1、 第 1 页（共 16 页） 2021 年上海市长宁区高考数学一模试卷年上海市长宁区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 （4 分）不等式 2 0 1 x x 解集为 2 （4 分）函数sin(2) 6 yx 的最小正周期为 3 （4 分）计算： 1 21 lim 31 n n n 4 （4 分）数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中位数为 5 （4 分）
2、在 6 1 ()x x 的二项展开式中， 2 x项的系数为 6 （4 分）若函数( )yf x的反函数 1( ) log(0,1) a fxx aa 图象经过点 3 (8, ) 2 ，则 1 () 2 f 的值为 7 （5 分）若直线 12 0 1 xy k 的法向量与直线10 xy 的方向向量垂直，则实数 k 8 （5 分）设集合 2 |1Mx x， Nb，若MNM，则实数b的取值范围为 9 （5 分）设F为双曲线 2 2 2 :1(0) y xb b 的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为 直径的圆与双曲线渐近线的两个交点若| |PQOF，则b 10 （5 分）在ABC中，3AB ，2A
3、C ，点D在边BC上若1AB AD， 5 3 AD AC ， 则AB AC的值为 11 （5 分）设O为坐标原点，从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的元 素x、y，组成A、B两点的坐标( , )x y、( , )y x，则 1 2arctan 3 AOB的概率为 12 （5 分）设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S若数列 n a满足：存在三个 不同的正整数r，s，t，使得 r a， s a， t a成等比数列， 2r a， 2s a， 2t a也成等比数列，则 1 990 n n SS a 的最小值为 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，
4、满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生应考生应 第 2 页（共 16 页） 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 （5 分）设复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位） ，则“0a ”是“z为纯虚 数”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14 （5 分）对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是( ) A 22 ()|abab B 22 ()()ab abab C| |a bab D|abab 15 （5 分）设m、n为两
5、条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是( ) A若mn，m，n，则 B若/ /mn，m，/ /n，则 C若mn，/ /m，/ /n，则/ / D若/ /mn，m，n，则/ / 16 （5 分）设 123 ( ) |2|f xxbkxbxb，其中常数0k ， 1 b， 2 b， 3 bR，若函 数( )yf x图象如图所示，则数组 1 (b， 2 b， 3) b的一组值可以是( ) A(3，1，1) B(1，2，1) C( 1，2，2) D(1，3，1) 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须
6、在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17 （14 分）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2 3，底面半径为 2 （1）求该圆锥的侧面积； （2） 设OA、OB为该圆锥的底面半径， 且90AOB，M为线段AB的中点， 求直线PM 与直线OB所成的角的正切值， 第 3 页（共 16 页） 18 （14 分）设抛物线 2 :4yx的焦点为F，直线:0l xmyn经过F且与交于A、 B两点 （1）若| 8AB ，求m的值； （2）设O为坐标原点，直线AO与的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴 19 （14 分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界
7、 围成一个封闭的留观区经测量，边界AB与AD的长度都是 20 米，60BAD， 120BCD （1）若105ADC，求BC的长（结果精确到米） ； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米） 20 （16 分）设 32 ( )2 ()f xxaxx xR，其中常数aR （1）判断函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式 3 3 ( ) 2 f xx在区间 1 2 ，1上有解，求实数a的取值范围； （3） 已知： 若对函数( )yh x定义域内的任意x， 都有( )(2)2h xh mxn， 则函数( )yx 的图象有对称中心( , )m n利用以上结论
8、探究：对于任意的实数a，函数( )yf x是否都有 对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a表示） ；若不是，证明你的结论 21 （18 分）若对于数列 n a中的任意两项可 i a，() j a ij，在 n a中都存在一项 m a，使 第 4 页（共 16 页） 得 2 i m j a a a ， 则称数列 n a为 “X数列” 若对于数列 n a中的任意一项(3) n a n， 在 n a中 都存在两项 k a，() l a kl，使得 2 k n l a a a ，则称数列 n a为“Y数列” （1）若数列 n a为首项为 1 公差也为 1 的等差数列，判断数列 n a是否为“X数列”
9、 ，并 说明理由； （2）若数列 n a的前n项和21(*) n n SnN，求证：数列 n a为“Y数列” ； （3）若数列 n a为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列” ，又为“Y数列” ，求证： 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列 第 5 页（共 16 页） 2021 年上海市长宁区高考数学一模试卷年上海市长宁区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在
10、答题纸的相应位置直接填写结果 1 （4 分）不等式 2 0 1 x x 解集为 | 12xx 【解答】解：由不等式不等式 2 0 1 x x ，可得(2)(1)0 xx，解得12x ， 故答案为 | 12xx 2 （4 分）函数sin(2) 6 yx 的最小正周期为 【解答】解：函数sin(2) 6 yx 的最小正周期是： 2 2 故答案为： 3 （4 分）计算： 1 21 lim 31 n n n 0 【解答】解： 1 21 2( ) 21 33 limlim0 1 31 1 3 n n n n nn n 故答案为：0 4 （4 分）数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中
11、位数为 3.0 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为 1 (2.93.1)3.0 2 故答案为：3.0 5 （4 分）在 6 1 ()x x 的二项展开式中， 2 x项的系数为 15 【解答】解：根据二项式定理， 6 1 ()x x 的通项为 66 2 166 1 ( ) rrrrr r TCxC x x ，0r ，1， 2， ，6， 当622r时，即2r 时，可得 2 3 15Tx， 即 2 x项的系数为 15， 故答案为：15 第 6 页（共 16 页） 6 （4 分）若函数( )yf x的反函数 1( ) log(
12、0,1) a fxx aa 图象经过点 3 (8, ) 2 ，则 1 () 2 f 的值为 1 2 【解答】解：由已知可得 3 log 8 2 a ，即 3 2 8a ， 解得4a ，所以 1 4 ( )logfxx ， 再令 4 1 log 2 x ，即 1 2 4x ，解得 1 2 x ， 由反函数的定义可得 11 () 22 f ， 故答案为： 1 2 7 （5 分）若直线 12 0 1 xy k 的法向量与直线10 xy 的方向向量垂直，则实数k 1 【解答】解：直线 12 0 1 xy k ，即(1) 1 (2)0kxy ，即20kxyk， 直线 12 0 1 xy k 的法向量与直
13、线10 xy 的方向向量垂直，这两条直线互相平 行， 故它们的斜率相等，即1k ， 故答案为：1 8 （5 分）设集合 2 |1Mx x， Nb，若MNM，则实数b的取值范围为 1， 1 【解答】解： 2 |1 | 11Mx xxx剟?， MNM，NM， Nb， 11b 剟 故答案为： 1，1 第 7 页（共 16 页） 9 （5 分）设F为双曲线 2 2 2 :1(0) y xb b 的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为 直径的圆与双曲线渐近线的两个交点若| |PQOF，则b 1 【解答】解：如图，可得( 2 c P，) 2 c ， 又点P在渐进线 b yx a 上， 22 cb c a
14、 ， 整理得：1 b a ， 又1a ，1b， 故答案为：1 10 （5 分）在ABC中，3AB ，2AC ，点D在边BC上若1AB AD， 5 3 AD AC ， 则AB AC的值为 3 【解答】解：由已知设ADxAByAC，且1xy， 因为1AB AD， 5 3 AD AC ，所以 ()1 5 () 3 AB xAByAC AC xAByAC ， 即 91 5 4 3 xyAB AC yxAB AC ，结合1xy， 消去AB AC，得 19 5 4 3 1 xy x y xy ，解得 12 , 33 xy， 代入式，可得3AB AC 故答案为：3 第 8 页（共 16 页） 11 （5 分
15、）设O为坐标原点，从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的元 素x、y，组成A、B两点的坐标( , )x y、( , )y x，则 1 2arctan 3 AOB的概率为 1 9 【解答】解：x，1y，2，3，4，5，6，7，8，9且yx，数对( , )x y共有9872 个 1 2arctan 3 AOB， 2 2 3 3 tan 2 4 1( ) 3 AOB ， 4 cos 5 AOB， 又连接原点O和( , )A x y，( , )B y x两点，得( , )OAx y，( , )OBy x， 则 22 24 cos 5| | OA OBxy AOB xyOAOB ，即(
16、2)(2 )0 xy xy，即2yx，或 1 2 yx， 满足 1 2arctan 3 AOB的数对有： (1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共 8 个， 1 2arctan 3 AOB的概率 81 729 P 故答案为： 1 9 12 （5 分）设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S若数列 n a满足：存在三个 不同的正整数r，s，t，使得 r a， s a， t a成等比数列， 2r a， 2s a， 2t a也成等比数列，则 1 990 n n SS a 的最小值为 45 【解答】解：根据题意，数列 n a为等
17、差数列，设 n apnq， 若存在三个不同的正整数r，s，t，使得 r a， s a， t a成等比数列， 2r a， 2s a， 2t a也成等 比数列， 则有 2 2 ()()() (2)(2)(2) prqptqpsq prqptqpsq ，即 222 222 22 4444 p rtpq trp spqs p rtpq trp spqs 联立，变形可得 222 p rtp s， 又由等差数列 n a的公差不为 0，即0p ，则有 2 rts， 第 9 页（共 16 页） 代入式可得()2pq rtpqs， 又由r，s，t互不相等且 2 rts，则2rts ，必有0q ，则 n apn，
18、 所以 11 Sap， 1 ()(1) 22 n n aann np S ， 故 1 (1) 990 9909901 2 22 n n n n p SSn apnn ， 设 9901 ( ) 22 n f n n ， 则 990199011 ( )22 445 22222 nn f n nn ， 当且仅当 2 1880n 时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意， 而43188044， 所以 9904311936 (43) 432243 f， 990441 (44)45 4422 f， 所以(43)(44)ff， 所以 1 990 n n SS a 的最小值为 45， 故答案为：45 二、选择
19、题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生应考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 （5 分）设复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位） ，则“0a ”是“z为纯虚 数”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位） ，当0a ，且0b 时，z为 纯虚数， 则“0a ”是“z为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B 14 （5 分）对
20、任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是( ) A 22 ()|abab B 22 ()()ab abab 第 10 页（共 16 页） C| |a bab D|abab 【解答】解：因为 22 |aa，所以 22 ()|abab正确，所以A正确； 22 ()()ab abab，满足向量的运算法则，所以B正确； | | |cos,| |a baba bab，所以C正确； 如果两个向量是相反向量，|abab，不正确，所以D不正确； 故选：D 15 （5 分）设m、n为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是( ) A若mn，m，n，则 B若/ /mn，m，/ /n，则 C若mn，/ /m，/
21、 /n，则/ / D若/ /mn，m，n，则/ / 【解答】解：对于A：由于m，n，所以直线m和n相当于平面和的法向量， 由于mn，所以，故A正确； 对于B：由于m，/ /n，所以m相当于的法向量，由于/ /mn，则，故B正 确； 对于C：由于mn，/ /m，/ /n，则，故C正确； 对于D：由于/ /mn，m，n，则/ /，故D正确 故选：C 16 （5 分）设 123 ( ) |2|f xxbkxbxb，其中常数0k ， 1 b， 2 b， 3 bR，若函 数( )yf x图象如图所示，则数组 1 (b， 2 b， 3) b的一组值可以是( ) A(3，1，1) B(1，2，1) C( 1
22、，2，2) D(1，3，1) 第 11 页（共 16 页） 【解答】 解： 由图象可知， 当x 时， 123123 ( )2(1)()f xxbkxbxbkxbbb 恒为负值， 所以1k ， 123 0bbb，即 123 bbb，观察选项可知，只有A选项中 123 bbb， 故选：A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17 （14 分）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2 3，底面半径为 2 （1）求该圆锥的侧面积； （2） 设OA、OB
23、为该圆锥的底面半径， 且90AOB，M为线段AB的中点， 求直线PM 与直线OB所成的角的正切值， 【解答】解： （1）由题意知，2 3h ，2r ， 圆锥的母线 22 4lhr， 圆锥的侧面积 11 24228 22 Slr （2）取OA的中点N，连接MN，PN， M为AB的中点， 第 12 页（共 16 页） / /MNOB， PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角， OBOA，OBOP，OAOPO，OA、OP 平面POA， OB平面POA， MN平面POA，MNPN， 在Rt PMN中， 22 ( )13 2 r PNh， 1 1 2 MNOB， tan13 PN PMN MN ，
24、 故直线PM与直线OB所成的角的正切值为13 18 （14 分）设抛物线 2 :4yx的焦点为F，直线:0l xmyn经过F且与交于A、 B两点 （1）若| 8AB ，求m的值； （2）设O为坐标原点，直线AO与的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴 【解答】解： （1）根据题意，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 抛物线 2 :4yx的焦点为F，则(1,0)F， 直线:0l xmyn经过点F， 则有100n， 解可得1n ， 直线l的方程为1xmy， 联立 2 1 4 xmy yx 可得： 2 440ymy， 则有 12 4yym， 12 4y y ， 又由| 8A
25、B ，则 222 1212 |(1)()44(1)8ABmyyy ym， 解可得1m ， （2）根据题意，抛物线 2 :4yx的准线为1x ， 设 3 ( 1,)Cy，由直线OA的方程 1 1 y yx x ， 则有 1 3 11 4y y xy ， 又由 12 4y y ，则 2 1 4 y y ， 第 13 页（共 16 页） 故 23 1 4 yy y ，故直线BC平行于x轴 19 （14 分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界 围成一个封闭的留观区经测量，边界AB与AD的长度都是 20 米，60BAD， 120BCD （1）若105ADC，求BC的长
26、（结果精确到米） ； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米） 【解答】解： （1）连接BD，在ABD中，因为60BAD，ABAD，所以ABD为等 边三角形，所以20BD ， 因为105ADC，所以1056045BDC ， 在BCD中，由正弦定理可得 sin120sin45 BCBC ，所以 20 6 16 3 BC 千米， （2）连接BD，2BDAD，且60ADB，可得2BD ， 在BCD中，由余弦定理可得 2222222 3 2cos120()()()() 24 BCCD BDBCCDBC CDBCCDBC CDBCCDBCCD ， 所以 22 41600 ()
27、 33 BCCDBD，所以 40 3 () 3 max BCCD， 所以四边形ABCD的周长为： 40 3 ()202073 3 max ABBCCDAD米 20 （16 分）设 32 ( )2 ()f xxaxx xR，其中常数aR 第 14 页（共 16 页） （1）判断函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式 3 3 ( ) 2 f xx在区间 1 2 ，1上有解，求实数a的取值范围； （3） 已知： 若对函数( )yh x定义域内的任意x， 都有( )(2)2h xh mxn， 则函数( )yx 的图象有对称中心( , )m n利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数(
28、 )yf x是否都有 对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a表示） ；若不是，证明你的结论 【解答】解： （1）当0a 时， 3 ( )2f xxx，显然()( )fxf x，函数( )f x是奇函数， 当0a ，f（1）1a，( 1)1fa， ( 1)ff （1） ，故( )f x既不是奇函数也不是偶函数； （2）原问题转化为 12 2 ax x 在区间 1 2 ，1上有解， 函数 12 2 yx x 在区间 1 2 ，1上单调递减， 故 5 2 min y， 故a的取值范围是 5 ( 2 ，)； （3）假设存在对称中心( , )m n， 则 3232 2(2)(2)2(2)2xaxxmx
29、amxmxn恒成立， 得 2232 (62 )(124 )8442ma xma xmammn恒成立， 故 2 32 620 1240 8442 ma mam mammn ， 故 3 a m ， 3 22 273 aa n ， 故函数( )yf x的对称中心是( 3 a ， 3 22 ) 273 aa 21 （18 分）若对于数列 n a中的任意两项可 i a，() j a ij，在 n a中都存在一项 m a，使 得 2 i m j a a a ， 则称数列 n a为 “X数列” 若对于数列 n a中的任意一项(3) n a n， 在 n a中 第 15 页（共 16 页） 都存在两项 k a
30、，() l a kl，使得 2 k n l a a a ，则称数列 n a为“Y数列” （1）若数列 n a为首项为 1 公差也为 1 的等差数列，判断数列 n a是否为“X数列” ，并 说明理由； （2）若数列 n a的前n项和21(*) n n SnN，求证：数列 n a为“Y数列” ； （3）若数列 n a为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列” ，又为“Y数列” ，求证： 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列 【解答】解： （1）数列 n a的通项公式为： n an， 2 2a ， 3 3a ， 2 3 2 9 2 a a 不是整数，故不是数列 n a的项， 故数列 n a
31、不是“X数列” ； （2）数列 n a的前n项和 * 21() n n SnN，故 1 2n n a ， 当3n时，取1Km，2lm， 则 2 211 22 k lnk n l a a a ，故数列 n a是“Y数列” ， （3）证明：记 2 1 a q a ，而数列 n a为各项均为正数的递增数列， 故1q 且当kl时，1 k l a a ， 若kl， 2 kk nkkl ll aa aaaa aa ，则nkl， 数列 n a为“X数列” ，故存在i j，且 2 3 i j a a a ， 由知：31ij ，故2i ，1j ， 即 2 22 31 1 a aa q a ，即 1 a， 2 a
32、， 3 a成等比数列， 数列 n a是“X数列” ，存在正整数k，()l kl，使得 2 4 k l a a a ， 由得：4kl，故3 kl，从而 2 21 41 k lk l a aa q a ，记 * 4 21nklN ， 第 16 页（共 16 页） 数列 n a是“Y数列” ，存在正整数m，使得 2 33 31 2 m a aqaa q a ， 由1q ，得 3m aa， 若 4 3 411 n aa qa q，再由 2 314 aa qa， 得 4 23n，与 * 4 nN矛盾， 若 3 41m aa qa，则 34m aaa，与数列 n a递增矛盾， 故 3 41 aa q，即 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列
