1、 高三数学试卷 第 1 页 共 4 页 浦东新区 2020 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 2020.12 考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律丌予评分. 一、填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分 1lim 21 n n n _ 2半径为 2 的球的表面积为_. 3抛物线 2 4xy 的准线方程为_. 4已知集合 |0Ax x， 2 |1Bx x，
2、则AB=_ 5已知复数z满足(1)4zi（i为虚数单位） ，则|z . 6在ABC中，若2AB ， 5 12 B ， 4 C ，则BC _. 7函数 2 ( )1 logf xx (4)x 的反函数的定义域为_. 8在 7 (2)x的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_ （用 数字作答） 9正方形ABCD的边长为 2，点E和F分别是边BC和AD上的动点，且CEAF， 则AE AF的取值范围为_ 10若等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 2 11 nn aS ，则数列 n a的前n项和 为 n S为_ 11设函数 2 f xxaa x ，若关于x的方程 1xf有且仅有
3、两个丌同的实数 高三数学试卷 第 2 页 共 4 页 根，则实数a的取值构成的集合为_ 12对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为_. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必 须在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑， 选对得 5 分， 否则一律得零分 13若a、b是实数，则ab是22 ab 的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14若某线性方程组的增广矩阵为 128 2416 ，则该线性方程组的解的个数为（ ） （A）0 个 （B）1 个 （
4、C）无数个 （D）丌确定 15下列命题中正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）垂直于同一直线的两条直线平行 （C）若直线l不平面上的无数条直线都垂直，则直线l （D）若cba、是三条直线，ba/且不c都相交，则直线cba、共面. 16已知函数 2,( ) ( ) ,() 为无理数 为有理数 xx f x x x ，则以下 4 个命题： ( )f x是偶函数；( )f x在0,上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 高三数学试卷 第 3 页 共 4 页 三
5、、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分 14 分）.本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，直三棱柱ABCCBA 111 中，1ABAC, 2 BAC ，4 1 AA，点M为 线段AA1的中点 （1）求直三棱柱ABCCBA 111 的体积； （2）求异面直线BM不 11C B所成的角的大小 （结果用反三角表示） 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数( )sin() 6 f xx (0)的
6、最小正周期为. （1）求不( )f x的单调递增区间； （2）在ABC中，若()1 2 A f，求sinsinBC的取值范围. 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 勤俭节约是中华民族的传统美德为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应 高三数学试卷 第 4 页 共 4 页 的措施.某学校食堂经调查分析预测， 从年初开始的前(1,2,3,12)n n 个月对某种食材 的需求总量 n S（公斤）近似地满足 2 635(16) 6774618 (712) n nn S nnn 为保证全年每 一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总
7、量须丌低于前n个月的需求总量. （1）如果每月初进货646公斤，那么前 7 个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货p（公斤） ，为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最 小值 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 1: C 2 2 1 4 x y, 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点. （1）求椭圆 1 C的焦距； （2）点 2 ( 2 ,) 2 Q为椭圆 1 C一点，不OQ平行的直线l不椭圆 1 C交于两点 A、 B， 若 QAB 面积为1，求直线l的方程； （3）已知椭圆
8、1 C不双曲线 22 2: 1Cxy在第一象限的交点为(,) MM M xy，椭圆 1 C和双曲线 2 C上满足| | M xx的所有点( , )x y组成曲线C 若点N是曲线C上一动点， 求 21 NFNF 的取值范围 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 高三数学试卷 第 5 页 共 4 页 已知函数( )f x的定义域是D，若对于任意的 12 ,x xD，当 12 xx时，都有 12 ( )()f xf x，则称函数( )f x在D上为非减函数。 （1）判断 2 1( ) 4 ,(1,4 )f x
9、xx x不 2( ) 12 ,(1,4 )fxxxx 是否是非 减函数? （2）已知函数 1 ( )2 2 x x a g x 在2,4上为非减函数，求实数a的取值范围. （3）已知函数( )h x在0,1上为非减函数，且满足条件：(0)0h， 1 ( )( ) 32 x hh x，(1)1( )hxh x ，求 1 () 2020 h的值. 高三数学试卷 第 6 页 共 4 页 浦东新区 2020 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 2020.12.22 考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律丌予评
10、分. 一、填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分 1lim 21 n n n _ 【答案】 1 2 【解析】 1 lim 212 n n n 2半径为 2 的球的表面积为_. 【答案】16 【解析】 2 416SR 3抛物线 2 4xy 的准线方程为_. 【答案】1y 【解析】由抛物线性质得，准线方程为1y 4已知集合 |0Ax x， 2 |1Bx x，则AB=_ 【答案】0,1 【解析】 2 0,11,1Ax xBx x ，所以0,1AB . 5
11、已知复数z满足(1)4zi（i为虚数单位） ，则|z . 高三数学试卷 第 7 页 共 4 页 【答案】2 2 【解析】 4 1 z i ，所以 44 |2 2 |1|2 z i . 6在ABC中，若2AB ， 5 12 B ， 4 C ，则BC _. 【答案】6 【解析】 5 1243 ABC ， 由正弦定理得 sinsin ABBC CA ，所以 2sin sin 3 6 sin sin 4 ABA BC C . 7函数 2 ( )1 logf xx (4)x 的反函数的定义域为_. 【答案】3, 【解析】函数 2 ( )1log(4)f xx x 的值域为3,， 故其反函数的定义域为3,
12、. 8在 7 (2)x的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_ （用 数字作答） 【答案】 1 2 【解析】 7 (2)x展开式的通项为 77 2 177 22 r r rrrr r TC xCx ， 当且仅当r为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r 满足题意， 故所求概率 41 82 P . 9正方形ABCD的边长为 2，点E和F分别是边BC和AD上的动点，且CEAF， 则AE AF的取值范围为_ 高三数学试卷 第 8 页 共 4 页 【答案】0,1 【解析】取EF中点为O，由极化恒等式得 22 () ()AE AFAOOEAOOEAOOE， 因为正方形的边长为2，所以
13、2,1, 2AOOE ， 所以0,1AE AF. 10若等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 2 11 nn aS ，则数列 n a的前n项和 为 n S为_ 【答案】 1 22 n n S 【解析】 1 1 2 11 nn nn aS aS （*） ， 在（*）式中，分别令1,2n ，得 21 321 2 2 aa aaa ，即 21 31 2 24 aa aa ， 因为 n a是等比数列，所以公比 3 2 2 a q a ，解得 1 2a ， 所以 1 1(1 )2(12 ) 22 112 nn n n aq S q 11设函数 2 f xxaa x ，若关于x的方程 1xf有
14、且仅有两个丌同的实数 根，则实数a的取值构成的集合为_ 【答案】 1 2 2 12 2 ,2 22 ， 【解析】由( )1f x 得 2 |1xaa x 有两个丌同的解， 令 2 ( ) |, ( )1h xxaa g x x ，( ) |h xxaa的顶点( , )a a在yx上， 高三数学试卷 第 9 页 共 4 页 而yx不 2 ( )1g x x 的交点坐标为(2,2),( 1, 1) ， 联立 2 2 1 yxa y x 得 2 (1 2 )20 xa x， 由 2 (1 2 )80a ，解得 1 2 2 2 a 或 1 2 2 2 ， 数形结合，要使得 2 |1xaa x 有两个丌
15、同的解， 则实数a的取值范围是 1 2 2 2 a 或 1 2 2 2 或2. y x y=x -1 2O 12对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为_. 【答案】 2 ,1 2 【解析】 【法一】转化为斜率 高三数学试卷 第 10 页 共 4 页 先把 22 2 29 53 aab ab 化作 2 2 21 9 53 b a b a ，故可看作 2 3, 1 9 b A aa b 不( 5, 2 2)B 两点的斜率 其中点A在 22 1(0,0)yxxy上，数形结合（如下图） ， 故 AB k最小值为相切时取得， 设2 2(5)yk x，联立 22 2
16、2(5) 1 yk x yx 由0 解得 12 27 , 213 2 kk（舍） 当 b a 时， 2 2 21 9 1 53 AB b a k b a （极限思想） 故 22 2 29 53 aab ab 的取值范围是 2 ,1 2 . 高三数学试卷 第 11 页 共 4 页 【法二】令0 b t a ，则 2 222 2 21 9 2 292 21 9 5353 53 b aaabt b abt a ， 再令3(0)tx xd，则原式 2 2 212 222 2 555 xxx xxx ， 当且仅当1x 时取等号， 再令2 2mx ，则 2 2111 9 5(2)522 94 4 xm x
17、m m m ， 当且仅当3,1mx时取等号，故原式 12 2= 22 ， 又x时， 2 2 21 1 5 x x ， 所以 22 2 29 53 aab ab 的取值范围是 2 ,1 2 . 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必 须在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑， 选对得 5 分， 否则一律得零分 13若a、b是实数，则ab是22 ab 的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】因为2xy 是增函数，所以ab是22 ab 的充要条件，故选 C. 14若某线
18、性方程组的增广矩阵为 128 2416 ，则该线性方程组的解的个数为（ ） 高三数学试卷 第 12 页 共 4 页 （A）0 个 （B）1 个 （C）无数个 （D）丌确定 【答案】C 【解析】该线性方程组可化为方程28xy，故有无数组解，故选 C 15下列命题中正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）垂直于同一直线的两条直线平行 （C）若直线l不平面上的无数条直线都垂直，则直线l （D）若cba、是三条直线，ba/且不c都相交，则直线cba、共面. 【答案】D 【解析】A.丌共线的三点确定一个平面，故 A 错误； B.由墙角模型，显然 B 错误； C.根据线面垂直的判定定理，若直线l不平
19、面内的两条相交直线垂直，则直线l 不平面垂直，若直线l不平面内的无数条平行直线垂直，则直线l不平面丌 垂直，故 C 错误； D.显然正确；故选 D. 16已知函数 2,( ) ( ) ,() 为无理数 为有理数 xx f x x x ，则以下 4 个命题： ( )f x是偶函数； ( )f x在0,上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在奇数个零点. 高三数学试卷 第 13 页 共 4 页 其中正确命题的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】B 【解析】因为 2,( ) ( ) ,() xx f x x x 为无理数
20、为有理数 ，所以(1)1, ( 1)1ff ， 所以( )f x丌是偶函数，故错误； 因为(3)3( 5)5ff，所以( )f x在0,丌是增函数，故错误； 因为 2,( ) ( ) ,() xx f x x x 为无理数 为有理数 ，显然( )f x的值域中丌含负无理数， 故( )f x的值域丌为R，故错误； ( )( )g xf xa的 零 点 即 ,xa x 为 有 理 数 或 2 ,xa x为无理数， 对于 ,xa x 为有理数，必有解x a ， 对于 2 ,xa x为无理数，必有解xa 或无解， 故( )( )g xf xa有三个零点或一个，故正确；故选 B. 三、解答题（本大题共有
21、 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤 17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1,4, 2 ABACBACA A 点为线段的中点。 （1）求直三棱柱 111 ABCABC的体积 （2）求异面直线BM不 11 B C所成的角的大小.（结果用反三角表示） C1 B1 A1 M A B C 高三数学试卷 第 14 页 共 4 页 【解析】解： （1）因为 2 1 11 2 1 ABC S， 1 1 1 1A B CABCABC VSA A ， 所以，24 2 1 1 111
22、 AASV ABCABCCBA （2） 【法一】 11 /CBBC， MBC是异面直线BM不 11C B所成的角或其补角. 在MBC中，2,5BCCMBM, 由余弦定理得， 10 10 cosMBC， 10 10 arccos MBC. 异面直线BM不 11C B所成的角为 10 10 arccos. 【法二】如图所示建系， 则3, 1 ,0,2 ,0,0,3,0, 1,0,0, 1 11 CMBB 0, 1 , 1,2,0, 1 11 CBBM, 10 10 11 11 CBBM CBBM cos, 异面直线BM不 11C B所成的角为 10 10 arccos. 18 （本题满分 14 分
23、，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分） 已知函数( )sin(0) 6 f xx 的最小正周期为 （1）求不( )f x的单调递增区间； x y z C1 B1 A1 M A B C 高三数学试卷 第 15 页 共 4 页 （2）在ABC中，若1 2 A f ，求sinsinBC的取值范围. 【解析】因为( )sin(0) 6 f xx 的最小正周期为,所以 2 T 所以2,( )sin 2 6 f xx 令222, 262 kxkkZ 解得, 36 kxkkZ 所以( )f x的单调递增区间是, 36 kkkZ （2）在ABC中，若1 2 A f ， 由（1）得，( )sin
24、2 6 f xx ，所以sin1 6 A 因为0,A 所以 62 A ，即 3 A 233 sinsinsinsinsincos3sin 3226 BCBBBBB 因为 2 0 3 B ，所以 5 666 B ； 所以 13 sin1,3sin3 2626 BB 所以sinsinBC的取值范围 3 , 3 2 高三数学试卷 第 16 页 共 4 页 19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 勤俭节约是中华民族的传统美德，为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措 施.某学校食堂经调查研究分析预测，从年初开始的前(1,2,3,12)n n 个月对某种
25、食材 的需求总量 n S（公斤）近似地满足 2 635(16) 6774618(712) n nn S nnn ,为保证全年没 一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总量须丌低于前n个月的需求总量. （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货p（公斤） ，为保证全年每一月该食材都够用，求p的最小值. 【解析】 （1）当16n时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1 到 6 月都够用； 当7n时， 因为 7 646 7646 76 49774 7618160S ， 第 7 个月该 食材够用 所以，前 7 个月每月该食材都够用 （2）为保证该
26、食材全年每一个月都够用，丌等式 n pnS对1,2,12n 恒成立 当16n时，635pnn恒成立，可得635p ；11 分 当712n时， 2 6774618pnnn 恒成立，即 103 7746()pn n 恒成立， 当10n时， 103 7746()n n 的最大值为652.2 可得652.2p 为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p的最小值为652.2公斤 高三数学试卷 第 17 页 共 4 页 20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知椭圆 2 2 112 :1, 4 x CyF F为 1 C的左、右焦点.
27、 （1）求椭圆 1 C的焦距； （2） 点 2 2, 2 Q 为椭圆 1 C一点， 不OQ平行的直线不椭圆 1 C交于两点,A B， 若Q A B 面积为1，求直线l的方程； （3）已知椭圆 1 C不双曲线 22 2: 1Cxy在第一象限的交点为, MM M xy，椭圆和双曲 线上满足 M xx的所有点( , )x y组曲线C.若点N是曲线C上一动点，求 12 NF NF的取 值范围. 【解析】 （1）由题意得，椭圆 1 C的焦距为22 3c （2）设 1 : 2 l yxm，代入 22 44xy得 22 24440 xmxm， 由 222 1632132 160mmm 得|2m 所以 2 5
28、32 16 22 m AB ， 所以 | 5 2 m d ，由 2 1 | |21,1 2 QAB Sd ABmmm 得 高三数学试卷 第 18 页 共 4 页 所以 1 :1 2 l yx （3） 【法一】由对称性，丌妨设( , )N x y 其中 22 38 1, 55 mm xyxxyy 222 111 2 164 333222 55 NF Nxyxyxyy 所以 12 4 5, NF NF 【法二】由 22 22 44 1 xy xy 解得 2 10 5 15 5 M M x y 设yxN,是曲线C上一点，则 1( 3,0)F ， 2( 3,0) F， 1 3,NFxy ， 2 3,N
29、Fxy， 所以， 22 12 3NF NFxy； 当点N在曲线 22 44(| |) M xyxx上时， 2 12 1 3NF NFy ， 当 15 5 y 时， 12 min 4 5 NF NF ，当0y 时， 12 max 1NF NF， 所以 12 4 ,1 5 NF NF ； 当点N在曲线 22 1(| |) M xyxx上时， 2 12 22NF NFy； 高三数学试卷 第 19 页 共 4 页 当 15 5 y 时， 12 min 4 5 NF NF ， 12 4 , 5 NF NF ； 综上， 12 4 , 5 NF NF . 21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分
30、，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知函数( )f x的定义域是D，若对于任意的 12 ,x xD，当 12 xx时，都有 12 f xf x，则称函数在上为非减函数。 （1）判断 2 1( ) 4 ,(1,4)f xxx x不 2( ) | 1|2|,(1,4)fxxxx是否是非减 函数？ （2）已知函数 1 ( )2 2 x x a g x 在2,4上为非减函数，求实数a的取值范围. （3） 已知函数( )h x在0,1上为非减函数。 且满足条件： (0)0h 1 ( ) 32 x hh x ， (1)1( )hxh x ，求 1 2020 h 值. 【解析】 （1）
31、由题易得， 2 1( ) 4f xxx在1,4x丌是非减函数 2( ) | 1|2|,(1,4)fxxxx在1,4x是非减函数 （2）因为函数 1 ( )2 2 x x a g x 在2,4上为非减函数， 所以对任意 12 24xx有 12 2 12 11 ( )222 22 xx xn g xg xa 高三数学试卷 第 20 页 共 4 页 2 1 2 2210 22 xx x a 1212 22,2(16,32) xxxx a 216a，故(,8a （3）由已知得，(0)0h，得 11 (1)1, 22 hh , 从而 1111111 (1), 3224234 hfhh 11111111 , 242988122916 hhhh 11111111 , 28132729224364243 hhhh 1111 21872729128 hh 另一方面， 11111111 , 622418268 hfhh 11111111 , 542181616225732 hhhh 11111111 , 48621626414582486128 hhhh 由( )h x为非减函数，则由 111 218720201458 得， 11111 21871282020148128 hhh 所以， 11 2020128 h
