1、镇江市 2021 届高二年级第一学期期中考试 数学试题 (本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题意要求的. 1.已知数列 2 65, n ann则该数列中最小项的序号是 A.3 B.4 C.5 D.6 2.若椭圆 22 1 25 xy m 与双曲线 22 1515xy的焦点相同，则 m 的值为 A.3 B.4 C.6 D.9 3.已知等差数列 n a的前 11 项和 11 88,S 则 210 aa A.16 B.17 C.18 D.19 4.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院
2、,由美籍华人建筑师设计,已成为巴黎的城市地标金字塔 为正四棱锥造型,四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成,能成为地下设施提供良好的采光,创造性地解 决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题,取得极大成功,金字塔塔高 21 米,底宽 34 米,如果每块玻璃 面积为 2.72 平方米,不计安装中的损耗,请你估算,建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为() A.575 B.625 C.675 D.725 5.在正方体 1111 ABCDABC D中,P 为 AC.上的动点,则 1 PB与平面 11 DAC的位置关系是 A.线在面内 B.平行 C.相交 D.不能确定 6.抛物线 2 4yx
3、的准线与双曲线 22 41xy的两条渐近线所围成的三角形面积为 1 . 2 A B.2 .2 2C D.4 7.已知等比数列 n a的前 n 项和为, n S且 6 3 9, S S 则 4 2 a a 的值为 . 2A B.2 .2 2C D.4 8.降雨量是气象部门观测的重要数据,日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位:毫米) 我国古代就有关于降雨量测量方法的记载,古代数学名著 数书九章 中有“天池盆测雨”题:天池盆(圆台形状) 盆口直径二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸若盆中积水深九寸,则平地降雨量是几寸(注:一尺等 于十寸,一寸等于 10 3 厘米)?已知某隧道
4、的积水程度与日降水量的关系如下表所示: 日降雨量(单位:毫米) 15,40) 40,70) 70,120) 120,250) 隧道积水程度 一级 .二级 三级 四级 如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算,则该隧道的积水程度为() A.一级 B.二级 C.三级 D.四级 二多选题:本题共 4 小题,每小题 5分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项合题意要求.全部选对的得5 分, 有选错的得 0 分,部分选对的 3 分. 9.下列说法正确的有() A.正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行 B.设 m 为圆锥的一条母线,则在该圆锥底面圆中,有且只有一条直径与 m 垂直
5、 C.对于任意一个正棱柱,都存在一个球,使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上 D.设 AB,CD 分别为圆柱上下底面的弦,则直线 AB,CD 间距离等于该圆柱母线长 10.已知等差数列 n a的公差不为 0.其前 m 项和为, n S且 189 2 ,a S S成等差数列,则下列四个选项中正确的有 () 598 .23A aaS 27 .BSS 5 .C S最小 5 .0Da 11.已知椭圆 22 1 42 xy 的左右焦点为 12 ,F F点 P 在椭圆上,且不与椭圆的左右顶点重合,则下列关于 12 PFF的说法正确的有 12 . A PFF的周长为 4+212 B.当 12 90PFF 时,
6、 12 PFF的边 1 2PF C.当 12 60FPF 时, 12 PFF的面积为 4 3 3 D.椭圆上有且仅有 6 个点 P,使得 12 PFF为直角三角形 12.计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断 地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数 0, C即一个病毒文件在一分 钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数 0 2,C 若一台计算机有 5 10个可能被感染的文件,如果 该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防 毒和杀毒处理,则下列说法
7、中正确的是() A.在第 3 分钟内,该计算机新感染了 18 个文件 B.经过 5 分钟,该计算机共有 243 个病毒文件 C.10 分钟后,该计算机处于瘫痪状态 D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为 2 的等比数列 三填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 2 :2C ypx的焦点 F 是圆 22 20 xyx的圆心,P 为抛物战 C.上在第一象限内的点,且 PF=3, 则 P 点的坐标为_. 14.已知等差数列 n a的首项和公差都为 2.则数列 n a的通项公式=_,数列 1 1 nn a a 上的前 2020 项和为 _. 15.已知长方
8、体 1111 ABCDABC D的所有顶点都在球 O 的表面上,且 AB=BC=3,异面直线 1 CC与 1 AD所成的 角为 60 ,则球 O 的表面积为_. 16.古希腊数学家阿波罗尼斯在圆锥曲线论中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全 相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合),已知两个圆锥的底面直径均为 4,侧面积均为2 5 .记过两 个圆锥轴的截面为平面 ,平面 与两个圆锥侧面的交线为 AC,BD.已知平面 平行于平面 ,平面 与两个圆 锥侧面的交线为双曲线C的一部分,且C的两条渐近线分别平行于AC,BD,则该双曲线C的离心率为_. 四解答题:本题共 6 小题,共
9、 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,在直三棱柱 111 ABCABC中, 111 90 ,B AC P,Q 分别是棱 1111 ,ABBC的中点. 求证:(1)AC/平面 BPQ; (2)ACBP. 18.在 3 13,S 32, n n S 31 2 n n S 这三个条件中,请选择一个条件将下面的题目补充完整并解答 本题. 题目:设等比数列 n a的各项都为正数, 1 1,a 前 n 项和为 n S,且_. (1)求数列 n a的通项公式; (2)令 31 log nn ba ,求数列 nn a b的前 n 项和. 19.已知椭圆 22 1 22 :1(0 x
10、y Cab ab ）的长轴长为 8,一条准线方程为 16 7 , 7 x 与椭圆 1 C共焦点的双曲 线 2, C其离心率是椭圆 1 C的离心率的 2 倍. (1)分别求椭圆 1 C和双曲线 2 C的标准方程； (2)过点 M(4,1)的直线 l 与双曲线 2, C交于 P,Q 两点,且 M 为线段 PQ 的中点,求直线 l 的方程. 20.已知数列, nn ab的各项均为正数,前 n 项和分别为, nn ST且对任意正整 数,21,2 nnn n aST1 n b恒成立. (1)分别求数列, nn ab的通项公式; (2)若对于任意的正整数,(1) nn n Tk S恒成立,求实数 k 的取
11、值范围. 21.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,ABC=60 ,四边形 PACQ 为矩形,PA=1,且平面 PACQ平面 ABCD. (1)求 BP 与平面 ACQP 所成角的余弦值: (2)求二面角 B-PQ-D 的大小: (3)求点 C 到平面 BPQ 的距离. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,有三条曲线: x2_y2 22 1(04), 4 xy m m 22 2 1(0),2(0) 4 xy nypx p n . 请从中选择合适的一条作为曲线C,使得曲线 C 满足:点 F(1,0)为曲线 C的焦点,直线 y=x-1 被曲线 C 截得的弦 长为 8. (1)请求出曲线 C 的方程; (2)设 A,B 为曲线 C 上两个异于原点的不同动点,且 OA 与 OB 的斜率之和为 1,过点 F 作直线 AB 的垂线,垂足 为 H,问是否存在定点 M,使得线段 MH 的长度为定值?若存在,请求出点 M 的坐标和线段 MH 的长度;若不存 在,请说明理由.
