,|CD|4c. 由|CD
5、|4 3|AB|得 4c 8b2 3a ,即 3c a22 c a 2 . 解得c a2(舍去)或 c a 1 2. 所以 C1的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c,b 3c,故 C1: x2 4c2 y2 3c21. 设 M(x0,y0),则 x20 4c2 y20 3c21,y 2 04cx0, 故 x20 4c2 4x0 3c 1. 因为 C2的准线为 xc,所以|MF|x0c, 又|MF|5,故 x05c, 代入得(5c) 2 4c2 4(5c) 3c 1, 即 c22c30,解得 c1(舍去)或 c3. 所以 C1的标准方程为x 2 36 y2 271, C2的标准方程为 y
6、212x. 考 点 整 合 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (3)抛物线:|MF|d(d 为 M 点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:x 2 a2 y2 b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(ab0)(焦点在 y 轴 上); (2)双曲线:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(a0,b0)(焦点 在 y 轴上); (3)抛物线
7、:y22px,y22px,x22py,x22py(p0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 在椭圆中:a2b2c2;离心率为 ec a 1b 2 a2. 在双曲线中:c2a2b2;离心率为 ec a 1b 2 a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y b ax;焦点坐标 F1(c,0), F2(c,0). 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y a bx,焦点坐标 F1(0,c), F2(0,c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦
8、点 F p 2,0 ,准线方程 x p 2. 抛物线 x22py(p0)的焦点 F 0,p 2 ,准线方程 yp 2. 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为 k,直线与圆锥曲线 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2 1 1 k2 (y1y2)24y1y2. (2)过抛物线焦点的弦 抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2p 2 4 ,y1y2 p2,弦长|AB|x1x2p. 热点一 圆锥曲线的定义及标准方程 【例 1】
9、(1)(2020 浙江卷)已知点 O(0,0),A(2,0),B(2,0).设点 P 满足|PA| |PB|2,且 P 为函数 y3 4x2图象上的点,则|OP|( ) A. 22 2 B.4 10 5 C. 7 D. 10 (2)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0),F2(1,0),过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点. 若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则 C 的方程为( ) A.x 2 2y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 5 y2 41 解析 (1)由|PA|PB|2|AB|4,得点 P 的轨迹是双曲线的右支.又 a1,c 2,
10、知 b2c2a23.故点 P 的轨迹方程为 x2y 2 31(x1),由于 y3 4x 2 ,联立,得 x213 4 ,y227 4 ,故|OP|x2y2 10. (2)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0).连接 F1A,令|F2B|m,则|AF2|2m, |BF1|3m. 由椭圆定义,4m2a,得 ma 2, 故|F2A|F1A|a,则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点. 如图,不妨设 A(0,b),依题意,AF2 2F2B ,得 B 3 2, b 2 . 由点 B 在椭圆上,得 9 4 a2 b2 4 b21, 得 a23,b2a2c22,椭圆 C 的方程为x 2 3
11、y2 21. 答案 (1)D (2)B 探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程,另外注 意焦点在不同的坐标轴上,椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是 指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的 值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【训练 1】 (1)(2020 天津卷)设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0,b0),过抛物 线 y24x 的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近 线与
12、l 垂直,则双曲线 C 的方程为( ) A.x 2 4 y2 41 B.x2y 2 41 C.x 2 4y 21 D.x2y21 (2)(2020 长郡中学检测)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,点 M(x0, 6 6) x0p 2 是抛物线上一点,以 M为圆心的圆与直线xp 2交于A,B两点(A在B 的上方),若 sinMFA5 7,则此抛物线的方程为_. 解析 (1)由 y24x,知焦点坐标为(1,0),则过点(1,0)和点(0,b)的直线方程 为 xy b1. 易知x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 x a y b0 和 x a y b0. 由l与一条渐近线平行,与一条
13、渐近线垂直,得a1,b1.故双曲线C的方程为 x2y21. (2)如图所示,过 M 点作 CMAF,垂足为 C,交准线于 D, sinMFA5 7 |MC| |MF|. 由抛物线定义|MF|MD|x0p 2, |MC| |MF| x0p 2 x0p 2 5 7, 得 x03p. 点 M(x0,6 6) x0p 2 是抛物线上一点, (6 6)22px0,3666p2,p6,y212x. 答案 (1)D (2)y212x 热点二 圆锥曲线的几何性质 【例 2】 (1)(2020 全国卷)已知 F 为双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点, A 为 C 的右顶点,B 为 C
14、上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的 离心率为_. (2)已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直 线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若F1A AB ,F 1B F2B 0,则 C 的离心 率为_. 解析 (1)设 B(c,yB),因为 B 为双曲线 C:x 2 a2 y2 b21 上的点,所以 c2 a2 y2B b21, 所以 y2Bb 4 a2,则 yB b2 a . 因为 AB 的斜率为 3, 所以 b2 a ca3,则 b 23ac3a2. 所以 c2a23ac3a2,所以 c2
15、3ac2a20,解得 ca(舍去)或 c2a. 所以 C 的离心率 ec a2. (2)因为F1B F2B 0,所以 F1BF2B,如图. 所以|OF1|OB|, 所以BF1OF1BO, 所以BOF22BF1O. 因为F1A AB ,所以点 A 为 F 1B 的中点, 又点 O 为 F1F2的中点,所以 OABF2, 所以 F1BOA. 因为直线 OA,OB 为双曲线 C 的两条渐近线, 所以 tanBF1O 1 tanAOF1 a b,tanBOF2 b a. 因为 tanBOF2tan(2BF1O),所以b a 2a b 1 a b 2, 所以 b23a2,所以 c2a23a2,即 2ac
16、. 所以双曲线的离心率 ec a2. 答案 (1)2 (2)2 探究提高 1.第(1)题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由y2B b4 a2得yB b2 a ;二是将双曲线中a,b,c的关系式与椭圆中a,b,c的关系式搞混. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于 a,b,c 的 等量关系或不等关系,然后用 a,c 代换 b,进而求c a的值. 3.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a或 a b的值,也可将双曲线方程中等号右边的 “1”变为“0”,然后因式分解得到. 【训练 2】 (1)(多选题)(2020 青岛统测)已知椭圆 :x 2 a2 y2 b2
17、1(ab0),则下列 结论正确的是( ) A.若 a2b,则椭圆 的离心率为 2 2 B.若椭圆 的离心率为1 2,则 b a 3 2 C.若点 F1,F2分别为椭圆 的左、右焦点,直线 l 过点 F1且与椭圆 交于 A,B 两点,则ABF2的周长为 4a D.若点 A1,A2分别为椭圆 的左、右顶点,点 P 为椭圆 上异于点 A1,A2的任 意一点,则直线 PA1,PA2的斜率之积为b 2 a2 (2)(多选题)(2020 德州质检)双曲线 C:x 2 4 y2 21 的右焦点为 F,点 P 在双曲线 C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,则下列说法正确的是( ) A.双曲线 C 的离心率为
18、6 2 B.双曲线y 2 4 x2 81 与双曲线 C 的渐近线相同 C.若 POPF,则PFO 的面积为 2 D.|PF|的最小值为 2 解析 (1)若 a2b,则 c 3b,所以 e 3 2 ,A 不正确;若 e1 2,则 a2c,b 3c,所以b a 3 2 ,B正确;根据椭圆的定义易知C正确;设点P(x0,y0),则x 2 0 a2 y20 b21,易知 A1(a,0),A2(a,0),所以直线 PA1,PA2 的斜率之积是 y0 x0a y0 x0a y20 x20a2 b2 1x 2 0 a2 x20a2 b 2 a2,D 正确.故选 BCD. (2)对于 A,因为 a2,b 2,
19、所以 ca2b2 6,所以双曲线 C 的离心率 为 6 2 ,所以A正确;对于B,它们的渐近线都是直线y 2 2 x,所以B正确;对 于 C,结合 POPF,点 P 在双曲线 C 的一条渐近线上,不妨设点 P 在渐近线 y 2 2 x 上,则直线 PF 的方程为 y0 2(x 6),即 y 2(x 6),由 y 2(x 6), y 2 2 x, 解得 x2 6 3 , y2 3 3 , 所以点 P 2 6 3 ,2 3 3 ,所以PFO 的面 积 S1 2 6 2 3 3 2,所以 C 正确;对于 D,因为点 F( 6,0),双曲线 C 的 一条渐近线为直线y 2 2 x,所以|PF|的最小值
20、就是点F到渐近线的距离,为 2, 所以 D 错误.故选 ABC. 答案 (1)BCD (2)ABC 热点三 有关弦的中点、弦长问题 【例 3】 (2019 全国卷)已知抛物线 C:y23x 的焦点为 F,斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4,求 l 的方程; (2)若AP 3PB,求|AB|. 解 设直线 l:y3 2xt,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得 F 3 4,0 ,故|AF|BF|x1x2 3 2. 又|AF|BF|4,所以 x1x25 2. 由 y3 2xt, y23x 可得 9x212(t1)x4
21、t20, 其中 144(12t)0,即 t0). 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3PB可得 y 13y2. 由 y3 2xt, y23x 可得 y22y2t0,所以 y1y22. 由联立,得 y13,且 y21. 代入 C 的方程得 x13,x21 3. 故|AB| (x1x2)2(y1y2)24 13 3 . 探究提高 1.涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB| 1k2|x2x1|,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲 线的定义求解,以简化运算,当 A,B 两点坐标易求时也可以直接用|AB| (x1x2)2(y1y2)2求解.
22、 2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系 数的关系时,要注意使用条件 0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线 是否相交. 【训练 3】 (2020 衡水质检)已知椭圆 C:x 2 6 y2 51 的左、右焦点分别为 F1,F2, 过点 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)若F1AB 的面积为20 3 11 ,求直线 l 的方程; (2)若BF2 2F2A ,求|AB|. 解 (1)当直线 l 斜率为 0 时,不满足题意. 当直线 l 斜率不为 0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线 l 的方程为 xmy1, 代入椭圆 C
23、 的方程消去 x, 得(5m26)y210my250, 0mR, 由根与系数的关系得 y1y2 10m 5m26, y1y2 25 5m26, 则 SF1AB1 2|F1F2| |y1y2| 1 22 (y1y2) 24y1y2 100m2 (5m26)24 (25) 5m26 20 3 11 . 整理得 50m4m2490, 解得 m21 或 m249 50(舍去), 故直线 l 的方程为 x y10. (2)若BF2 2F2A ,则(1x2,y2)2(x11,y1), 所以 y22y1. 代入上式得 y1 10m 5m26,2y 2 1 25 5m26, 消去 y1,得 2 10m 5m2
24、6 2 25 5m26,解得 m 2, 所以|AB| 1m2|y1y2| 3|y1y2|3 3|y1|3 3 10 2 526 15 6 8 . 热点四 与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题 【例 4】 (2020 北京卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21 过点 A(2,1),且 a2b. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 B(4,0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N,直线 MA,NA 分别交直线 x 4 于点 P,Q,求|PB| |BQ|的值. 解 (1)由椭圆过点 A(2,1),得 4 a2 1 b21. 又 a2b, 4 4b2 1 b21,解得 b 22, a24
25、b28,椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 21. (2)当直线 l 的斜率不存在时,显然不合题意. 设直线 l:yk(x4), 由 yk(x4), x24y28 得(4k21)x232k2x64k280. 由 0,得1 2k 1 2. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1x232k 2 4k21,x1x2 64k28 4k21 . 又直线 AM:y1y 11 x12(x2), 令 x4,得 yP2(y 11) x12 1. 将 y1k(x14)代入,得 yP(2k1)(x 14) x12 . 同理 yQ(2k1)(x 24) x22 . yPyQ(2k1) x14 x12 x2
26、4 x22 (2k1) 2x1x26(x1x2)16 (x12)(x22) (2k1) 2(64k28) 4k21 6(32k 2) 4k21 16 (x12)(x22) (2k1)128k 216192k264k216 (4k21)(x12)(x22)0. |PB|BQ|,|PB| |BQ|1. 探究提高 1.求解此类问题往往要设出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立, 利用根与系数的关系求解. 2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次 项系数不为 0. 【训练 4】 (2020 天津卷)已
27、知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(0,3), 右焦点为 F,且|OA|OF|,其中 O 为原点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 C 满足 3OC OF ,点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P,且 P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程. 解 (1)由已知得 b3.记半焦距为 c, 由|OF|OA|,得 cb3. 由 a2b2c2,得 a218. 所以椭圆的方程为 x2 18 y2 91. (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P,所以 ABCP. 依题意,直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在
28、, 设直线 AB 的方程为 ykx3. 联立 ykx3, x2 18 y2 91, 消去 y,可得(2k21)x212kx0, 解得 x0 或 x 12k 2k21. 依题意,可得点 B 的坐标为 12k 2k21, 6k23 2k21 . 因为 P 为线段 AB 的中点,点 A 的坐标为(0,3), 所以点 P 的坐标为 6k 2k21, 3 2k21 . 由 3OC OF ,得点 C 的坐标为(1,0), 故直线 CP 的斜率 kCP 3 2k210 6k 2k211 3 2k26k1. 又因为 ABCP,所以 k 3 2k26k11, 整理得 2k23k10, 解得 k1 2或 k1.
29、所以,直线 AB 的方程为 y1 2x3 或 yx3. 即直线 AB 的方程为 x2y60 或 xy30. A 级 巩固提升 一、选择题 1.(2020 北京卷)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的一点,过 P 作 PQl 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 解析 如图所示,连接 PF,则|PF|PQ|,QF 的垂直平分线过点 P.故选 B. 答案 B 2.(多选题)(2020 新高考山东、海南卷)已知曲线 C:mx2ny21,则下列结论正 确的是( ) A.若 mn0,则 C
30、 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B.若 mn0,则 C 是圆,其半径为 n C.若 mn0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 ym nx D.若 m0,n0,则 C 是两条直线 解析 对于 A,当 mn0 时,有1 n 1 m0,方程化为 x2 1 m y 2 1 n 1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,故 A 正确; 对于 B,由 mn0,方程变形为 x2y21 n,该方程表示半径为 1 n的圆,B 错 误; 对于 C,由 mn0 知曲线表示双曲线,其渐近线方程为 ym nx,C 正确; 对于 D,当 m0,n0 时,方程变为 ny21 表示两条直线,D 正确. 答案 ACD 3.(多选题)(20
31、20 青岛一模)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,直线l的斜率 为 3且经过点 F,直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点(点 A 在第一象限),与抛物 线的准线交于点 D,若|AF|8,则以下结论正确的是( ) A.p4 B.DF FA C.|BD|2|BF| D.|BF|4 解析 如图,分别过点 A,B 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足分别为点 E,M, 连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P,则|PF|p,由直线 l 的斜率为 3,可 得其倾斜角为 60 .AEx 轴, EAF60 .由抛物线的定义可知,|AE|AF|,则AEF 为等边三角形, PEF30 ,
32、|AF|EF|2|PF|2p8,得 p4,A 正确. |AE|2|PF|,PFAE,F 为 AD 的中点,则DF FA ,B 正确.又DAE 60 ,ADE30 , |BD|2|BM|2|BF|,C 正确. 由 C 选项知|BF|1 3|DF| 1 3|AF| 8 3,D 错误.故选 ABC. 答案 ABC 4.(2020 东北三省三校联考)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且有PF1 PF2 0,若点 P 到 x 轴的距离为1 4|F1F2|,则 双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析 因为PF1
33、PF2 0,所以 PF1PF2, 则F1PF290 ,|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2. 由双曲线定义,得|PF1|PF2| 2a,|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4a2. 因此 2(c2a2)|PF1| |PF2|, 在 RtPF1F2中,|PF1| |PF2|1 4|F1F2| |F1F2|c 2. 代入式,得 2(c2a2)c2,则 c22a2, 故双曲线的离心率 ec a c2 a2 2. 答案 A 5.(2020 成都诊断)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0),F1,F2 分别为椭圆的左右焦 点,若椭圆 C 上存在点 P(x0,y0)(x00
34、)使得PF1F230 ,则椭圆的离心率的取 值范围为( ) A. 0,1 2 B. 0, 3 2 C. 1 2,1 D. 3 2 ,1 解析 依题设 x00 时,当点 P 在椭圆的上(下)顶点时,PF1F2最大. 若在椭圆 C 上存在 P(x0,y0)(x00)使得PF1F230 , 则 90 (PF1F2)max30 , tan(PF1F2)maxtan 30 3 3 , 则b c 3 3 ,即 b 3 3 c. 又 a2b2c2,得 3a24c2, 所以 ec a c2 a2 3 4 3 2 . 故椭圆离心率的取值范围为 0, 3 2 . 答案 B 二、填空题 6.(2020 北京卷)已知
35、双曲线 C:x 2 6 y2 31,则 C 的右焦点的坐标为_; C 的焦点到其渐近线的距离是_. 解析 由x 2 6 y2 31,得c 2a2b29,解得c3,又焦点在x轴上,所以双曲线 C 的右焦点坐标为(3,0). 双曲线的一条渐近线方程为 y 3 6x,即 x 2y0, 所以焦点(3,0)到渐近线的距离为 d 3 12( 2)2 3. 答案 (3,0) 3 7.(2020 全国卷改编)设双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 5.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a _. 解析 法一 设|PF1|m
36、,|PF2|n,P 为双曲线右支上一点,则 SPF1F21 2mn 4,mn2a,m2n24c2,从而 c2a24,又 ec a 5,从而 a1. 法二 由题意得,SPF1F2 b2 tan 45 4,得 b24, 又 e2c 2 a25,c 2a2b2,所以 a1. 答案 1 8.设 F1,F2为椭圆 C: x2 36 y2 201 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若 MF1F2为等腰三角形,则 M 的坐标为_. 解析 不妨设 F1,F2分别为椭圆 C 的左、右焦点,则|MF1|MF2|,|F1F2|2c 2 36208, 因为MF1F2是等腰三角形, |MF1|MF2|,且|M
37、F1|MF2|2a12, 所以|MF1|6,|MF2|0,b0)的右焦点,O 为坐标原 点,以OF为直径的圆与圆 x2y2a2交于P,Q两点.若|PQ|OF|,则 C 的离心 率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析 设双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点 F 的坐标为(c,0).由圆的对称 性及条件|PQ|OF|可知,PQ 是以 OF 为直径的圆的直径,且 PQOF.设垂足为 M,连接 OP,如图,则|OP|a,|OM|MP|c 2.在 RtOPM 中,|OM| 2|MP|2 |OP|2得 c 2 2 c 2 2 a2,故c a 2,即 e 2. 答案
38、A 12.(2020 郑州调研)设中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点 1, 3 2 ,且离心 率为 3 2 ,F 为 E 的右焦点,P 为 E 上一点,PFx 轴,圆 F 的半径为 PF. (1)求椭圆 E 和圆 F 的方程; (2)若直线 l:yk(x 3)(k0)与圆 F 交于 A,B 两点,与椭圆 E 交于 C,D 两 点,其中 A,C 在第一象限,是否存在 k 使|AC|BD|?若存在,求 l 的方程;若 不存在,说明理由. 解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 椭圆的离心率 e 3 2 ,c a 3 2 , a2b2c2,a2b, 将点
39、 1, 3 2 代入椭圆的方程得 1 a2 3 4b21, 联立 a2b,解得 a2 且 b1. 椭圆 E 的方程为x 2 4y 21. F( 3,0),PFx 轴,P 3, 1 2 , 圆 F 的半径为1 2,圆心为( 3,0), 圆 F 的方程为(x 3)2y21 4. (2)由 A,B 在圆上得|AF|BF|PF|1 2. 设点 C(x1,y1),D(x2,y2). |CF|(x1 3)2y212 3 2 x1, 同理|DF|2 3 2 x2. 若|AC|BD|,则|AC|BC|BD|BC|, 即|AB|CD|1, 4 3 2 (x1x2)1, 由 x 2 4y 21, yk(x 3), 得(4k21)x28 3k2x12k240, x1x2 8 3k2 4k21,4 12k2 4k211, 得 12k212k23,无解,故不存在.