1、. 第第 20 章章 点的轨迹点的轨迹 【知识衔接】 初中知识回顾 初中阶段的动点问题主要为“动态几何问题”。 所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动 (包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四 边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形， 想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运
2、动过程中的各种情形；然后是 做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转 化为函数问题或方程问题解决 高中知识链接 高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题。 求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到, x y的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点?,P x y与某已知曲线? 00 ,0F x y?上一点? 00 ,Q x y存在某种关系，则可根据条件 用, x y表示出 00 ,x y，然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于, x y的方程来源:163文库 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨
3、迹形状，再通过确定相关曲线的 要素，求出曲线方程常见的曲线特征及要素有： 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角圆：若ABAC?，则A点在以BC为直径的圆上来源:学+科+网 Z+X+X+K 确定方程的要素：圆心坐标?, a b，半径r 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a，定点距离2c 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的 距离差为常数（小于定点距离） ，则为双曲线的一支 . 确定方程的要素：距离差的绝对值2a，定点距离2c 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的
4、距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线） ，则通过准线方程或焦点坐 标也可确定方程 【经典题型】 初中经典题型 1、如图，在ABC 中，AB=BC=8，AO=BO，点 M 是射线 CO 上的一个动点，AOC=60 ，则当ABM 为 直角三角形时，AM 的长为 【答案】4 3或4 7或 4 【分析】分三种情况讨论：当 M 在 AB 下方且AMB=90 时，当 M 在 AB 上方且AMB=90 时，当 ABM=90 时，分别根据含 30 直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求 解即可 三角形，AM=AO=
5、4； 如图 3，当ABM=90 时，BOM=AOC=60 ，BMO=30 ，MO=2BO=2 4=8，RtBOM 中， BM= 22 MOOB?=4 3，RtABM 中，AM= 22 ABBM?=4 7 综上所述，当ABM 为直角三角形时，AM 的长为4 3或4 7或 4故答案为：4 3或4 7或 4 . 【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明 2、如图，在等腰ABC 中，AB=AC=4cm，B=30 ，点 P 从点 B 出发，以3cm/s 的速度沿 BC 方向运动 到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向
6、运动到点 C 停止，若BPQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】作 AHBC 于 H，根据等腰三角形的性质得 BH=CH，利用B=30 可计算出 AH= 1 2 AB=2， BH=3AH=2 3，则 BC=2BH=4 3，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s， 然后分类讨论：当 0x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP=3x，DQ= 1 2 BQ= 1 2 x，利用三角形面 积公式得到 2 3 4 yx?；当 4x8 时，作
7、 QDBC 于 D，如图 2，CQ=8x，BP=4 3，DQ= 1 2 CQ= 1 2 （8 . x） ， 利用三角形面积公式得38 3yx?， 于是可得 0x4 时， 函数图象为抛物线的一部分， 当 4x8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D BDQ 中，DQ= 1 2 CQ= 1 2 （8x） ，y= 1 2 ? 1 2 （8x）?4 3，即38 3yx?，综上所述， 2 3 (04) 4 38 3(48) xx y xx ? ? ? ? ? ? ? 故选 D 【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明 3、如图，矩形 AOCB 的顶点 A、C 分
8、别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上，线段 OA、OC 的长度满足方程 15130xy?（OAOC） ，直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，将 BCN 沿直线 BN 折 叠，点 C 恰好落在直线 MN 上的点 D 处，且 tanCBD= 3 4 （1）求点 B 的坐标； （2）求直线 BN 的解析式； （3）将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移，求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运 动的时间 t（0t13）的函数关系式 . 【答案】 （1）B（15，13） ； （2） 1 8 3 yx?； （3） 2 15 (08) 3 3996
9、(813) 2 tt S ttt ? ? ? ? ? ? ? ? 【分析】 （1）由非负数的性质可求得 x、y 的值，则可求得 B 点坐标； （2）过 D 作 EFOA 于点 E，交 CB 于点 F，由条件可求得 D 点坐标，且可求得 OM ON = 3 4 ，结合 DEON，利用平行线分线段成比例可求得 OM 和 ON 的长，则可求得 N 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BN 的解析式； （3）设直线 BN 平移后交 y 轴 于点 N，交 AB 于点 B，当点 N在 x 轴上方时，可知 S 即为? BNNB的面积，当 N在 y 轴的负半轴上时，可 用 t 表示出直线 BN的解析式，设交 x
10、 轴于点 G，可用 t 表示出 G 点坐标，由 S=S四边形BNNBS OGN，可分 别得到 S 与 t 的函数关系式 【解答】 （3）设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N，交 AB 于点 B，分两种情况讨论： 当点 N在 x 轴上方，即 0t8 时，如图 2，由题意可知四边形 BNNB为平行四边形，且 NN=t， S=NN?OA=15t； . 【方法归纳】按线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决 4、如图 1，在平面直角坐标系中， ，直线 MN 分别与 x 轴、y 轴交于点 M（6，0） ，N（0，2 3） ，等边 ABC 的顶点 B 与原点 O 重合，BC
11、边落在 x 轴正半轴上，点 A 恰好落在线段 MN 上，将等边 ABC 从图 l 的位置 沿 x 轴正方向以每秒 l 个单位长度的速度平移，边 AB，AC 分别与线段 MN 交于点 E，F（如图 2 所示） ，设 ABC 平移的时间为 t（s） 学-科网 （1）等边 ABC 的边长为_； （2）在运动过程中，当 t=_时，MN 垂直平分 AB； （3） 若在 ABC 开始平移的同时 点 P 从 ABC 的顶点 B 出发 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BAAC 运动当点 P 运动到 C 时即停止运动 ABC 也随之停止平移 . 当点 P 在线段 BA 上运动时，若 PEF 与 MNO 相似
12、求 t 的值； 当点 P 在线段 AC 上运动时，设 PEF SS ? ?，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值及此时点 P 的坐 标 【答案】 （1）3； （2）3； （3）t=1 或 3 4 或 3 2 ；S= 2 33 3 88 tt?，当 t= 3 2 时， PEF 的面积最大，最 大值为 9 3 32 ，此时 P（3， 3 3 2 ） 【分析】 （1）根据，OMN=30 和 ABC 为等边三角形，求证 OAM 为直角三角形，然后即可得出答案 （2）易知当点 C 与 M 重合时直线 MN 平分线段 AB，此时 OB=3，由此即可解决问题； （3）如图 1 中，由题意 BP
13、=2t，BM=6t，由 PEF 与 MNO 相似，可得 PE EF = 2 3 6 或 EF PE = 2 3 6 ， 即 5 3 2 3 2 t t ? = 3 3 或 3 2 5 3 2 t t ? = 3 3 ，解方程即可解决问题； 当 P 点在 EF 上方时，过 P 作 PHMN 于 H，如图 2 中，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问 题； . BAC=60 ，EF=3AE= 3 2 t，当点 P 在 EF 下方时，PE=BEBP=3 5 2 t，由 0 23 5 30 2 t t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 0t 6 5 ，PEF 与 MNO 相似， PE
14、 EF = 2 3 6 或 EF PE = 2 3 6 ， 5 3 2 3 2 t t ? = 3 3 或 3 2 5 3 2 t t? = 3 3 ，解得 t=1 或 t= 3 4 当点 P 在 EF 上方时，PE=BEBP= 5 2 t-3，PEF 与 MNO 相似， PE EF = 2 3 6 或 EF PE = 2 3 6 ， 5 3 2 3 2 t t ? = 3 3 或 3 2 5 3 2 t t ? = 3 3 ，解得 t= 3 2 或 30t 3 2 ，且 5 2 t-30，即 6 5 t 3 2 ，t= 3 2 综上所述，t=1 或 3 4 或 3 2 . 当 P 点在 EF
15、 上方时，过 P 作 PHMN 于 H，如图 2 中，由题意，EF= 3 2 t，FC=MC=3t，PFH=30 ， PF=PCCF=（62t）（3t）=3t，PH= 1 2 PF= 3 2 t? ， S= 1 2 ?EF?PH= 1 2 3 2 t 【方法归纳】根据题意画一些不同运动时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一 个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形， 寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决 高中经典题型 例 1如图，已知线段AB上有一动点D（D异于AB、）,线段CDAB?,且满足 2 CDAD BD?（?是 大于0且不等于1的常数） ，则点C的运动轨迹为（ ） A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 【答案】B . 例 2设点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离已知点 A（1，0） ，圆 C： x2+2x+y2=0，那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是（ ） A 双曲线的一支 B 椭圆 C 抛物线 D 射线 【答案】D 【解析】圆的标准方程为? 2 2 11xy?， 如图所示，设圆心坐标为A，满足题意的点为点P，由题意有：
