1、导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 5.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 考点一考点一 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 例例1 已知函数已知函数f(x)x1 a ex (aR，e为自然对数的底为自然对数的底 数数)，求函数，求函数f(x)的极值的极值 解解 由由f(x)x1 a ex，得 ，得f(x)1 a ex. 当当a0时，时，f(x)0，f(x)为为(，)上的增函上的增函 数，所以函数数，所以函数f(x)无极值
2、无极值 当当a0时，令时，令f(x)0， 得得exa，即，即xln a， 当当x(，ln a)时，时，f(x)0； 当当x(ln a，)时，时，f(x)0， 所以函数所以函数f(x)在在(，ln a)上单调递减，在上单调递减，在(ln a，)上上 单调递增，故函数单调递增，故函数f(x)在在xln a处取得极小值且极小值为处取得极小值且极小值为f(ln a) ln a，无极大值，无极大值 综上，当综上，当a0时，函数时，函数f(x)无极值；无极值； 当当a0时，函数时，函数f(x)在在xln a处取得极小值处取得极小值ln a，无极大值，无极大值 例例2 设函数设函数f(x)ln(x1)a(x
3、2x)，其中，其中aR.讨论讨论 函数函数f(x)极值点的个数，并说明理由极值点的个数，并说明理由 解解 f(x) 1 x1 a(2x1)2ax 2 axa1 x1 (x1) 令令g(x)2ax2axa1，x(1，) 当当a0时，时，g(x)1，f(x)0，函数，函数f(x)在在(1，) 上单调递增，无极值点上单调递增，无极值点 当当 a0时，时，a28a(1a)a(9a8) 当当0a8 9时， 时，0，g(x)0，f(x)0， 函数函数f(x)在在(1，)上单调递增，无极值点上单调递增，无极值点 当当a8 9时， 时，0， 设方程设方程2ax2axa10的两根为的两根为x1，x2(x1x2)
4、， 因为因为x1x21 2，所以 ，所以x11 4， ，x21 4. 由由g(1)10，可得，可得1x11 4. 所以当所以当x(1，x1)时，时，g(x)0，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增；单调递增； 当当x(x1，x2)时，时，g(x)0，f(x)0，函数，函数f(x)单调递减；单调递减； 当当x(x2，)时，时，g(x)0，f(x)0, 函数函数f(x)单调递增单调递增 因此函数因此函数f(x)有两个极值点有两个极值点 当当a0时，时，0，由，由g(1)10， 可得可得x11x2. 当当x(1，x2)时，时，g(x)0，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增；单调递增； 当当x(
5、x2，)时，时，g(x)0，f(x)0，函数，函数f(x)单调递减单调递减 所以函数所以函数f(x)有一个极值点有一个极值点 综上所述，当综上所述，当a0时，函数时，函数f(x)有一个极值点；有一个极值点； 当当0a8 9时，函数 时，函数f(x)无极值点；无极值点； 当当a8 9时，函数 时，函数f(x)有两个极值点有两个极值点 考法考法(二二) 已知函数的极值点的个数求参数已知函数的极值点的个数求参数 例例3 已知函数已知函数g(x)ln xmx m x 存在两个极值点存在两个极值点x1， x2，求，求m的取值范围的取值范围 解解 因为因为g(x)ln xmxm x ， 所以所以g(x)1
6、 x mm x2 mx 2 xm x2 (x0)， 令令h(x)mx2xm，要使，要使g(x)存在两个极值点存在两个极值点x1，x2，则，则 方程方程mx2xm0有两个不相等的正数根有两个不相等的正数根x1，x2. 故只需满足故只需满足 h 0 0， 1 2m 0， h 1 2m 0， 解得解得0m1 2. 所以所以m的取值范围为的取值范围为 0，1 2 . 考法考法(三三) 已知函数的极值求参数已知函数的极值求参数 例例4 (2018 北京高考北京高考)设函数设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex. (1)若曲线若曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线与处的切线与x轴平行，求轴平行
7、，求a； 解解 因为因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex， 所以所以f(x)ax2(2a1)x2ex. 所以所以f(1)(1a)e. 由题设知由题设知f(1)0，即，即(1a)e0，解得，解得a1. 此时此时f(1)3e0. 所以所以a的值为的值为1. (2)若若f(x)在在x2处取得极小值，求处取得极小值，求a的取值范围的取值范围 解解由由(1)得得f(x)ax 2 (2a1)x2ex (ax1)(x2)ex. 若若a1 2，则当 ，则当x 1 a， ，2 时，时，f(x)0; 当当x(2，)时，时，f(x)0. 所以所以f(x)在在x2处取得极小值处取得极小值 若若a1 2，则当 ，则
8、当x(0,2)时，时，x20，ax11 2x 10， 所以所以f(x)0. 所以所以2不是不是f(x)的极小值点的极小值点 综上可知，综上可知，a的取值范围是的取值范围是 1 2， ， . 规律探求规律探求 看看 个个 性性 考法考法(一一)是已知函数的解析式求函数的极值点个数是已知函数的解析式求函数的极值点个数 或极值解决此类问题的一般步骤为：或极值解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数确定函数 定义域；定义域； (2)求导数求导数f(x)及及f(x)0的根；的根； (3)根据方程根据方程f(x)0的根将函数定义域分成若干个的根将函数定义域分成若干个 区间，列出表格，检查导函数区间，列出表
9、格，检查导函数f(x)零点左右零点左右f(x) 的值的符号，并得出结论的值的符号，并得出结论 看看 个个 性性 提醒提醒 如果解析式中含有参数，需分类讨论，分类标如果解析式中含有参数，需分类讨论，分类标 准主要有以下几个方面：准主要有以下几个方面： (1)f(x)0的根是否存在；的根是否存在； (2)f(x)0根的大小；根的大小； (3)f(x)0的根与定义域的关系等的根与定义域的关系等 考法考法(二二)是已知函数极值点的个数求参数解决此类问是已知函数极值点的个数求参数解决此类问 题可转化为函数题可转化为函数yf(x)在区间在区间(a，b)内变号零点的个内变号零点的个 数问题求解数问题求解 考
10、法考法(三三)是已知函数的极值求参数解决此类问题常利是已知函数的极值求参数解决此类问题常利 用用f(x0)0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参列方程求参数，求出参数后还要检验所求参 数值是否满足数值是否满足x0的极值点特征的极值点特征 找找 共共 性性 利用导数研究函数极值的一般流程利用导数研究函数极值的一般流程 考点二考点二 利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 已知函数已知函数f(x)ln x x 1. (1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间； 解解 因为函数因为函数f(x)的定义域为的定义域为(0，)，且，且f(x) 1ln
11、 x x2 ， 由由 f x 0， x0， 得得 0 xe；由；由 f x 0， x0， 得得xe. 所以函数所以函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为，单调递减区间为 (e，) 解解当当 2me， m0， 即即0m e 2 时，函数时，函数f(x)在区在区间间m,2m上上 单调递增，所以单调递增，所以f(x)maxf(2m)ln 2m 2m 1； 当当me2m，即，即e 2 me时，函数时，函数f(x)在区间在区间(m，e)上单调上单调 递增，在递增，在(e,2m)上单调递减，上单调递减， 所以所以f(x)maxf(e)ln e e 11 e 1； (2)设设
12、m0，求函数，求函数f(x)在区间在区间m,2m上的最大值上的最大值 当当me时，函数时，函数f(x)在区间在区间m,2m上单调递减，上单调递减， 所以所以f(x)maxf(m)ln m m 1. 综上所述，当综上所述，当0me 2时， 时，f(x)maxln 2m 2m 1； 当当e 2 me时，时，f(x)max1 e 1； 当当me时，时，f(x)maxln m m 1. 解题技法解题技法 求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间a，b内的最值的思路内的最值的思路 (1)若所给的闭区间若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数不含有参数，则只需对函数f(x) 求导，并求求导，并求f(x)0
13、在区间在区间a，b内的根，再计算使导数等于内的根，再计算使导数等于 零的根的函数值，把该函数值与零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值一个是最大值，最小的一个是最小值 (2)若所给的闭区间若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数含有参数，则需对函数f(x)求求 导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函 数数f(x)的最值的最值 提醒提醒 求函数在无穷区间求函数在无穷区间(或开区间或开区间)上的最值，不仅要上的最值，不仅要 研究其极值情况，还要研究其单调性，并
14、通过单调性和极值研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值 情况，然后借助图象观察得到函数的最值情况，然后借助图象观察得到函数的最值 过关训练过关训练 1(2018 全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)2sin xsin 2x，则，则f(x)的最的最 小值是小值是_ 3 3 2 解析：解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10，当当cos x1 2时， 时，f(x)0，f(x)单调递减；单调递减； 当当cos x1 2时， 时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增 当当
15、cos x1 2， ，f(x)有最小值有最小值 又又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当当sin x 3 2 时，时，f(x)有最小值，有最小值， 即即f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 2已知函数已知函数f(x)ln xax2bx(其中其中a，b为常数且为常数且a0)在在x 1处取得极值处取得极值 (1)当当a1时，求时，求f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若若f(x)在在(0，e上的最大值为上的最大值为1，求，求a的值的值 解：解：(1)因为因为f(x)ln xax2bx，所以，所以f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x) 1 x
16、 2axb，因为函数，因为函数f(x)ln xax2bx在在x1处取得处取得 极值，所以极值，所以f(1)12ab0， 又又a1，所以，所以b3，则，则f(x)2x 2 3x1 x ， 令令f(x)0，得，得x11 2， ，x21. 当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)随随x的变化情况如下表：的变化情况如下表： x 0，1 2 1 2 1 2， ，1 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值极大值 极小值极小值 所以所以f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 0，1 2 ，(1，)，单调递减区间，单调递减区间 为为 1 2， ，1 . (2)由由(1)知知f(x)2ax 2 2a
17、1 x1 x 2ax 1 x1 x (x0)， 令令f(x)0，得，得x11，x2 1 2a， ， 因为因为f(x)在在x1处取得极值，所以处取得极值，所以x2 1 2a x11. 当当a0，即，即 1 2a 0时，时，f(x)在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，e上单上单 调递减，调递减， 所以所以f(x)在区间在区间(0，e上的最大值为上的最大值为f(1)，令，令f(1)1，解得，解得a 2. 当当a0，即，即x2 1 2a 0时，时， 若若 1 2a 1，f(x)在在 0， 1 2a ，1，e上单调递增，在上单调递增，在 1 2a， ，1 上单上单 调递减，所以最大值可能在调
18、递减，所以最大值可能在x 1 2a 或或xe处取得，而处取得，而f 1 2a ln 1 2a a 1 2a 2 (2a1) 1 2a ln 1 2a 1 4a 10， 令令f(e)ln eae2(2a1)e1，解得，解得a 1 e2. 若若1 1 2a e，f(x)在区间在区间(0,1)， 1 2a， ，e 上单调递增，在上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减，上单调递减， 所以最大值可能在所以最大值可能在x1或或xe处取得，处取得， 而而f(1)ln 1a(2a1)0， 令令f(e)ln eae2(2a1)e1， 解得解得a 1 e2，与 ，与1x2 1 2a e矛盾矛盾 若若x2 1
19、2a e，f(x)在区间在区间(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，e上单调递上单调递 减，所以最大值可能在减，所以最大值可能在x1处取得，而处取得，而f(1)ln 1a(2a1) 0，矛盾，矛盾 综上所述，综上所述，a 1 e2或 或a2. 考点三考点三 利用导数求解函数极值和最值的综合问题利用导数求解函数极值和最值的综合问题 师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (2019 贵阳模拟贵阳模拟)已知函数已知函数f(x)ln x1 2x 2 axa(aR) (1)若函数若函数f(x)在在(0，)上为单调递增函数，求实数上为单调递增函数，求实数a的取值范围；的取值范围； 解解 f(x
20、)1 x xa(x0)， 又又f(x)在在(0，)上单调递增，上单调递增，恒有恒有f(x)0， 即即1 x xa0恒成立，恒成立，a x1 x min， ， 而而x1 x 2 x 1 x 2，当且仅当，当且仅当x1时取时取“”，a2. 即函数即函数f(x)在在(0，)上为单调递增函数时，上为单调递增函数时，a的取值范围是的取值范围是 (，2 解解f(x)在在xx1和和xx2处取得极值，处取得极值， 且且f(x)1 x xax 2 ax1 x (x0)， x1，x2是方程是方程x2ax10的两个实根，的两个实根， 由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1x2a，x1x21， f(x2)f(x1)
21、lnx2 x1 1 2(x 2 2 x2 1) a(x2x1)lnx2 x1 1 2(x 2 2 x2 1) lnx2 x1 1 2(x 2 2 x2 1) 1 x1x2 lnx2 x1 1 2 x2 x1 x1 x2 ， (2)若函数若函数f(x)在在xx1和和xx2处取得极值，且处取得极值，且x2 ex1(e为自为自 然对数的底数然对数的底数)，求，求f(x2)f(x1)的最大值的最大值 设设tx2 x1(t e)，令，令h(t)ln t1 2 t1 t (t e)， 则则h(t)1 t 1 2 11 t2 t 1 2 2t2 0， h(t)在在 e，)上是减函数，上是减函数， h(t)h
22、( e)1 2 1 e e e ， 故故f(x2)f(x1) 的最大值为的最大值为1 2 1 e e e . 解题技法解题技法 解决函数极值、最值综合问题的策略解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论 参数的大小参数的大小 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值 点，要通过比较才能下结论点，要通过比较才能下结论 (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点 值进行比较才能确定最值值进行比较才能确
23、定最值 过关训练过关训练 已知函数已知函数f(x) ax2bxc ex (a0)的导函数的导函数f(x)的两个零点为的两个零点为 3和和0. (1)求求f(x)的单调区间；的单调区间； 解：解：f(x) 2ax b ex ax2bxc ex ex 2 ax2 2ab xbc ex . 令令g(x)ax2(2ab)xbc， 因为因为ex0，所以，所以f(x)的零点就是的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零的零 点，且点，且f(x)与与g(x)符号相同符号相同 又因为又因为a0，所以当，所以当3x0时，时，g(x)0，即，即f(x)0， 当当x3或或x0时，时，g(x)0，即，即f(x)0，
24、 所以所以f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(3,0)，单调递减区间是，单调递减区间是(，3)， (0，) (2)若若f(x)的极小值为的极小值为e3，求，求f(x)在区间在区间5，)上的最大值上的最大值 解：解：由由(1)知，知，x3是是f(x)的极小值点，所以有的极小值点，所以有 f 3 9a 3bc e 3e3， g 0 bc0， g 3 9a3 2ab bc0， 解得解得a1，b5，c5，所以，所以f(x)x 2 5x5 ex . 由由(1)可知当可知当x0时时f(x)取得极大值取得极大值f(0)5， 故故f(x)在区间在区间5，)上的最大值取上的最大值取f(5)和和f(0)中的最大者中的最大者 而而f(5) 5 e 55e55f(0)， 所以函数所以函数f(x)在区间在区间5，)上的最大值是上的最大值是5e5.
