1、第八章 立体几何初步 习题课习题课 平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边 形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OPOC，PAPD. 求证：(1)直线PA平面BDE. (2)平面BDE平面PCD. 题型探究题型探究 题型一题型一 平行和垂直关系的证明 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步
2、数学（必修第二册RJA） 证明 (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交 点，所以O为AC的中点. 又E为PC的中点，所以OEPA. 因为OE平面BDE，PA平面BDE， 所以直线PA平面BDE. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)因为OEPA，PAPD， 所以OEPD. 因为OPOC，E为PC的中点， 所以OEPC. 又PD平面PCD，PC平面PCD，PCPDP， 所以OE平面PCD. 因为OE平面BDE， 所以平面BDE平面PCD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化
3、时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行. (2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”“线面垂直”“面面垂 直”的转化思想进行推理. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB， AB1B1C1 求证：(1)AB平面A1B1C； (2)平面ABB1A1平面A1BC
4、. 证明 (1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1 因为AB平面A1B1C， A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B. 因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC. 因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二
5、册RJA） 题型二题型二 立体几何中的折叠问题 典典例例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ADC90 ，AB CD，ADCD1 2AB2，E 为 AC 的中点，将ACD 沿 AC 折起，使折 起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 DABC. (1)求证：BC平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD平面 BEF，求几何体 FBCE 的体积. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)证明：AC AD2CD22 2， BACACD45 ，AB4， 在ABC 中，BC2AC2AB22ACABcos45 8，
6、AB2AC2BC216，ACBC. 平面 ACD平面 ABC， 平面 ACD平面 ABCAC，BC平面 ABC， BC平面 ACD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)AD平面 BEF，AD平面 ACD，平面 ACD平面 BEFEF， ADEF，E 为 AC 的中点，EF 为ACD 的中位线. 由(1)知，几何体 FBCE 的体积 VFBCEVBCEF1 3SCEFBC， SCEF1 4SACD 1 4 1 222 1 2， VFBCE1 3 1 22 2 2 3 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 平面图形翻折为空间图形问题的
7、解题关键是看翻折前 后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中 没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的 空间图形的结构特征. 解决此类问题的步骤为： 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2020 湖南师范大学附属中学高二期中)如图(1)， 在等腰梯形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AB 的中点，CD2，AB4， ADBC 2.沿 EF 将梯形 AFED 折起，使得AFB60 ，如图(2). (1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG平面 BCEF. (2)求二面角 CABF 的正切值. 返回导航 第八章 立
8、体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)证明：因为AFBF，AFB60，所以AFB为等边 三角形. 又G为FB的中点，所以AGFB. 在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EFAB. 于是EFAF，EFBF. 又AFBFF，所以EF平面ABF. 因为AG平面ABF，所以AGEF. 又AGBF，EFBFF，所以AG平面BCEF. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，连接CG. 因为在等腰梯形ABCD中，CD2，AB4， 点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点， 所以ECFGBG1，从而CGEF. 因为EF平面ABF，所以CG平
9、面ABF. 如图，过点G作GHAB于H，连接CH. 由三垂线定理可得CHAB， 所以CHG为二面角CABF的平面角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 在 RtBHG 中，BG1，GBH60 ，所以 GH 3 2 . 在 RtCGB 中，CGBG，BG1，BC 2，所以 CG1 因为 CG平面 ABF，GH平面 ABF，所以 CGGH. 在 RtCGH 中，可得 tanCHGCG GH 1 3 2 2 3 3 ， 所以二面角 CABF 的正切值为2 3 3 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 立体几何中的探索性问题 典典例例 3
10、如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直， M 是CD 上异于 C，D 的点. (1)证明：平面 AMD平面 BMC. (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)证明：由题设知， 平面CMD平面ABCD， 交线为CD.因为BCCD， BC平面ABCD， 所以 BC平面 CMD， 又 DM平面 CMD，所以 BCDM. 因为 M 为CD 上异于 C，D 的点， 且 DC 为直径，所以 DMCM. 又 BCCMC，所以 DM平面 BMC. 因为 DM平面 AMD，所以平面 AMD平
11、面 BMC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)当P为AM的中点时，MC平面PBD. 理由如下： 如图，连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点. 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MCOP. 又MC平面PBD，OP平面PBD， 所以MC平面PBD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知 条件一起进行推理论证和计算.在推理论证和计算无误的前提下，如果得 到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则 说明
12、不存在. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是圆内接四 边形(记此圆为 W)，且 PA平面 ABCD. (1)当 BD 是圆 W 的直径时，PABD2，ADCD 3，求四棱锥 PABCD 的体积. (2)在(1)的条件下，判断在棱 PA 上是否存在一点 Q， 使得 BQ平面 PCD？若存在，求出 AQ 的长；若不存在， 请说明理由. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)因为 BD 是圆 W 的直径，所以 BAAD， 因为 BD2，AD 3，所以 AB1 同理 BC1，所以 S 四边形ABCDAB AD 3. 因为 PA平面 ABCD，PA2， 所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3S 四边形ABCD PA2 3 3 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)存在，AQ2 3.理由如下. 延长 AB，DC 交于点 E，连接 PE， 则平面 PAB 与平面 PCD 的交线是 PE. 假设在棱 PA 上存在一点 Q， 使得 BQ平面 PCD，则 BQPE，所以AQ PA AB AE. 经计算可得 BE2，所以 AEABBE3，所以 AQ2 3. 故存在这样的点 Q，使 BQ平面 PCD，且 AQ2 3.
