1、 1 三元一次方程组三元一次方程组（基础基础）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解三元一次方程(或组)的含义； 2会解简单的三元一次方程组； 3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.1.三元一次方程三元一次方程的定义的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程如 x+y-z1，2a-3b+4c5 等都是 三元一次方程 要点诠释：要点诠释： (1)三元一次方程的条件：是整式方程，含有三个未知数，含未知数的项的最高次
2、数是 1 次 (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零 2 2三元一次方程组的定义三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可 （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次 方程组求解 要点二、要点二、三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个
3、方程分别组成两组，消去两组中的同一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起 要点诠释：要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元” 使 解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解
4、法 要点三、要点三、三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4解这个方程组，求出未知数的值； 5写出答案(包括单位名称) 要点诠释：要点诠释： (1)解实际应用题必须写 “答” ， 而且在写答案前要根据应用题的实际意义， 检查求得的结果是否合理， 不符合题意的应该舍去 2 (2)“设” 、 “答”两步，都要写清单位名称，应注意单位
5、是否统一 (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组 【典型例题】【典型例题】 类型一类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A 2 1 0 2 xy yz xz B 1 1 1 2 1 6 y x z y x z C 1 2 3 abcd ac bd D 18 12 0 mn nt tm 【答案】D 【解析】A 选项中 2 1xy与2xz 中未知数项的次数为 2 次，故 A 选项不是；B 选项中 1 x ， 1 y ， 1 z 不是整式，故 B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故 C 选项不是
6、；D 项符合三元一次方程组的定义 【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程； (2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组 类型类型二、二、三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 2. (韶关)解方程组 27 5322 344 yx xyz xz 【思路点拨】方程是用未知数 x 表示 y 的式子，将代入可得二元一次方程组 【答案与解析】 解：将代入得：5x+3(2x-7)+2z2， 整理得：11x+2z23 由此可联立方程组 344 11223 xz xz ， +2 得：25x50，x2 把 x2 分别代
7、入可知：y-3， 1 2 z 所以方程组的解为 2 3 1 2 x y z 【总结升华】解三元一次方程组的思想仍是消元，是用加减消元法，还是用代入消元法，要根据方程 组的特征来确定，一定要选择较简便的方法 【高清课堂：【高清课堂：三三元一次方程组元一次方程组 409145409145 例例 1 1】 举一反三：举一反三： 23 348 23 xyz xyz xyz 3 【变式】解方程组： 【答案】 解：+得：5311xy 2+得：53xy 由此可得方程组： 5311 53 xy xy 得：48y ，2y 将2y 代入知：1x 将1x ，2y 代入得：3z 所以方程组的解为： 1 2 3 x y
8、 z 【高清课堂：【高清课堂：三三元一次方程组元一次方程组 409145409145 例例 2 2（2 2） 】 3. 解方程组235 20 xyz xyz 【答案与解析】 解法一：原方程可化为： 25 35 20 xz yz xyz 由得： 2 5 xz， 3 5 yz 将代入得： 23 20 55 zzz，得：10z 将代入中两式，得： 22 104 55 xz， 33 106 55 yz 所以方程组的解为： 4 6 10 x y z 解法二：设 235 xyz t，则2 ,3 ,5xtytzt 将代入得：23520ttt，2t 将2t 代入得：2224xt，33 26,55 210ytz
9、t 4 所以方程组的解为： 4 6 10 x y z 【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比 例系数等)来解 举一反三：举一反三： 【变式】方程组 3 2 9 ab bc ca 的解为 【答案】 7 4 2 a b c （提示：将三式左右分别相加，求得abc ，再分别计算, ,a b c较简单） 类型类型三、三、三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用 4.黄冈市在国庆节前夕举办了庆祝建国六十一周年足球联赛活动，这次足球联赛共赛 11 轮，胜 一场记 3 分，平一场记一分，负一场记 0 分某校队所负场数是胜的场数的 1 2 ，结果共得 20 分
10、问该校 队胜、平、负各多少场? 【思路点拨】该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场数与负的场数之间的关系，等量关系 有： 胜场数+负场数+平场数11； 胜得分+平得分+负得分总得分； 胜场数负场数2 将以上相等关系转化成方程(组)可得解 【答案与解析】 解：设该校队胜 x 场、平 y 场、负 z 场，根据题意，得： 11 320 2 xyz xy xz ，解这个三元一次方程组，得 6 2 3 x y z 答：该校队胜 6 场、平 2 场、负 3 场 【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似， 根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的
11、重要一环 举一反三：举一反三： 【变式】现有面值为 2 元、1 元和 5 角的人民币共 24 张，币值共计 29 元，其中面值为 2 元的比 1 元 的少 6 张，求三种人民币各多少张? 【答案】 解：设面值为 2 元、1 元和 5 角的人民币分别为 x 张、y 张和 z 张 依题意，得 24 1 229 2 6 xyz xyz xy 5 把分别代入和，得 218 1 323 2 xz xz 2，得 6x+z46 -，得 4x28，x7 把 x7 代入，得 y13 把 x7，y13 代入，得 z4 方程组的解是 7 13 4 x y z 答：面值为 2 元、l 元和 5 角的人民币分别为 7 张、13 张和 4 张
