1、. 8.推理与证明推理与证明、复数复数、算法算法 1归纳推理和类比推理 共同点：两种推理的结论都有待于证明 不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理 问题 1 (1)若数列an的通项公式为 an 1 ?n1?2(nN *)，记 f(n)(1a 1)(1a2)?(1an)， 试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)_. (2)若数列an是等差数列，bna1a2?an n ，则数列bn也为等差数列类比这一性质可 知，若正项数列cn是等比数列，dn也是等比数列，则 dn的表达式应为( ) Adnc1c2?cn n Bdnc1 c2 ? cn n Cdn
2、ncn1cn2?cnn Ddnnc1 c2 ? cn 答案 (1) n2 2n2 (2)D 2证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因反证法是常用的间接证明方法，利用反证 法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设 问题 2 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60 ”时，应假设 _ 答案 三角形三个内角都大于 60 3复数的概念 对于复数 abi(a，bR)，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当 b0 时，复数 abi(a，bR) 是实数 a；当 b0 时，复数 abi 叫做虚数；当 a0 且 b0 时，复数 abi 叫做纯虚数 问题 3 若复数 zlg(m2m2)i lg
3、(m23m3)为实数，则实数 m 的值为_ 答案 2 4复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结 论应记熟： . (1)(1 i)2 2i；(2)1i 1ii； 1i 1ii；(3)i 4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i；i4ni4n1 i4n 2i4n30；(4)设 1 2 3 2 i，则 01；2 ；31；120. 问题 4 已知复数 z1 3i 3i ， z 是 z 的共轭复数，则| z |_. 答案 1 5(1)循环结构中几个常用变量： 计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 ii1. 累加变量：用来计算数据之和，如 ssi. 累乘变量：
4、用来计算数据之积，如 ppi. (2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数 问题 5 执行如图的程序框图，输出 S 的值为_ 答案 2 解析 由算法知，记第 k 次计算结果为 Sk，则有 S1 1 121，S2 1 1?1? 1 2，S3 1 11 2 2，S4 1 121S1， 因此Sk是周期数列，周期为 3，输出结果为 S2 016S32. 易错点 1 复数概念不清 例 1 设复数 z11i，z2a2i，若z2 z1的虚部是实部的 2 倍，则实数 a 的值为( ) A6 B6 C2 D2 易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算
5、z2 z1时，错 用运算法则导致失误 . 解析 z2 z1 a2i 1i ?a2i?1i? ?1i?1i? a2?2a?i 2 ， 故该复数的实部是a2 2 ，虚部是a2 2 . 由题意，知a2 2 2a2 2 . 解得 a6.故选 A. 答案 A 易错点 2 循环结束条件判断不准 例 2 如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 S720，则在判断框中应填入关 于 k 的判断条件是( ) Ak6? Bk7? Ck8? Dk9? 易错分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决容易出 错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断
6、 框中的条件满足时执行循环，故应该从 k10 开始按照递减的方式逐步进行，直到 S 的输出 结果为 720. 解析 第一次运行结果为 S10，k9，第二次运行结果为 S10990，k8；第三次运 行结果为 S720，k7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是 k8？.故选 C. 答案 C 易错点 3 类比不当 例 3 已知圆的面积 S(R)R2，显然 S(R)2R 表示的是圆的周长：C2R.把该结论类 比到空间，写出球中的类似结论：_. 易错分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以 为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论 解析 平面图形的
7、面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体 的表面积类比所以半径为 R 的球的体积为 V(R)4 3R 3，其导函数 V(R)4 33R 24R2， . 显然表示的是球的表面积 所以结论是：半径为 R 的球的体积为 V(R)4 3R 3，其导函数表示的是球的表面积：S4R2. 答案 半径为 R 的球的体积为 V(R)4 3R 3，其导函数表示的是球的表面积：S4R2 易错点 4 循环次数把握不准 例 4 执行下边的程序框图，若 p0.8，则输出的 n_. 易错分析 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错 解析 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有 S：
8、01 2 1 2， 1 2 1 22 3 4， 3 4 1 23 7 80.875. n： 2， 3， 4. “0.8751，则 a，b，c， d 中至少有一个负数”的假设为( ) Aa，b，c，d 中至少有一个正数 . Ba，b，c，d 全都为正数 Ca，b，c，d 全都为非负数 Da，b，c，d 中至多有一个负数 答案 C 解析 用反证法证明命题时， 应先假设结论的否定成立， 而“a， b， c， d 中至少有一个负数” 的否定是“a，b，c，d 全都为非负数”，故 C 正确 3观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，?， 可以得出的一般结论是( ) An(
9、n1)(n2)?(3n2)n2 Bn(n1)(n2)?(3n2)(2n1)2 Cn(n1)(n2)?(3n1)n2 Dn(n1)(n2)?(3n1)(2n1)2 答案 B 解析 112,23432,3456752,4567891072，?，由上述式子可 以归纳：等式左边为连续自然数的和，有 2n1 项，且第一项为 n，则最后一项为 3n2，等 式右边均为 2n1 的平方 4设 f(n)? ? ? ? ? 1i 1i n ? ? ? ? ? ? 1i 1i n(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D无数个 答案 C 解析 f(n)? ? ? ? ? 1i 1i n ?
10、 ? ? ? ? ? 1i 1i nin(i)n， f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，? 集合中共有 3 个元素 5设三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，面积为 S，内切圆半径为 r，则 r 2S abc；类 比这个结论可知：若四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为 r，四面体 SABC 的体积为 V，则 r 等于( ) A. V S1S2S3S4 B. 2V S1S2S3S4 C. 3V S1S2S3S4 D. 4V S1S2S3S4 答案 C 解析 设四面体的内切球的球心为 O，则 VVOABCVOSABVOSACV
11、OSBC，即 V1 3S1r . 1 3S2r 1 3S3r 1 3S4r，所以 r 3V S1S2S3S4. 6定义某种运算 Sa?b，运算原理如图所示，则式子(2tan 5 4 )?ln elg 100?(1 3) 1的值是 ( ) A3 B4 C8 D0 答案 D 解析 由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数 Sa?b ? ? ? ? a?b1?，ab， a?b1?，ab， 所以 2tan 5 4 ?ln e2?14， lg 100?(1 3) 12?34， 所以(2tan 5 4 )?ln elg 100?(1 3) 1440，故选 D. 7将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3
12、 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? 根据以上排列规律，数阵中第 n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_ 答案 n2n6 2 解析 前 n1 行共用了1?n1?n1? 2 个数，即n?n1? 2 个数，也就是说第 n1 行的最后 一个数就是n?n1? 2 ， 那么， 第 n(n3)行的从左至右的第三个数是n?n1? 2 3， 也就是n 2n6 2 . 8若复数 z1429i，z269i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1z2)i 的实部为_ 答案 20 . 解析 (z1z2)i(220i)i202i， 故(z1z2)i 的实部为20. 9在平面上有如下命题“O 为
13、直线 AB 外的一点，则点 P 在直线 AB 上的充要条件是：存在 实数 x，y，满足OP x OA y OB ，且 xy1”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确 命题是_. 答案 O 为平面 ABC 外一点，则点 P 在平面 ABC 上的充要条件是：存在实数 x，y，z，满足 OP x OA y OB z OC ，且 xyz1 10某程序框图如图所示，现将输出的(x，y)值依次记为：(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，?， 若程序运行中输出的一个数组是(x，10)，则数组中的 x_. 答案 32 解析 运行第一次，输出(1,0)，n3，x2，y2； 运行第二次，输出(2，2)，n5，x4，y4； 运行第三次，输出(4，4)，n7，x8，y6； 运行第四次，输出(8，6)，n9，x16，y8； 运行第五次，输出(16，8)，n11，x32，y10； 运行第六次，输出(32，10)
