1、 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 1.(2020 全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的 距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 设 A(x，y)，由抛物线的定义知，点 A 到准线的距离为 12，即 xp 212. 又因为点 A 到 y 轴的距离为 9，即 x9， 所以 9p 212，解得 p6.故选 C. 答案 C 2.(2020 全国卷)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px(p0)交于 D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为( ) A. 1 4，0 B. 1
2、 2，0 C.(1，0) D.(2，0) 解析 将 x2 与抛物线方程 y22px 联立， 可得 y 2 p， 不妨设 D(2，2 p)，E(2，2 p)， 由 ODOE，可得OD OE 44p0，解得 p1， 所以抛物线 C 的方程为 y22x.其焦点坐标为 1 2，0 .故选 B. 答案 B 3.(2020 全国卷)设F1，F2是双曲线C：x2y 2 31的两个焦点，O为坐标原点， 点 P 在 C 上且|OP|2，则PF1F2的面积为( ) A.7 2 B.3 C.5 2 D.2 解析 法一 由题知 a1，b 3，c2，F1(2，0)，F2(2，0)， 如图，因为|OF1|OF2|OP|2
3、，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上，故 PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2(2c)216. 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所 以|PF1|PF2|6， 所以PF1F2的面积为1 2|PF1|PF2|3.故选 B. 法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点 F1，F2在 x 轴上，且|F1F2|2 13 4.设点 P 的坐标为(x0，y0)，则 x2 0y 2 0 31， x20y202， 解得|y0|3 2. 所以PF1F2的面积为1 2|F1F2| |y0| 1 24 3 23.故选 B. 答案 B 4.(2020 全
4、国卷)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点 重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点， 交 C2于 C，D 两点，且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率； (2)设 M 是 C1与 C2的公共点.若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程. 解 (1)由已知可设 C2的方程为 y24cx，其中 c a2b2. 不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为b 2 a ，b 2 a ；C，D 的纵 坐标分别为 2c，2c，故|AB|2b 2 a ，|CD|4c. 由|CD
5、|4 3|AB|得 4c 8b2 3a ，即 3c a22 c a 2 . 解得c a2(舍去)或 c a 1 2. 所以 C1的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c，b 3c，故 C1： x2 4c2 y2 3c21. 设 M(x0，y0)，则 x20 4c2 y20 3c21，y 2 04cx0， 故 x20 4c2 4x0 3c 1. 因为 C2的准线为 xc，所以|MF|x0c， 又|MF|5，故 x05c， 代入得（5c） 2 4c2 4（5c） 3c 1， 即 c22c30，解得 c1(舍去)或 c3. 所以 C1的标准方程为x 2 36 y2 271， C2的标准方程为 y
6、212x. 考 点 整 合 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(ab0)(焦点在 y 轴 上)； (2)双曲线：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)(焦点 在 y 轴上)； (3)抛物线
7、：y22px，y22px，x22py，x22py(p0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 在椭圆中：a2b2c2；离心率为 ec a 1b 2 a2. 在双曲线中：c2a2b2；离心率为 ec a 1b 2 a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax；焦点坐标 F1(c，0)， F2(c，0). 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y a bx，焦点坐标 F1(0，c)， F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦
8、点 F p 2，0 ，准线方程 x p 2. 抛物线 x22py(p0)的焦点 F 0，p 2 ，准线方程 yp 2. 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲线 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 1 1 k2 （y1y2）24y1y2. (2)过抛物线焦点的弦 抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p 2 4 ，y1y2 p2，弦长|AB|x1x2p. 热点一 圆锥曲线的定义及标准方程 【例 1】
9、(1)(2020 浙江卷)已知点 O(0，0)，A(2，0)，B(2，0).设点 P 满足|PA| |PB|2，且 P 为函数 y3 4x2图象上的点，则|OP|( ) A. 22 2 B.4 10 5 C. 7 D. 10 (2)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点. 若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( ) A.x 2 2y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 5 y2 41 解析 (1)由|PA|PB|2|AB|4，得点 P 的轨迹是双曲线的右支.又 a1，c 2，
10、知 b2c2a23.故点 P 的轨迹方程为 x2y 2 31(x1)，由于 y3 4x 2 ，联立，得 x213 4 ，y227 4 ，故|OP|x2y2 10. (2)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0).连接 F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m， |BF1|3m. 由椭圆定义，4m2a，得 ma 2， 故|F2A|F1A|a，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点. 如图，不妨设 A(0，b)，依题意，AF2 2F2B ，得 B 3 2， b 2 . 由点 B 在椭圆上，得 9 4 a2 b2 4 b21， 得 a23，b2a2c22，椭圆 C 的方程为x 2 3
11、y2 21. 答案 (1)D (2)B 探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注 意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是 指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的 值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【训练 1】 (1)(2020 天津卷)设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过抛物 线 y24x 的焦点和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近 线与
12、l 垂直，则双曲线 C 的方程为( ) A.x 2 4 y2 41 B.x2y 2 41 C.x 2 4y 21 D.x2y21 (2)(2020 长郡中学检测)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 M(x0， 6 6) x0p 2 是抛物线上一点，以 M为圆心的圆与直线xp 2交于A，B两点(A在B 的上方)，若 sinMFA5 7，则此抛物线的方程为_. 解析 (1)由 y24x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程 为 xy b1. 易知x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 x a y b0 和 x a y b0. 由l与一条渐近线平行，与一条
13、渐近线垂直，得a1，b1.故双曲线C的方程为 x2y21. (2)如图所示，过 M 点作 CMAF，垂足为 C，交准线于 D， sinMFA5 7 |MC| |MF|. 由抛物线定义|MF|MD|x0p 2， |MC| |MF| x0p 2 x0p 2 5 7， 得 x03p. 点 M(x0，6 6) x0p 2 是抛物线上一点， (6 6)22px0，3666p2，p6，y212x. 答案 (1)D (2)y212x 热点二 圆锥曲线的几何性质 【例 2】 (1)(2020 全国卷)已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， A 为 C 的右顶点，B 为 C
14、上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的 离心率为_. (2)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直 线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点.若F1A AB ，F 1B F2B 0，则 C 的离心 率为_. 解析 (1)设 B(c，yB)，因为 B 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 上的点，所以 c2 a2 y2B b21， 所以 y2Bb 4 a2，则 yB b2 a . 因为 AB 的斜率为 3， 所以 b2 a ca3，则 b 23ac3a2. 所以 c2a23ac3a2，所以 c2
15、3ac2a20，解得 ca(舍去)或 c2a. 所以 C 的离心率 ec a2. (2)因为F1B F2B 0，所以 F1BF2B，如图. 所以|OF1|OB|， 所以BF1OF1BO， 所以BOF22BF1O. 因为F1A AB ，所以点 A 为 F 1B 的中点， 又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2， 所以 F1BOA. 因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线， 所以 tanBF1O 1 tanAOF1 a b，tanBOF2 b a. 因为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以b a 2a b 1 a b 2， 所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac
16、. 所以双曲线的离心率 ec a2. 答案 (1)2 (2)2 探究提高 1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由y2B b4 a2得yB b2 a ；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的 等量关系或不等关系，然后用 a，c 代换 b，进而求c a的值. 3.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a或 a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的 “1”变为“0”，然后因式分解得到. 【训练 2】 (1)(多选题)(2020 青岛统测)已知椭圆 ：x 2 a2 y2 b2
17、1(ab0)，则下列 结论正确的是( ) A.若 a2b，则椭圆 的离心率为 2 2 B.若椭圆 的离心率为1 2，则 b a 3 2 C.若点 F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点，直线 l 过点 F1且与椭圆 交于 A，B 两点，则ABF2的周长为 4a D.若点 A1，A2分别为椭圆 的左、右顶点，点 P 为椭圆 上异于点 A1，A2的任 意一点，则直线 PA1，PA2的斜率之积为b 2 a2 (2)(多选题)(2020 德州质检)双曲线 C：x 2 4 y2 21 的右焦点为 F，点 P 在双曲线 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( ) A.双曲线 C 的离心率为
18、6 2 B.双曲线y 2 4 x2 81 与双曲线 C 的渐近线相同 C.若 POPF，则PFO 的面积为 2 D.|PF|的最小值为 2 解析 (1)若 a2b，则 c 3b，所以 e 3 2 ，A 不正确；若 e1 2，则 a2c，b 3c，所以b a 3 2 ，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则x 2 0 a2 y20 b21，易知 A1(a，0)，A2(a，0)，所以直线 PA1，PA2 的斜率之积是 y0 x0a y0 x0a y20 x20a2 b2 1x 2 0 a2 x20a2 b 2 a2，D 正确.故选 BCD. (2)对于 A，因为 a2，b 2，
19、所以 ca2b2 6，所以双曲线 C 的离心率 为 6 2 ，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y 2 2 x，所以B正确；对 于 C，结合 POPF，点 P 在双曲线 C 的一条渐近线上，不妨设点 P 在渐近线 y 2 2 x 上，则直线 PF 的方程为 y0 2(x 6)，即 y 2(x 6)，由 y 2（x 6）， y 2 2 x， 解得 x2 6 3 ， y2 3 3 ， 所以点 P 2 6 3 ，2 3 3 ，所以PFO 的面 积 S1 2 6 2 3 3 2，所以 C 正确；对于 D，因为点 F( 6，0)，双曲线 C 的 一条渐近线为直线y 2 2 x，所以|PF|的最小值
20、就是点F到渐近线的距离，为 2， 所以 D 错误.故选 ABC. 答案 (1)BCD (2)ABC 热点三 有关弦的中点、弦长问题 【例 3】 (2019 全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 解 设直线 l：y3 2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得 F 3 4，0 ，故|AF|BF|x1x2 3 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4
21、t20， 其中 144(12t)0，即 t0). 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3PB可得 y 13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0，所以 y1y22. 由联立，得 y13，且 y21. 代入 C 的方程得 x13，x21 3. 故|AB| （x1x2）2（y1y2）24 13 3 . 探究提高 1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB| 1k2|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲 线的定义求解，以简化运算，当 A，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB| （x1x2）2（y1y2）2求解.
22、 2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系 数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线 是否相交. 【训练 3】 (2020 衡水质检)已知椭圆 C：x 2 6 y2 51 的左、右焦点分别为 F1，F2， 过点 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点. (1)若F1AB 的面积为20 3 11 ，求直线 l 的方程； (2)若BF2 2F2A ，求|AB|. 解 (1)当直线 l 斜率为 0 时，不满足题意. 当直线 l 斜率不为 0 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线 l 的方程为 xmy1， 代入椭圆 C
23、 的方程消去 x， 得(5m26)y210my250， 0mR， 由根与系数的关系得 y1y2 10m 5m26， y1y2 25 5m26， 则 SF1AB1 2|F1F2| |y1y2| 1 22 （y1y2） 24y1y2 100m2 （5m26）24 （25） 5m26 20 3 11 . 整理得 50m4m2490， 解得 m21 或 m249 50(舍去)， 故直线 l 的方程为 x y10. (2)若BF2 2F2A ，则(1x2，y2)2(x11，y1)， 所以 y22y1. 代入上式得 y1 10m 5m26，2y 2 1 25 5m26， 消去 y1，得 2 10m 5m2
24、6 2 25 5m26，解得 m 2， 所以|AB| 1m2|y1y2| 3|y1y2|3 3|y1|3 3 10 2 526 15 6 8 . 热点四 与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题 【例 4】 (2020 北京卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过点 A(2，1)，且 a2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x 4 于点 P，Q，求|PB| |BQ|的值. 解 (1)由椭圆过点 A(2，1)，得 4 a2 1 b21. 又 a2b， 4 4b2 1 b21，解得 b 22， a24
25、b28，椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 21. (2)当直线 l 的斜率不存在时，显然不合题意. 设直线 l：yk(x4)， 由 yk（x4）， x24y28 得(4k21)x232k2x64k280. 由 0，得1 2k 1 2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x232k 2 4k21，x1x2 64k28 4k21 . 又直线 AM：y1y 11 x12(x2)， 令 x4，得 yP2（y 11） x12 1. 将 y1k(x14)代入，得 yP（2k1）（x 14） x12 . 同理 yQ（2k1）（x 24） x22 . yPyQ(2k1) x14 x12 x2
26、4 x22 (2k1) 2x1x26（x1x2）16 （x12）（x22） (2k1) 2（64k28） 4k21 6（32k 2） 4k21 16 （x12）（x22） (2k1)128k 216192k264k216 （4k21）（x12）（x22）0. |PB|BQ|，|PB| |BQ|1. 探究提高 1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立， 利用根与系数的关系求解. 2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次 项系数不为 0. 【训练 4】 (2020 天津卷)已
27、知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(0，3)， 右焦点为 F，且|OA|OF|，其中 O 为原点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程. 解 (1)由已知得 b3.记半焦距为 c， 由|OF|OA|，得 cb3. 由 a2b2c2，得 a218. 所以椭圆的方程为 x2 18 y2 91. (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，所以 ABCP. 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在
28、， 设直线 AB 的方程为 ykx3. 联立 ykx3， x2 18 y2 91， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0 或 x 12k 2k21. 依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k21， 6k23 2k21 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，3)， 所以点 P 的坐标为 6k 2k21， 3 2k21 . 由 3OC OF ，得点 C 的坐标为(1，0)， 故直线 CP 的斜率 kCP 3 2k210 6k 2k211 3 2k26k1. 又因为 ABCP，所以 k 3 2k26k11， 整理得 2k23k10， 解得 k1 2或 k1.
29、所以，直线 AB 的方程为 y1 2x3 或 yx3. 即直线 AB 的方程为 x2y60 或 xy30. A 级 巩固提升 一、选择题 1.(2020 北京卷)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQl 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 解析 如图所示，连接 PF，则|PF|PQ|，QF 的垂直平分线过点 P.故选 B. 答案 B 2.(多选题)(2020 新高考山东、海南卷)已知曲线 C：mx2ny21，则下列结论正 确的是( ) A.若 mn0，则 C
30、 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B.若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C.若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 ym nx D.若 m0，n0，则 C 是两条直线 解析 对于 A，当 mn0 时，有1 n 1 m0，方程化为 x2 1 m y 2 1 n 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，由 mn0，方程变形为 x2y21 n，该方程表示半径为 1 n的圆，B 错 误； 对于 C，由 mn0 知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 ym nx，C 正确； 对于 D，当 m0，n0 时，方程变为 ny21 表示两条直线，D 正确. 答案 ACD 3.(多选题)(20
31、20 青岛一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率 为 3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物 线的准线交于点 D，若|AF|8，则以下结论正确的是( ) A.p4 B.DF FA C.|BD|2|BF| D.|BF|4 解析 如图，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E，M， 连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|p，由直线 l 的斜率为 3，可 得其倾斜角为 60 .AEx 轴， EAF60 .由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF 为等边三角形， PEF30 ，
32、|AF|EF|2|PF|2p8，得 p4，A 正确. |AE|2|PF|，PFAE，F 为 AD 的中点，则DF FA ，B 正确.又DAE 60 ，ADE30 ， |BD|2|BM|2|BF|，C 正确. 由 C 选项知|BF|1 3|DF| 1 3|AF| 8 3，D 错误.故选 ABC. 答案 ABC 4.(2020 东北三省三校联考)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且有PF1 PF2 0，若点 P 到 x 轴的距离为1 4|F1F2|，则 双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析 因为PF1
33、PF2 0，所以 PF1PF2， 则F1PF290 ，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2. 由双曲线定义，得|PF1|PF2| 2a，|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4a2. 因此 2(c2a2)|PF1| |PF2|， 在 RtPF1F2中，|PF1| |PF2|1 4|F1F2| |F1F2|c 2. 代入式，得 2(c2a2)c2，则 c22a2， 故双曲线的离心率 ec a c2 a2 2. 答案 A 5.(2020 成都诊断)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2 分别为椭圆的左右焦 点，若椭圆 C 上存在点 P(x0，y0)(x00
34、)使得PF1F230 ，则椭圆的离心率的取 值范围为( ) A. 0，1 2 B. 0， 3 2 C. 1 2，1 D. 3 2 ，1 解析 依题设 x00 时，当点 P 在椭圆的上(下)顶点时，PF1F2最大. 若在椭圆 C 上存在 P(x0，y0)(x00)使得PF1F230 ， 则 90 (PF1F2)max30 ， tan(PF1F2)maxtan 30 3 3 ， 则b c 3 3 ，即 b 3 3 c. 又 a2b2c2，得 3a24c2， 所以 ec a c2 a2 3 4 3 2 . 故椭圆离心率的取值范围为 0， 3 2 . 答案 B 二、填空题 6.(2020 北京卷)已知
35、双曲线 C：x 2 6 y2 31，则 C 的右焦点的坐标为_； C 的焦点到其渐近线的距离是_. 解析 由x 2 6 y2 31，得c 2a2b29，解得c3，又焦点在x轴上，所以双曲线 C 的右焦点坐标为(3，0). 双曲线的一条渐近线方程为 y 3 6x，即 x 2y0， 所以焦点(3，0)到渐近线的距离为 d 3 12（ 2）2 3. 答案 (3，0) 3 7.(2020 全国卷改编)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4，则 a _. 解析 法一 设|PF1|m
36、，|PF2|n，P 为双曲线右支上一点，则 SPF1F21 2mn 4，mn2a，m2n24c2，从而 c2a24，又 ec a 5，从而 a1. 法二 由题意得，SPF1F2 b2 tan 45 4，得 b24， 又 e2c 2 a25，c 2a2b2，所以 a1. 答案 1 8.设 F1，F2为椭圆 C： x2 36 y2 201 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若 MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_. 解析 不妨设 F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，则|MF1|MF2|，|F1F2|2c 2 36208， 因为MF1F2是等腰三角形， |MF1|MF2|，且|M
37、F1|MF2|2a12， 所以|MF1|6，|MF2|0，b0)的右焦点，O 为坐标原 点，以OF为直径的圆与圆 x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则 C 的离心 率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析 设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c，0).由圆的对称 性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c 2.在 RtOPM 中，|OM| 2|MP|2 |OP|2得 c 2 2 c 2 2 a2，故c a 2，即 e 2. 答案
38、A 12.(2020 郑州调研)设中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点 1， 3 2 ，且离心 率为 3 2 ，F 为 E 的右焦点，P 为 E 上一点，PFx 轴，圆 F 的半径为 PF. (1)求椭圆 E 和圆 F 的方程； (2)若直线 l：yk(x 3)(k0)与圆 F 交于 A，B 两点，与椭圆 E 交于 C，D 两 点，其中 A，C 在第一象限，是否存在 k 使|AC|BD|？若存在，求 l 的方程；若 不存在，说明理由. 解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 椭圆的离心率 e 3 2 ，c a 3 2 ， a2b2c2，a2b， 将点
39、 1， 3 2 代入椭圆的方程得 1 a2 3 4b21， 联立 a2b，解得 a2 且 b1. 椭圆 E 的方程为x 2 4y 21. F( 3，0)，PFx 轴，P 3， 1 2 ， 圆 F 的半径为1 2，圆心为( 3，0)， 圆 F 的方程为(x 3)2y21 4. (2)由 A，B 在圆上得|AF|BF|PF|1 2. 设点 C(x1，y1)，D(x2，y2). |CF|（x1 3）2y212 3 2 x1， 同理|DF|2 3 2 x2. 若|AC|BD|，则|AC|BC|BD|BC|， 即|AB|CD|1， 4 3 2 (x1x2)1， 由 x 2 4y 21， yk（x 3）， 得(4k21)x28 3k2x12k240， x1x2 8 3k2 4k21，4 12k2 4k211， 得 12k212k23，无解，故不存在.
