1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 37 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形 (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合 )的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图 3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 4了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 2017 全国卷 ，16 2017 全国卷 ，15 2017 全国卷 ， 9 2017 江苏卷， 6 201
2、7 北京卷， 6 2017 天津卷， 11 空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积 . 分值： 5 分 1空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面 ！ _平行 _#，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 ！ _公共顶点 _#的 三角形 棱台 棱锥被平行于 ！ _底面 _#的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 =【 ;精品
3、教育资源文库 】 = 圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： ！ _正视图 _#、 ！ _侧视图 _#、 ！ _俯视图_#. (2)三视图的画法 在画 三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 ！ _虚线 _#. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 ！ _正前 _#方、 ！ _正左 _#方、 ！ _正上 _#方观察几何体的正投影图 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 ！ _斜二测 _#画法来画，其规则是： (1)
4、原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x 轴、 y 轴的夹角为 ！ _45或 135 _#， z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面 ！ _垂直 _#. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 ！ _平行于坐标轴 _#； 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 ！ _不变 _#； 平行于 y 轴的线段在直观图中长度为 ！ _原来的一半 _#. 4空间几何体的表面积与体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V ！ _Sh_# 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V！ _13Sh_# 台体 (棱台
5、和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h 球 S ！ _4 R2_# V！ _43 R3_# 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 ( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 ( ) (4)用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90 ，则在 直观图中， A 45.( ) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同 ( ) 解析 (1)错
6、误因为侧棱不一定与底面垂直 (2)错误尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点 (3)错误因为两个平行截面不能保证与底面平行 (4)错误 A 应为 45 或 135. (5)错误正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同 2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( C ) A圆柱 B圆锥 C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面 3某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8，高为
7、5 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5 的等腰三角形，则该几何体的体积为 ( B ) A 24 B 80 C 64 D 240 解析 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形，棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式得 V 13865 80. 4表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为 ！_2_#. 解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 rl r2 3 ， l 2 r，解得r 1，即直径为 2. 5 (2017 全国卷 )长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ！ _1
8、4 _#. 解析 依题意得，长方体的体对角线长为 32 22 12 14，记长方体的外接球的半径为 R，则有 2R 14， R 142 ，因此球 O 的表面积等于 4 R2 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 空间几何体的结构特征 解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力 (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型 (3)通过反例对结构特征进行辨析 【例 1】 (1)给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形
9、成的几何体都 是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 ( A ) A 0 B 1 C 2 D 3 (2)以下命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 ( B ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 (1) 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； 不一定，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥， 如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； 错误，棱台上的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延
10、长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 (2)由圆台的定义可知 错误， 正确对于命题 ，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 不正确 二 空间几何体的三视图和直观图 (1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样=【 ;精品教育资源文库 】 = 宽，即 “ 长对正，宽相等，高平齐 ” (2)解决有关 “ 斜二测画法 ” 问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直 直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系 【例 2】 (1)(2016 天津卷 )将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去
11、一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧 (左 )视图为 ( B ) (2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( A ) 解析 (1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示， 该几何体的侧视图为 B 项故选 B (2)由直观图可知，在直观图中多边形为正 方形，对角线长为 2，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2. 三 空间几何体的表面积和体积 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (
12、2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用 (3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积 (4)若所给定的几 何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 (5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 【例 3】 (1)(2016 山东卷 )一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( C ) A 13 23 B 13 23 C 13 26
13、 D 1 26 (2)(2016 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 18 36 5 B 54 18 5 C 90 D 81 解析 (1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为 1，四棱锥的高为 1，球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线，所以球的直径 2R 2，即 R 22 ，所以半球的体积为 23 R3 26 . 又正四棱锥的体积为 131 21 13，所以该几何体的体积为 13 26 . 故选 C (2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形 (边长为 3)，高为 6，侧棱长为 3 5 的斜四棱柱，其表面积 S 23 2 233 5 236 54 18 5.故选 B 四 与球有关的切、接问题 (1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角 线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两
