1、 1 2016-2017 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷（文科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1 已知 i 是虚数单位，则复数 32ii? 的虚部是（ ） A 3i B 3i? C 3 D -3 2把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的 FENM , 中，顺序较为恰当的是 ( ) 平行；垂直；相交；斜交 . A. B. C. D. 3.用反证法证明命题“设 ba, 为实数，则方程 03 ? baxx 至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A方程 03 ?
2、 baxx 没有实根 B方程 03 ? baxx 至多有一个实根 C方程 03 ? baxx 至多有两个实根 D方程 03 ? baxx 恰好有两个实根 4.若曲线 xkxy ln? 在点 ),1(k 处的切线平行于 x 轴，则 ?k （ ） A 2? B 1? C.0 D 1 5执行如图的程序框图，若输出的 48?S ，则输出 k 的值可以为 ( ) A 4 B 6 C. 8 D 10 6 已知函数 ()fx（ xR? ）图象上任一点 00( , )xy 处的切线方程为20 0 0 0( 2 )( 1)( )y y x x x x? ? ? ? ?， 那么函数 ()fx的单调减区间 是（ ）
3、 A 1, )? ? B ( ,2? C ( , 1)? 和 (1,2) D 2, )? 2 7 宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原。关于“格物致知”的做法，及时“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然 自有贯通处。”上述推理用的是 A. 类比推理 B. 演绎推理 C.归纳推理 D.以上都不是 8.已知复数 z a i?，若 4zz? ，则复数 z 的共轭复数 z? （ ） A 2i? B 2i? C 2i? D 2i? 9 函数 xaxxf ln)( ? 在区间 ),1? 上为减函数，则实数 a 的取值范围是（
4、） A 0,(? B 2,( ? C 1,(? D ),1? 10. 研究变量 x,y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：（ ） 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好用相关系数 2R 来刻画回归效果， 2R 越小说明拟合效果越好。有样本数据得到的回归方程 ? ?y bx a?一定过样本点的中心 ? ?,xy ；若变量 y 与 x 之间的相关系数为 0.9462r? ，则变量和之间的负相关很强 .其中正确的说法的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11函数 xxxf sin)( ? 在 , ?x 的图象大致为（ ） A B C. D 12 已知 ()fx是定义在 R 上的函
5、数，其导函数为 ()fx，若 ( ) ( ) 1f x f x?， (0) 2016f ? ，则不等式 ( ) 2015 1xf x e? ? ?（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 （ ） A ? ? ? ?,0 0,? ? B ? ?2015,? C. ? ?0,? D ? ? ? ?,0 2015,? ? 第 卷（共 90 分） 3 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设 y x2ex，则 y _ 14.某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量 x (单位 :吨 )与相应的生产能耗 y （单位 :吨 )有如下几组样本数据 : x
6、 3 4 5 6 y 5.2 3 4 5.4 根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为 7.0 .已知该产品的年产量为 10 吨，则该工厂每年大约消耗的能源为 吨 . 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，若 直线 :(xtlty t a? ?为参数过椭圆 3cos:(2sinxC y ? ? ?为参数的 右顶点，则常数 a 的值为 _ 16. 甲乙丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下： 甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话 .事实证明：在这三名同学中，只有一个人说的是假话，那么通过考试的是 .
7、 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（ 10 分）已知复数 z 满足 iziz ? 11 ，试判断复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程 18.（ 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 为参数）? ? (sin co s1? ? ?yx.以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设直线 l 极坐标方程是 2 sin( ) 3 3,3?射线 : 3OM ? 与圆 C 的交点为 O 、 P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的
8、长 . 19. （ 12 分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供 帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下 : 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有 %99 的把握认为该地区的老年人 是否需要志愿者提供帮助与性别有关 ? 参考公式：)()()( )(22dbcadcba bcadnK ? ?)( 02 kKP ? 100.0 050.0 025.0 010.0 001.0 4 0k 706.2 841.3 024.5 635.6 828.10 20（ 12 分） 在极坐标系中曲线
9、C 的极坐标方程为 2sin cos 0? ? ?，点 (1, )2M ? 以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 斜率为 1? 的直线 l 过点 M ，且与曲线 C 交于 ,AB两点 （）求出 曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （） 求点 M 到 两点 ,AB的距离之积 21. （ 12 分） 已知 ）Rmmxxxf ? (1)( 2 , xexg ?)( . (1)求曲线 )(xg 在点 )1(,1( g 处的切线方程； (2)当 2,0?x 时， )()()( xgxfxF ? 为增函数，求实数 m 的取值范围； 22. （ 12 分） 设函 数 xax
10、xf ln21)( 2 ? , ),0()1()( 2 Raxxaxxg ? . (1)求函数 )(xf 的单调区间； (2)当 0?a 时，讨论函数 )(xf 与 )(xg 的图象的交点个数 . 5 高二数学试卷（文科） 答案 一、选择题 1-4:DDABC 6-10: CBBAC 11、 12： CC 二、填空 题 13. (2x x2)ex 14. 35.7 15. 3 16. 甲 三、解答题 17.解：由 iziz ? 11 可知复数 z 是复平面内到两定点距离相等的点， 其轨迹是这两点连线的垂直平分线 . 这两点坐标分别是 )1,1(? 和 )1,1(? ，在直线 xy ? 上且关于
11、原点对称， 所以它的垂直平分线方程是 xy? ，即复数 z 的轨迹方程是 xy? . 法二：设 ),( Ryxyixz ? ，得 2222 )1()1()1()1( ? yxyx 化简整理得 xy? ，这是一条直线 . 18. 所以圆 C 的极坐标方程为 =2cos? （ ） 设 11( , )P? ，则由 =2cos3? ?， 解得 11=1 = 3?， 设 22( , )Q? ，则由 (sin 3 c o s ) 3 33? ? ? ? ?，解得 22=3 = 3?， 所以 | | 2PQ? 19.解 :(1)调查的 500 位老年人中有 3040? 位需要志愿者提供帮助， 该地区老年人中
12、需要帮助的老年人的比例的估算值为 %14 . (2)根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式， 967.92 ?K . 635.6967.9 ? ，有 %99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 . 20. 6 （）把直线 l 的参数方程?tytx22122（ t 为参数）代入曲线 C 的方程得 tt 22)221( 2 ? ，即 02232 ? tt ， 01024)23( 2 ? ， 设 BA, 对应的参数分别为 21 tt、 ，则? ? 2 2321 21 tt tt又直线 l 经过点 M ，故由 t 的几何意义得 点 M 到 BA, 两点的距离之积 2| 2121 ?
13、 ttttMBMA 21. 解：（ 1） xexg ? )( ,故 eg ? )1( ， 所以切线方程为 )1( ? xeey ，即 exy? . （ 2） xemxxxF ? 1)( 2 ， xemxxF ? 2)( . 2,0?x 时 )(xF 为 增 函 数 ， 02)( ? xemxxF 对 2,0?x 恒 成 立 ， 即xem x 2? . 令 xexh x 2)( ? , 2,0?x ,则 2)( ? xexh ，令 0)( ?xh 解得 2ln?x . )(xh 在 2ln,0 单减； 2,2(ln 单增， 14)(,1)0( 2 ? e2hh ， 4)2()( 2max ? e
14、hxh ， 42?em . 22.解： (1)函数 )(xf 的定义域为 ),0( ? ， x axxf ? 2)( 7 当 0?a 时， 0)( ?xf ，所以 )(xf 的增区间是 ),0( ? ，无减区间； 当 0?a 时， x axaxxf )()( ? . 当 ax?0 时， 0)( ?xf ，函数 )(xf 单调递减； 当 ax? 时， 0)( ?xf ，函数 )(xf 单调递增 综上 ，当 0?a 时，函数 )(xf 的增区间是 ),0( ? ，无减区间； 当 0?a 时， )(xf 的增区间是 ),( ?a ，减区间是 ),0( a . (2)令 0,ln)1(21)()()(
15、 2 ? xxaxaxxgxfxF ，问题等价于求函数 )(xF 的零点个数 当 0?a 时， 0,21)( 2 ? xxxxF , )(xF 有唯一零点； 当 0?a 时， x axxxF )(1()( ? . 当 1?a 时， 0)( ? xF ，当且仅当 1?x 时取等号，所以 )(xF 为减函数注意到 04ln)4(,023)1( ? FF ,所以 )(xF 在 )4,1( 内有唯一零点； 当 1?a 时，当 10 ?x ，或 ax? 时， 0)( ? xF ； ax?1 时， 0)( ? xF 所以 )(xF 在 )1,0( 和 ),( ?a 上单调递减，在 ),1(a 上单调递增注
16、意到 0)22l n ()22(,0)ln22(2)(,021)1( ? aaaFaaaaFaF , 所以 )(xF 在 )22,1( ?a 内有唯一零点； 当 10 ?a 时， ax?0 ，或 1?x 时， 0)( ? xF ； 1?xa 时， 0)( ? xF 所以 )(xF 在 ),0( a 和 ),1(? 上单调递减，在 )1,(a 上单调递增注意到 0)22l n ()22(,0)ln22(2)(,021)1( ? aaaFaaaaFaF ， 所以 )(xF 在 )22,1( ?a 内有唯一零点 综上， )(xF 有唯一零点，即函数 )(xf 与 )(xg 的图象有且仅有一个交点 . 另解：可利用图像
