1、第第2222讲讲 圆的有关概念与性质圆的有关概念与性质 第六单元第六单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 1.(2020 安徽,9,4)已知点A,B,C在O上.则下列命题为真命题的是( ) A.若半径OB平分弦AC.则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形.则ABC=120 C.若ABC=120.则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB.则半径OB平分弦AC 命题点1 垂径定理及其推论 答案 B 解析 A.半径OB平分弦
2、AC,OBAC,AB=BC,不能判断四边形OABC是 平行四边形,假命题; B.四边形OABC是平行四边形,且OA=OC,四边形OABC是菱 形,OA=AB=OB,OABC, OAB是等边三角形,OAB=60, ABC=120,真命题; C.ABC=120,AOC=120,不能判断出弦AC平分半径OB,假命题; D.只有当弦AC垂直平分半径OB时,半径OB平分弦AC,所以是假命题,故选B. 2.提示:见第19讲第6题. 命题点2 圆周角定理及其推论 3.(2020 安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的 两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O
3、所在圆的切线,与AC的延长线 相交于点E. (1)求证:CBADAB; (2)若BE=BF,求证:AC平分DAB. 证明 (1)AB是半圆O的直径, ACB=ADB=90. RtCBARtDAB(HL). (2)BE=BF,由(1)知BCEF,E=BFE. BE是半圆O所在圆的切线,ABE=90,E+BAE=90. 由(1)知D=90,DAF+AFD=90. AFD=BFE,AFD=E, DAF=90-AFD,BAF=90-E, DAF=BAF,AC平分DAB. 在 RtCBA 与 RtDAB 中, = , = , 4.(2019 安徽,13,5分)如图,ABC内接于O, CAB=30,CBA
4、=45, CDAB于点D,若O的半径为2,则CD的长 为 . 答案 2 解析 连接CO,OB,则O=2A=60, OC=OB,BOC是等边三角形, O的半径为2,BC=2, CDAB,CBA=45, CD= 2 2 BC= 2. 5.(2017 安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行 于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 证明(1)由圆周角定理得,B=E.又B=D, E=D.CEAD,D+ECD=180. E+ECD=180.AECD. 四边形AECD
5、为平行四边形. (2)如图,作OMBC于点M,ONCE于点N, 四边形AECD为平行四边形, AD=CE.又AD=BC, CE=CB.OM=ON.又OMBC,ONCE, CO平分BCE. A.3 2 B.2 C.8 13 13 D.12 13 13 6.(2016 安徽,10,4分)如图,在RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC 内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为( ) 答案 B 解析 ABC=90, ABP+PBC=90, PAB=PBC, BAP+ABP=90, APB=90,OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),点P 在以AB为直径
6、的O上,连接OC交O于点P,此时PC最小,在RtBCO中, OBC=90,BC=4,OB=3, PC=OC-OP=5-3=2.PC最小值为2. OC= 2+ 2=5, 命题点3 圆内接四边形 7.(2012 安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形 OABC为平行四边形,则OAD+OCD=_. 答案 60 解析 法一:连接DO并延长,四边形OABC为平行四边 形,B=AOC,AOC=2ADC, B=2ADC,四边形ABCD是O的内接四边 形,B+ADC=180,3ADC=180, ADC=60,B=AOC=120, 1=OAD+ADO,2=OCD+CDO, OAD
7、+OCD=(1+2)-(ADO+CDO)=AOC-ADC =120-60=60. 法二:连接OB,四边形OABC为平行四边 形,AB=OC=OB=OA=BC,OAB和OBC都为等边三角 形,OAB=OCB=60,ABCD为圆的内接四边 形,DAB+DCB=180,OAD+OCD=180-60-60=60 命题点4 圆的性质 8.(2015 安徽,20,10分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC 上,点Q在O上,且OPPQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ的长度; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值. 图 1 图 2 解(1)如图,连接 OQ. PQA
8、B,PQOP,OPAB. tan 30 = ,OP=3 3 3 = 3.在 RtOPQ中, 由勾股定理得 PQ= 32-( 3)2= 6. (2)如图,连接 OQ,由勾股定理得 PQ= 2-2= 9-2. 要使 PQ 取最大值,需 OP 取最小值,此时 OPBC. ABC=30 , OP=1 2OB= 3 2. PQ最大值= 9- 9 4 = 3 3 2 . 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 圆的有关概念和性质(低频考点) 1.圆的定义 在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周 ,另一个端 点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径
9、. 2.圆的有关概念 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧.大于半圆的弧叫优弧 ,小于半圆 的弧叫劣弧 弦 连接圆上任意两点的线段 叫做弦 直径 经过圆心的弦叫直径.直径等于半径的2倍 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆 同心圆 圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 3.圆的性质(10年1考) (1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径 所 在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心. (2)圆的确定:不在同一直线上的三 个点确定一个
10、圆.经过三角形三个顶 点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心 ,这个三角 形叫做圆的内接三角形,三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 考点二 垂径分弦(高频考点) 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧 如果一条直线:垂直于弦;经过圆心;平分弦;平 分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.具备其中任意两 个条件,那么就可得到其他三个结论.提示:具备条 件时,应平分不是直径弦 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(低频考点) 1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆
11、心角所对的弧 相等,所对的弦 相等, 所对的弦的弦心距 相等. 推论:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、 所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都 相等 . (2)弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 考点四 圆周角定理及其推论(高频考点) 圆周角 顶点在圆上、两边分别和圆相交 的角叫做圆周角 定理 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 推论 1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所 对的弧相等 2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ;90的圆周角所对的弧是 半圆 ,所对的弦是直径 考点五 圆的内
12、接四边形(低频考点) 1.如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆 的内接多边形 ,这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 2.圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补 . 考法互动研析考法互动研析 考法1垂径定理及其推论 例1(2019 安徽合肥庐阳二模)如图,AC是O的直径,弦BDAC于点E,连接 BC,过点O作OFBC于点F,若BD=12 cm,AE=4 cm,则OF的长度是( ) A. 13 cm B.2 13 cm C. 10 cm D.3 cm 答案 A 解析 如图,连接 OB. AC 是O 的直径,弦 BDAC, BE=1 2BD=6.在 RtOEB 中,OB
13、 2=OE2+BE2, 即 OB2=(OB-4)2+62,解得 OB=13 2 ,则 EC=AC-AE=9 cm,BC= 2+ 2=3 13 cm.OFBC,CF=1 2BC= 3 13 2 . OF= 2-2= 13cm. 方法总结 在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和该弦的弦心距构成了 以半径为斜边的直角三角形,这种密切关系是解决圆中有关弦、弦心距和 半径的计算问题的关键. 对应练1(2020 广东广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后, 截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为( ) A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm 答案 C 对
14、应练2(2020 浙江湖州)如图,已知AB是半圆O的直径,弦 CDAB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是_. 答案 3 考法2圆周角定理及其推论 例2(2020 江苏扬州)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都 在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sinADC的值为( ) A.2 13 13 B.3 13 13 C.2 3 D.3 2 答案 A 解析 如图.ADC和ABC所对的弧长都是 ,根据圆周角定理知, ADC=ABC.在 RtACB中,根据锐角三角函数的定义知,sinABC= . AC=2,BC=3,AB= 2+ 2= 13,sinABC= 2 13
15、= 2 13 13 , sinADC=2 13 13 . 方法总结 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等;一条弧所对的 圆周角是其所对的圆心角的一半;有直径时,一般添加辅助线得到直径所对 的圆周角,构造直角三角形解决问题. 对应练3(2020 吉林长春)如图,AB是O的直径,点C,D在O 上,BDC=20,则AOC的大小为( ) A.40 B.140 C.160 D.170 答案 B 对应练4(2020 海南)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则 ABD等于( ) A.54 B.56 C.64 D.66 答案 A 考法3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 例3(2019
16、安徽一模)已知O的直径CD为2,弧AC所对圆心角的度数为 80,点B是弧AC的中点,点P在直径CD上移动,则BP+AP的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 3 D. 3 答案 D 解析 如图,过点B作关于CD的对称点B,连接AB交 CD于点P,延长AO交O于点E,连接BE,连接OB. 点 B与点 B关于 CD对称,PB=PB, = . 当点 B,P,A在一条直线上时,PB+PA有最小值,最小值为 AB的长. 点 B是 的中点,AOB=120 . BEA=60 .AB=AE sin 60 =2 3 2 = 3. 方法总结 圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前 提条件定理不
17、成立. 对应练5(2020 四川眉山)如图,四边形ABCD的外接圆为 O,BC=CD,DAC=35,ACD=45,则ADB的度数为( ) A.55 B.60 C.65 D.70 答案 C 对应练6(2020 湖北武汉)如图,在半径为3的O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是( ) A.5 2 3 B.3 3 C.3 2 D.4 2 答案 D 考法4圆内接四边形 例4(2020 黑龙江牡丹江)如图,四边形ABCD内接于O,连接BD. 若 ,BDC=50,则ADC的度数是( ) A.125 B.130 C.135 D.140 = 答案 B 解析
18、 连接OA,OB,OC,BDC=50, BOC=2BDC=100. ADC=180-ABC=130. = ,BOC=AOC=100 , ABC=1 2AOC=50 . 方法总结 在圆中计算角度时,一般都是利用圆周角的性质进行转化.另 外,“直径所对的圆周角是直角”“圆内接四边形对角互补”也是圆中求角的 度数时常用的基本知识. 对应练7(2020 浙江湖州)如图,已知四边形ABCD内接于O,ABC=70, 则ADC的度数是( ) A.70 B.110 C.130 D.140 答案 B 对应练8(2020 湖南张家界)如图,四边形ABCD为O的内接四边形,已知 BCD为120,则BOD的度数为(
19、) A.100 B.110 C.120 D.130 答案 C 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 九章算术是算经十书中最重要的一部,成书于公元一世纪左右, 九章算术内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同 时,九章算术在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也 首先记录了盈不足等问题,方程章还在世界数学史上首次阐述了负数 及其加减运算法则.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效 的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系. G 关联中考关联中考 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古 希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有 一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径 几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1 寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为_寸. 答案 26 解析 设O的半径为r寸.在RtADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有 r2=52+(r-1)2,解得r=13,O的直径为26寸.
