1、第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直直线与平面垂直 第第2课时课时 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握线面垂直的性质定理.(直观 想象) 2能利用线面垂直性质定理解决一 些垂直和平行的证明.(逻辑推理) 充
2、分利用长方体模型或所在空间(如 教室)认识线面垂直的性质定理. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质 知识点1 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_ 符号语言 a b _ 图形语言 作用 线面垂直线线平行，作平行线 平行 ab 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上_到这个平面 的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那
3、么其中一个平面内的任意一点到另一个平面 的距离都_，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 直线、平面间的距离 知识点2 任意一点 相等 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1剖析直线与平面垂直的性质定理 (1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直 线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了 “垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)定理的推证过程采用了反证法. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2直线与平面
4、垂直的性质 (1) l b lb；(2) a b ab；(3) ab a b； (4) a a；(5) a a . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 对直线与平面垂直的性质定理的理解 典典例例 1 已知 m，n 为两条不同直线， 为两个不同平面，给出下 列命题： m， mn n； m， n mn； m， m ； m ， n ， mn. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 其中正确命题的序号是 ( ) A B C D 答案 A 解
5、析 中n，可能平行或n在平面内；正确；两直线 m，n平行或异面，故选A 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 判定两条直线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知l，m，n是三条不同的直线，是一平面.下列 命题中正确的个数为 ( ) 若
6、lm，mn，l，则n； 若lm，m，n，则ln； 若l，lm，则m. A1 B2 C3 D0 B 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 对于，因为lm，mn，所以ln，又l，所以 n，即正确；对于，因为m，n，所以mn，又lm，所 以ln，即正确；对于，因为l，lm，所以m或m或m 或m与斜交，即错误. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一 点，N是A1C的中点，MN平面A1DC. 求证：MNAD1 证明 因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1，所
7、以CDAD1 因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC，所以MNAD1 题型二题型二 直线与平面垂直性质的应用 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和 另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和 这个平面垂直. (2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性 质. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，已知平面平面l，EA，垂足为 A，EB，垂足为B，直线a，aAB. 求证：al. 证明 因为EA，l
8、，即l，所以lEA. 同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB. 因为EB，a，所以EBa， 又aAB，EBABB， 所以a平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得al. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直 于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AESB. 题型三题型三 线与面垂直的判定与性质的综合 典典例例 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 因为SA平面ABCD，所以SABC. 因为四边形ABCD是正方形，所以ABBC. 因为SAABA，所以BC平面SAB.
9、因为AE平面SAB，所以BCAE. 因为SC平面AGEF，所以SCAE. 又因为BCSCC，所以AE平面SBC. 而SB平面SBC，所以AESB. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的 平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的 平面. (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条 相交直线，这一点在解题时一定要体现出来. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB
10、，SC， SD于点E，F，G”改为“过A作AFSC于点F，过点F作EFSC交SB于 点E”，结论不变，如何证明？ 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 因为SA平面ABCD，所以SABC. 因为四边形ABCD是正方形，所以ABBC. 因为SAABA，所以BC平面SAB. 因为AE平面SAB，所以BCAE. 又因为AFSC于点F，EFSC交SB于点E， 所以SC平面AGEF，所以SCAE. 又因为BCSCC，所以AE平面SBC. 而SB平面SBC，所以AESB. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 考虑不周全而致误
11、已知平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别为 1 和 2， A，B 两点在平面 内的射影之间的距离为 3，求直线 AB 和平面 所成 的角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错解 如图所示. 分别过 A、B 向平面 作垂线，垂足分别为 A1、B1，设直线 AB 和平 面 所成角为 ，则 tan21 3 3 3 . 0， 2 ，30 . 错因分析 解答本题时只考虑 A，B 在平面同一侧的情况，没有考 虑 A，B 在平面两侧的情况而出现漏解. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 正解 当点A，B在平面的同侧时，由题意知直线AB与平面 所成的角为30
12、. 当点A，B位于平面的两侧时，如图，过点A，B分别向平面作 垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面相交于点C，A1B1为AB在平面 上的射影，BCB1或ACA1为AB与平面所成的角. 在RtBCB1中，BB12在RtACA1中，AA11 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 由题意可知BCB1ACA1， BB1 AA1 B1C A1C2，B1C2A1C. B1CA1C 3，B1C2 3 3 . tanBCB1BB1 B1C 2 2 3 3 3，BCB160 ， AB 与平面 所成的角为 60 . 综合可知，直线 AB 与平面 所成的角为 30 或 60 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC 8，EC平面ABC，且EC12，则ED_. 13 解析 如图，连接 CD，则在 RtABC 中，CD1 2AB.因为 AC6， BC8，所以 AB 628210所以 CD5因为 EC平面 ABC，CD 平面 ABC，所以 ECCD.所以 ED EC2CD2 1225213
