1、第第5 5讲讲 一次方程一次方程( (组组) )及其应用及其应用 第二单元第二单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 等式的性质及一元一次方程的解法 1.(2015 安徽,14,5分)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论: 若a=3,则b+c=9; 若a-b=c,则abc=0; 若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8. 其中正确的是_(把所有正确结论的序号都选上). 若 c0,则1 + 1 =1; 答案 解析 若 c0
2、,则 ab0,等式 a+b=ab 两边同时除以 ab,得1 + 1 =1,即成立;若 a=3,则 3+b=3b,解得 b=3 2,c=ab= 9 2,则 b+c=6,故不成立;由 a+b=c,a-b=c,得 b=0,abc=0,即成立;a,b,c中只有两个数相等,不妨设a=b,则2a=a2,解得 a=0 或 a=2.a=0 不合题意;a=2,则 b=2,c=4,a+b+c=8.当 a=c 时,则 b=0,不 符合题意;b=c 时,a=0,也不符合题意;故只能是 a=b=2,c=4;即成立. 其中正确的是. 命题点2 二元一次方程组的解法 2.(2011 安徽,13,5 分)方程组 2 + 3
3、= 7, -3 = 8 的解是_. 答案 = 5, = -1 解析 两个方程相加,得3x=15,解得x=5,把x=5代入x-3y=8,解得y=-1. 命题点3 一次方程(组)的应用 3.(2020 安徽,19,10分)某超市有线上和线下两种销售方式.与2019年4月份 相比,该超市2020年4月份销售总额增长10%,其中线上销售额增长43%,线 下销售额增长4%. (1)设2019年4月份的销售总额为a元.线上销售额为x元,请用含a,x的代数式 表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果); (2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值. 时间 销售总额(元) 线上销售额
4、(元) 线下销售额(元) 2019年4月份 a x a-x 2020年4月份 1.1a 1.43x 解 (1)2020 年线下销售额为 1.04(a-x)元. (2)由题意得,1.43x+1.04(a-x)=1.1a, 0.39x=0.06a,x= 2 13a, 2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值为 1.43 2 13 1.1 =1.32 13 = 1 5. 答:2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值为1 5. 4.(2019 安徽,17,8分)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问 题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿
5、工程由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加 入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙 工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还 需联合工作多少天? 解 设甲工程队每天掘进 x 米,则乙工程队每天掘进(x-2)米,由题意,得 2x+(x+x-2)=26,解得 x=7, 所以乙工程队每天掘进 5 米, 146-26 7+5 =10(天). 答:甲、乙两个工程队还需联合工作 10 天. 5.(2018 安徽,16,8分)孙子算经中有这样一道题,原文如下: “今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何
6、?” 大意:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头, 恰好取完,问:城中有多少户人家?请解答上述问题. 解 设城中有x户人家,由题意得x+ x=100, 解得x=75. 答:城中有75户人家. 1 3 6.(2017 安徽,16,8分)九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文 如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何? 译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则 还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少? 请解答上述问题. 解 设共有 x 人,价格为 y 元, 依题意得 8-3 = , 7 + 4 =
7、 ,解得 = 7, = 53. 答:共有 7 个人,物品价格为 53 元. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 一元一次方程及其解法(低频考点) 1.一元一次方程 (1)一元一次方程的定义:只含有一 个未知数(元),且未知数的次数是1 的整式方程,叫做一元一次方程.它的一般形式是ax+b=0(a0) . (2)方程的解:使方程中等号左右两边相等 的未知数的值叫做方程的解. (3)等式的性质 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式 子),结果仍相等 . 如果a=b,那么 ac = bc. 性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一 个不为0的数,结果仍相等 . 如果a=b,那么
8、ac= bc;如果 a=b(c0),那么 = . 2.一元一次方程的解法(10年1考) (1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数 ; (2)去括号:先去小括号,再去中括号,最后去大括号; (3)移项:把含有未知数的项都移到方程的同一边,其他项都移到方程的另 一边,移项时一定要改变符号; (4)合并同类项:把方程化成ax=b(a0)的形式; (5)系数化为1:方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解为 . x= 考点二 二元一次方程组及其解法(中频考点) 1.二元一次方程(组) 二元一次方程的概念 含有两 个未知数,并且含有未知数的项的次数都 是1 的整式方程叫做二元一次方程. 二元一
9、次方程组的概念 一般地,含有相同的未知数的两个 二元一次方程 合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解 ,叫做二元 一次方程组的解. 二元一次方程组的解 法 解二元一次方程组的方法步骤: 二元一次方程组 一元一次 方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有代入 消元法和加减 消元法两种. 考点三 一次方程(组)的应用(高频考点) 1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,弄清已知量和未知量,明确各数量之间的关系; (2)设:设关键未知数(可设直接或间接未知数); (3)列:根据题意寻找等量关系
10、 列方程(组); (4)解:解方程(组); (5)验:检验所解答案是否正确,是否符合题意和实际情况; (6)答:规范作答,注意单位名称. 2.常见的应用题类型及基本数量关系(10年8考) 常见类型 基本数量关系 行程问题 路程=速度时间 相遇问题 甲走的路程+乙走的路程=两地距离 追及问题 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程; 同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程 航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度 工程问题 工作总量=工作效率工作时间;各部分量的和=总量 销售问题 售价=标价折扣;销售额=售价销量;利润=售价-进价;利润=进价 利润率
11、 数字问题 要注意各数位上的数字与数位的关系 常见类型 基本数量关系 混合物 问题 各种混合物质量之和=混合后的总质量 混合前纯物质量=混合后纯物质量 混合物质量含纯物的百分数=纯物的质量 倍比问题 倍比问题要注意一些基本关系术语,如:倍 考法互动研析考法互动研析 考法1等式的性质及一元一次方程的解法 例1 (2020 贵州铜仁)方程2x+10=0的解是_. 答案 x=-5 解析 方程2x+10=0,移项得2x=-10,解得x=-5. 方法总结 解方程注意事项 (1)去括号要注意符号,不能漏乘;含有多重括号的,按去括号法则逐层去括 号. (2)去分母不要漏乘没有分母的项(特别是常数项),若分子
12、是多项式,则要把 它看成一个整体加上括号. (3)解方程后要代回去检验解是否正确. (4)当遇到方程中反复出现相同的部分时,可以将这个相同部分看作一个整 体来进行运算,从而使运算简便. 对应练1(2020 浙江丽水)如图,在编写数学谜题时,“”内要求填写同一个 数字,若设“”内数字为x.则列出方程正确的是( ) A.32x+5=2x B.320 x+5=10 x2 C.320+x+5=20 x D.3(20+x)+5=10 x+2 答案 D 解析 设“”内数字为x,根据题意得: 3(20+x)+5=10 x+2.故选D. 对应练2(2020 浙江衢州)一元一次方程2x+1=3的解是x=_. 答
13、案 1 对应练3(2020 浙江杭州)以下是圆圆解方程 的解答过程. 解:去分母,得3(x+1)-2(x-3)=1. 去括号,得3x+1-2x+3=1. 移项,合并同类项,得x=-3. 圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,写出正确的解答过程. x+1 2 x3 3 =1 解 圆圆的解答过程有错误, 正确的解答过程如下:去分母,得3(x+1)-2(x-3)=6. 去括号,得3x+3-2x+6=6. 移项,合并同类项,得x=-3. 考法2二元一次方程组的解法 例 2(2020 四川乐山)解二元一次方程组: 2 + = 2, 8 + 3 = 9. 解 2 + = 2, 8 + 3 = 9. - 3
14、,得 2x=3,解得 x=3 2. 把 x=3 2代入,得 y=-1. 所以原方程组的解为 = 3 2 , = -1. 方法总结 1.解二元一次方程组的思想方法是消元,把它转化为一元一次方 程.具体消元的方法有加减消元法和代入消元法.当有同一个未知数的系数 相等或者互为相反数时,直接选择加减法.如果有未知数的系数为1或-1时, 可以考虑用代入消元法. 2.二元一次方程组解法口诀: 二元一次方程组,求解常有两条路. 先要化成一般式,然后考虑配系数. 系数同减异相加,加减消元分清楚. 一量表示另一量,代入消元是出路. 对应练 4(2020 天津)方程组 2 + = 4, - = -1 的解是( )
15、 A. = 1 = 2 B. = -3 = -2 C. = 2 = 0 D. = 3 = -1 答案 A 解析 2 + = 4, - = -1, +得 3x=3, 解得 x=1.把 x=1代入得 y=2, 则方程组的解为 = 1, = 2. 对应练 5(2020 浙江台州)解方程组: - = 1, 3 + = 7. 解 - = 1, 3 + = 7. +得 4x=8,所以 x=2.把 x=2 代入得 y=1. 所以该方程组的解为 = 2, = 1. 考法3一次方程(组)的应用 例例3(2020 浙江绍兴)同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210 km.它们各自单独行驶并返回的最远距离是
16、105 km.现在它们都从A地出发, 行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃 料桶,然后甲车再行驶返回A地,而乙车继续行驶,到B地后再行驶返回A地. 则B地最远可距离A地( ) A.120 km B.140 km C.160 km D.180 km 答案 B 解析 假设甲车行驶到C地时返回,到达A地燃料用完,乙车行驶到B地再返 回A地时燃料用完,如图: 设AB=x km,AC=y km,根据题意得: 所以乙车在C地时加注行驶70 km的燃料,则AB的最大长度是140 km.故选B. 2 + 2 = 210 2, - + = 210, 解得 = 140, = 70. 方法
17、总结 构建方程(或方程组)模型时,首先应找到题目中的等量关系,可 先用文字把等量关系写出来,再用等式表示,即可列出满足题意的方程(或 方程组),解方程(组)即可. 对应练6(2020 江苏无锡)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四 尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这段话的意思是:用绳子量井深, 把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,井深几尺?则该 问题的井深是_尺. 答案 8 解析 设绳长 x 尺,由题意得1 3x-4= 1 4x-1, 解得 x=36,井深:1 3 36-4=8(尺). 对应练7(2020 四川成都)九章算术是我国古代一部著名的算书,它的
18、出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程七中记 载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五直金八两.牛羊各直金几何?”题 目大意是:5头牛、2只羊共值金10两;2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每 只羊各值金多少两?设1头牛值金x两,1只羊值金y两,则可列方程组为 _. 答案 5 + 2 = 10, 2 + 5 = 8 解析 依题意可得 5 + 2 = 10, 2 + 5 = 8. 对应练8(2020 浙江绍兴)有两种消费券:A券,满60元减20元;B券,满90元减 30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有 一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一
19、件标价相同的商品,各自付款,若能 用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是_ 元. 答案 100或85 解析 设所购商品的标价是x元,则 所购商品的标价小于90元,x-20+x=150, 解得x=85; 所购商品的标价大于90元, x-20+x-30=150,解得x=100. 故所购商品的标价是100或85元. 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 算法统宗 算法统宗全称新编直指算法统宗,程大位著,是一部应用数学书, 列有595个应用题的数字计算,用珠算演算.该书确立了算盘用法,完成了由 筹算到珠算的彻底转变. 孙子算经 孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书大约在四五
20、世纪,也就是大 约一千五百年前.传本的孙子算经共三卷,上卷叙述算筹记数的纵横相 间制度和筹算乘除法,中卷举例说明筹算分数算法和筹算开平方法.下卷第 31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”. G 关联中考关联中考 1.(2020 山东临沂)孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书大约在 一千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步. 问人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆 车:若每辆车乘坐2人,则有9人步行,问人与车各多少?设有x人,y辆车,那么可 列方程组为( ) A. 3 = + 2 2 + 9 = B.
21、 3 = -2 -9 2 = C. 3 = + 2 -9 2 = D. 3 = -2 2 -9 = 答案 B 解析 设有 x 人,y 辆车,依题意得 3 = -2, -9 2 = , 故选 B. 2.(2020 浙江宁波)我国古代数学名著孙子算经中记载:“今有木,不知 长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一 根绳子去量一根木条,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺, 问木条长多少尺?如果设木条长x尺,绳子长y尺,那么可列方程组为( ) A. = + 4.5 0.5 = -1 B. = + 4.5 = 2-1 C. = -4.5 0.5 = +
22、 1 D. = -4.5 = 2-1 答案 A 解析 设木条长 x 尺,绳子长 y 尺, 那么可列方程组为 = + 4.5, 0.5 = -1, 故选 A. 3.(2019 福建)增删算法统宗记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了, 每日增添一倍多,问君每日读多少?”其大意是:“有个学生天资聪慧,三天读 完一部孟子,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个 字?”已知孟子一书共有34 685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方 程正确的是( ) A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685 C.x+2x+2x=34 685 D.x+1 2x+ 1 4x=34 685 答案 A 解析 设他第一天读x个字,每天阅读的字数是前一天的两倍,第二天阅 读的字数是2x个,第三天阅读的字数是4x个.可列方程为x+2x+4x=34 685, 故选A.
