1、第第1616讲讲 等腰、等边与直角三角形等腰、等边与直角三角形 第四单元第四单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 直角三角形的性质 1.(2014 安徽,8,4分)如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠, 使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( ) A.5 3 B.5 2 C.4 D.5 答案 C 解析 设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9-x,根据中点的定义可得 BD=3,在RtDBN中
2、,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解. 设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x, D是BC的中点,BD=3, 在RtDBN中,x2+32=(9-x)2, 解得x=4.故线段BN的长为4. 命题点2 等腰(边)三角形的性质与判定 2.(2010 安徽,14,5分)如图,AD是ABC的边BC上的高,由下列条件中的某 一个就能推出ABC是等腰三角形的是_.(把所有正确答案 的序号都填写在横线上) BAD=ACD; BAD=CAD; AB+BD=AC+CD; AB-BD=AC-CD. 答案 解析 当BAD=CAD时,AD是BAC的平分线,且AD是BC边上的高, BAC是等腰三角形;(
3、等腰三角形三线合一) 延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE,AF. AB+BD=CD+AC, DE=DF, 又ADBC,AEF是等腰三角形. E=F; AB=BE,ABC=2E; 同理,得ACB=2F;ABC=ACB, 即AB=AC,ABC是等腰三角形; 在ABC中,ADBC,根据勾股定理,得 AB2-BD2=AC2-CD2, 即(AB+BD)(AB-BD) =(AC+CD)(AC-CD); AB-BD=AC-CD, AB+BD=AC+CD; 两式相加得,2AB=2AC,AB=AC, ABC是等腰三角形. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 等腰
4、(边)三角形的性质与判定(高频考点) 1.等腰三角形(10年5考) 性质 (1)是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线; (2)底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”); (3)两底角相等(简称“等边对等角 ”) 判定 (1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边 ”); (2)有两边 相等的三角形是等腰三角形 2.等边三角形(10年4考) 性质 (1)三个内角相等,且都等于60 ; (2)三边相等; (3)底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”) 判定 (1)三个角都是60的三角形是等边三角形; (2)有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形; (3)
5、三条边相等 的三角形是等边三角形 考点二 直角三角形的性质与判定(高频考点) 性质 (1)直角三角形的两个锐角互余; (2)斜边上的中线等于斜边的一半 ; (3)30角所对的直角边等于斜边的一半 ; (4)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角 边所对的锐角等于30 ; (5)直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 判定 (1)有一个角为90 的三角形是直角三角形; (2)利用勾股定理的逆定理进行判定 考点三 线段的垂直平分线(低频考点) 定义 经过线段中 点,并且垂直 于这条线段的直线,叫这条线段的垂直 平分线,简称线段的中垂线 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
6、点 的距离相等 判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上 考法互动研析考法互动研析 考法1直角三角形的性质 例1 (2020 贵州安顺)在RtABC中,C=90,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长 是_. 答案17 解析 在RtABC中,C=90,AB-AC=2,BC=8,AC2+BC2=AB2, 即(AB-2)2+82=AB2,解得AB=17. 方法总结 勾股定理是直角三角形中的一个重要性质,可以由角的关系得 到三角形边的关系,常用的方法是已知直角三角形的两边求第三边,或者是 已知直角三角形三边之间的关系,列方程求出某些边长. 对应练1(2020 辽宁抚顺、本溪、辽
7、阳)一个等腰直角三角尺和一把直尺按 如图所示的位置摆放,若1=20,则2的度数是( ) A.15 B.20 C.25 D.40 答案 C 解析 如图,ADBC, 3=1=20. DEF是等腰直角三角形,EDF=45, 2=45-3=25. 对应练2(2020 内蒙古包头)如图,在RtABC中,ACB=90,D是AB的中 点,BECD,交CD的延长线于点E.若AC=2,BC=2 ,则BE的长为( ) A.2 6 3 B. 6 2 C. 3 D. 2 2 答案 A 解析 AC=2,BC=2 2, AB= 22+ (2 2) 2 =2 3. D 是 AB 的中点,AD=CD=BD= 3. 由题意可得
8、 2 + 2= 3, 2+ ( + 3) 2 = 8, 两式相减得( + 3) 2 -DE2=8-3, 解得 DE= 3 3 ,BE=2 6 3 ,故选 A. 对应练3(2020 黑龙江牡丹江、鸡西)等腰三角形ABC中, AB=AC=4,BAC=45,以AC为腰作等腰直角三角形ACD,CAD为90, 请画出图形,并写出点B到CD的距离. 解 本题有两种情况: 如图, ACD是等腰直角三角形,CAD=90, ACD=45.BAC=45, ABCD, 点B到CD的距离等于点A到CD的距离, 过点A作AECD, AB=AC=4,AE= 2=2 2, 点 B 到 CD 的距离为 2 2. 如图,ACD
9、是等腰直角三角形,CAD=90, ACD=45.BAC=45, AEC=90, 点B到CD的距离即BE的长. AB=AC=4, AE= 2=2 2, BE=AB-AE=4-2 2, 即点 B 到 CD 的距离为 4-2 2. 考法2等腰(边)三角形性质与判定 例2(2020 浙江台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的 三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的DEF 的周长是_ . 答案 6 解析 等边三角形纸片ABC, B=C=60.DEAB,DFAC, DEF=DFE=60, DEF是等边三角形,DE=EF=DF. E,F是边BC上的三等分点
10、,BC=6, EF=2,DE=EF=DF=2, DEF的周长是DE+EF+DF=6. 方法总结 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的 关系,由两边相等推导出两角相等,是证明两角相等常用的依据之一.等腰 三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直 线互相垂直的重要依据,底边上的高(或者顶角平分线、底边中线)是常用 辅助线. 对应练4(2020 山东济宁)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北 航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42方向上,在海岛B 的北偏西84方向上,则海岛B到灯塔C的距离是( ) A.15海里 B.20海里 C.3
11、0海里 D.60海里 答案 C 解析 根据题意得 CBD=84,CAB=42, C=CBD-CAB=42=CAB, BC=AB. AB=152=30海里, BC=30海里,即海岛B到灯塔C的距离是30海里.故选C. 对应练5(2020 贵州铜仁)已知等边三角形一边上的高为2 ,则它的边长 为( ) A.2 B.3 C.4 D.4 3 3 答案 C 解析 根据等边三角形三线合一, 解得x=4,x=-4(舍去),故选C. 设它的边长为 x,可得 x2= 2 2 + (2 3) 2, 对应练6(2020 黑龙江大兴安岭)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这 个等腰三角形的周长是_. 答案 10或1
12、1 解析 3是腰长时,三角形的三边分 别为3,3,4,此时能组成三角形, 周长=3+3+4=10; 3是底边长时,三角形的三边分别为3,4,4, 此时能组成三角形, 周长=3+4+4=11. 综上,这个等腰三角形的周长是10或11. 考法3线段的垂直平分线性质及其判定 例3(2020 四川成都)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B和C为 圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交AC 于点D.若AC=6,AD=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 1 2 答案 C 解析 由题意可得,按步骤作图的结果是:DN为线段BC的垂直平分 线,DC=BD.
13、又AC=6,AD=2,CD=BD=4,故选C. 方法总结 对于基本作图类的题,需熟练掌握基本作图:作一条线段等于已 知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平 分线;过一点作已知直线的垂线.本题也要求掌握线段垂直平分线的性质. 对应练7(2020 江苏常州)如图,在ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB 于点E,F.若AFC是等边三角形,则B=_. 答案 30 解析 EF垂直平分BC,BF=CF, B=BCF.ACF为等边三角形, AFC=60,B=BCF=30. 对应练8(2020 辽宁抚顺、本溪、辽阳)如图,在RtABC中, ACB=90,AC=2BC,分别以点
14、A和B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧, 两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为 _. 1 2 答案 5 解析 由题意可得,直线MN是AB的垂直平分线, EA=EB.设BE=AE=x,则AC=x+3. AC=2BC,BC= (x+3). 在RtBCE中,由勾股定理, 得BC2+CE2=BE2, 即 (x+3)2+32=x2,解得x1=5,x2=-3(舍去), BE=5. 1 4 1 2 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 赵爽弦图 赵爽,三国吴人,我国历史上著名的数学家与天文学家. 他在注解周髀算经中给出的“赵爽弦图”证明了 勾股定理的准
15、确性,如图所示,四个全等的直角三角形 可以围成一个大的正方形,中间空的是一个小正方形. 通过对这个图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系 证明了勾股定理.证明方法如下: 设直角三角形的三边中较短的直角边为a,另一直角边为b,斜边为c,朱实面 积=2ab,黄实面积=(b-a)2=b2 -2ab+a2,朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方 形面积=c2. G 关联中考关联中考 1.如图,若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB,则点P为ABC的布 洛卡点.三角形的布洛卡点由法国数学家和数学教育家克洛尔 (A.L.Crelle,17801855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们 所
16、注意.1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡 (Brocard,18451922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角 三角形DEF中,EDF=90,若Q为DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ的 值为( ) A.5 B.4 C.3+ D.2+ 2 2 答案 D 解析 如图,Q是DEF的布洛卡点,1=2=3,DEF为等腰直 角三角形,3+4=1+5,4=5,FDQEFQ, = = , =cos 45= 2 2 ,DQ=1,FQ= 2,EQ=2, FQ+EQ=2+ 2. 2.(2020 湖南娄底)由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦 图”如图所示,根据大
17、正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角 三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论:若 a0,b0且a2+b2为定值,则当a_b时,ab取得最大值. 答案 = 解析 设a2+b2为定值k,则c2=a2+b2=k,由“赵爽弦图”可知,2ab=c2-(a-b)2 =k-(a-b)2, 当a=b时,(a-b)2取得最小值,最小值为0, 则当a=b时,ab取得最大值,最大值为 , 即 ab=-(-) 2 2 ,要使 ab 的值最大,则(a-b)2需最小.又(a-b)20, 2 3.(2020 江苏扬州)九章算术是中国传统数学的重 要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所 示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末 折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原 高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离 竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面 _尺高. 答案 91 20 解析 设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10-x)尺,根据勾股定理得 x2+32=(10-x)2, 解得 x=91 20.故答案为 91 20.
